【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第3节-空间图形的基本关系与公理

第八章第三节一、选择题1．下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线[答案]A[解析]由空间几何中的公理可知，仅有A不是公理，其余皆为公理．2．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M[答案]D[解析]∵ABγ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.依据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．3．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β[答案]B[解析]A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或lβ，D选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．4．(文)已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b()A．确定是异面直线 B．确定是相交直线C．不行能是平行直线 D．不行能是相交直线[答案]C[解析]a、b是异面直线，直线c∥直线A．因而c不与b平行，否则，若c∥b，则a∥b，与已知冲突，因而c不与b平行．(理)给出下列命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一个平面内；②三条两两相交的直线在同一个平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]对于①两条直线可以异面；对于②三条直线若交于一点，则可以异面；对于③这三点若共线，则两平面可以相交；对于④两两平行的三条直线也可以在三个平面．5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥βB．若m不垂直于α，则m不行能垂直于α内的很多条直线C．若α∩β＝m，n∥m，且n⃘α，n⃘β，则n∥α且n∥βD．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α[答案]C[解析]∵n∥m，mα，n⃘α，∴n∥α，同理有n∥β，故C正确．6．(文)已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是()A．①②③ B．①③C．②③ D．①②③④[分析]本题是争辩直线与平面的平行与垂直关系的问题，解答时留意选择合适的图形来说明，还要能举出反例．[答案]C[解析]①错误，三个平面可以两两相交且交线相互平行；④错误，a，b相交时结论才成立．(理)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于A．eq\f(\r(10),5) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,3)[答案]B[解析]取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角．在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝eq\f(OG2＋OE2－EG2,2OG·OE)＝eq\f(5＋3－2,2×\r(5)×\r(3))＝eq\f(\r(15),5).二、填空题7．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．[答案]1或4[解析]若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．8．(文)已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出全部正确结论的编号)．[答案]①②④[解析]只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．(理)对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．[答案]①④[解析]①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内；②中可有线和平面平行；③中直线最多可确定3个平面；④同①.9．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．[答案](0，eq\r(3))[解析]如图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点共面时，AC＝eq\r(3)，如图②，故AC的取值范围是0<AC<eq\r(3).三、解答题10．如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？(2)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？(3)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？[分析]四边形是平行四边形、矩形、正方形，首先转化为线线平行问题，而证线线平行或用平面几何的方法也可用公理4.[解析]本题是一个开放性问题．(1)E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH∥BD，且EH＝eq\f(1,2)BD．同理，FG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)BD，从而EH∥FG，且EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．一般地eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)时四边形EFGH为平行四边形．(2)eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)且BD⊥AC时，四边形EFGH为矩形．(3)当E、F、G、H为所在边的中点且BD⊥AC，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形．[点评]上述答案并不唯一，如当AEAB＝AHAD＝CFCB＝CGCD时，四边形EFGH也为平行四边形.一、选择题1．(文)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．aα，bα B．aα，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．aα，b⊥α[答案]B[解析]a、b异面时，A错，C错；若D正确，则必有a⊥b，故排解A、C、D，选B．(理)一个正方体纸盒开放后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°的角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确的是()A．①② B．③④C．②③ D．①③[答案]D[解析]如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知①③正确，故选D．2．(文)如图是某个正方体的侧面开放图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A．相互平行B．异面且相互垂直C．异面且夹角为eq\f(π,3)D．相交且夹角为eq\f(π,3)[答案]D[解析]将侧面开放图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合．故l1与l2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为eq\f(π,3).故选D．(理)(2022·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对 B．30对C．48对 D．60对[答案]C[解析]解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后依据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C，BC1，C1D，CD1，A1D，AD1，A1B，AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，全部共有16×6＝96对．由于每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有eq\f(1,2)×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有Ceq\o\al(2,12)种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有Ceq\o\al(2,12)－6－12＝48对．二、填空题3．已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段AB、CD的中点，则MN________eq\f(1,2)(AC＋BD)(填“>”，“<”或“＝”)．[答案]<[解析]如图所示，四边形ABCD是空间四边形，而不是平面四边形，要想求MN与AB、CD的关系，必需将它们转化到平面来考虑．我们可以连接AD，取AD的中点为G，再连接MG、NG，在△ABD中，M、G分别是线段AB、AD的中点，则MG∥BD，且MG＝eq\f(1,2)BD，同理，在△ADC中，NG∥AC，且NG＝eq\f(1,2)AC，又依据三角形的三边关系知，MN<MG＋NG，即MN<eq\f(1,2)BD＋eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)(AC＋BD)．4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论①直线AM与直线C1C相交②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为________．(留意：把你认为正确的结论序号都填上)[答案]③④[解析]AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确三、解答题5．已知四棱锥P－ABCD以及其三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是直角三角形，俯视图是矩形．(1)求此四棱锥的体积；(2)若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；(3)在(2)的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．[解析](1)由题意可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，高h＝2，所以此四棱锥的体积V＝eq\f(1,3)S·h＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)由三视图可知，PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AE平面PAD，∴AE⊥CD．∵△PAD是等腰直角三角形，E是PD的中点，∴AE⊥PD．又PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD．(3)∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD且EF＝eq\f(1,2)CD，又∵CD∥AB且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)AB．∴四边形ABEF为梯形，AE，BF是梯形的两腰，∴AE与BF所在的直线必相交．即直线AE和直线BF既不平行也不异面．6．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2)，∠PAB＝60°.M是PD的中点．(1)证明：PB∥平面MAC；(2)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(3)求四棱锥P－ABCD的体积．[解析](1)证明：连接OM.∵M是PD中点，矩形ABCD中O为BD中点，∴OM∥PB．又OM平面MAC，PB⃘平面MAC，∴PB∥平面MAC．(2)证明：由题设知PA＝2，AD