2025年人教版七年级数学寒假预习 第05讲 平方根

第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测(1)理解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根;(2)根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;(3)了解算术平方根的性质并用其解题；1.算术平方根定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1.性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.算术平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；2）算术平方根本身具有非负性，即QUOTEQUOTE≥0；【小结】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.两个重要等式：1）QUOTE𝑎2=𝑎𝑎??a22），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.2.平方根定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.【补充】平方根等于本身的数只有0.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.3.开平方定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号.【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数；2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.考点一：求一个数的算术平方根1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：QUOTE4=4=．2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）QUOTE1616的算术平方根等于（

）A．4 B．QUOTE卤4卤4 C．2 D．QUOTE卤2卤23．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（）A．QUOTE33 B．9 C．3 D．QUOTE−3−3考点二：利用算术平方根的非负性求解4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若QUOTE𝑎−17+𝑏−12=0a−17+b−12=0，则QUOTE𝑎−𝑏a−b的算术平方根为5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若QUOTE𝑥+8+|𝑦+2|=0x+8+|y+2|=0，则QUOTE𝑥𝑦xy的值为．6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足QUOTE𝑥−4+𝑦+11=0x−4+y+11=0，则QUOTE𝑥−𝑦+1x−y+1的值为．QUOTE𝑥−𝑦+1=4−−11+1=167．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知QUOTE𝑥x、QUOTE𝑦y为实数，且QUOTE𝑦=𝑥−2009+2009−𝑥+1y=x−2009+2009−x+1，则QUOTE𝑥+𝑦=x+y=考点三：估计算术平方根的取值范围8．（2024·湖南长沙·二模）若QUOTE3<𝑎<43<a<4，则满足条件的QUOTE𝑎a可能是（

）A．8 B．9 C．15 D．189．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计QUOTE11−111−1的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间10．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为QUOTE16cm16cm的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为QUOTE3:23:2，面积为QUOTE420cm2420cm2．(1)求此长方形信封的长和宽．(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．考点四：与算术平方根有关的规律探究问题11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知QUOTE7.45=2.7297.45=2.729，QUOTE𝑦=27.29y=27.29，那么QUOTE𝑦=y=．12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中QUOTE𝑥=x=________，QUOTE𝑦=y=________．(2)①已知QUOTE，则QUOTE________；②已知QUOTE，QUOTE，求QUOTE𝑚m的值．QUOTE𝑚=60013．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如QUOTE44等，有些数则不能直接求得，如QUOTE55，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表：a…0.04440040000…a…x2yz…(1)表格中的三个值分别为：QUOTE𝑥=x=________；QUOTE𝑦=y=________；QUOTE𝑧=z=________；(2)用公式表示这一规律：当QUOTE（QUOTE𝑛n为整数）时，QUOTE𝑎a＝________；(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知QUOTE，则①QUOTE_______；②QUOTE________．QUOTE14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：QUOTE1=11=1，QUOTE1+3=21+3=2，QUOTE1+3+5=31+3+5=3，QUOTE1+3+5+7=41+3+5+7=4，通过观察并归纳结论：（1）请写出：QUOTE：（2）计算：QUOTE．QUOTE=102考点五：算术平方根的实际应用15．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料：在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：QUOTE，而QUOTE4=24=2，QUOTE25=525=5，所以QUOTE，即QUOTE．小明：QUOTE，QUOTE，这就说明QUOTE4脳254脳25与QUOTE都是QUOTE4脳254脳25的算术平方根，而QUOTE4脳254脳25的算术平方根只有一个，所以QUOTE．回答以下问题：(1)结合材料猜想，当QUOTE𝑎鈮?a鈮?，QUOTE𝑏鈮?b鈮?时，QUOTE𝑎𝑏ab和QUOTE之间存在怎样的关系？请直接写出；(2)运用以上结论，计算：①QUOTE；②QUOTE；(3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为QUOTE88，长为QUOTE3232，求这个长方形的面积．16．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99这三个数，QUOTE，QUOTE，QUOTE，其结果分别为QUOTE22，QUOTE33，QUOTE66，都是整数，所以QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是QUOTE22，“最大算术平方根”是QUOTE66．(1)试说明：QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根；(2)已知QUOTE1616，QUOTE𝑎a，QUOTE3636，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的QUOTE22倍，求QUOTE𝑎a的值．17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为QUOTE16m216m2的正方形纸片QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为QUOTE15m215m2的长方形纸片，数学实践小组设计如下两种方案：方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为QUOTE15m215m2方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为QUOTE15m215m2的长方形装饰材料，且长与宽的比为QUOTE4:34:3．请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：QUOTE）18．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，满足QUOTE𝑄=𝐼2𝑅𝑡(𝐼>0)Q=I2Rt(I>0)，其中QUOTE𝑄Q为产生的热量（单位：QUOTEJJ），QUOTE𝐼I为电流（单位：QUOTEAA），QUOTE𝑅R为导线电阻（单位：QUOTE），QUOTE𝑡t为通电时间（单位：QUOTEss）．(1)当导线电阻为QUOTE5惟5惟，电流为QUOTE3A3A时，通电时间为QUOTE2s2s所产生的热量是多少？(2)当导线电阻为QUOTE6惟6惟，通电时间为QUOTE3s3s时，所产生的热量是QUOTE72J72J，这时电流是多少？19．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，用两个边长为QUOTE的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．

(1)求大正方形的边长；(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为QUOTE3:23:2且面积为QUOTE的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．QUOTE考点六：理解平方根的概念20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“QUOTE16251625的平方根是QUOTE”，用数学式子表达为（）A．QUOTE1625=?451625=?45 B．QUOTE1625=451625=45 C．QUOTE?1625=?4QUOTE21．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为QUOTE1212，则该数是，它的另一个平方根是．22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（

）A．QUOTE−4−4的平方根是QUOTE卤2卤2B．QUOTE1616的算术平方根是4C．平方根等于本身的数是0和1D．0的平方根与算术平方根都是0QUOTE考点七：求一个数的平方根23．（22-23七年级上·浙江·期中）QUOTE1616的平方根是()A．QUOTE44 B．QUOTE−4−4 C．QUOTE卤卤4 D．QUOTE卤2卤224．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）QUOTE1616的平方根是．QUOTE25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知QUOTE𝑥x、QUOTE𝑦y都是实数，且QUOTE𝑦=𝑥−2+2−𝑥+4y=x−2+2−x+4，求QUOTE𝑦𝑥yx的平方根．26．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）若QUOTE，QUOTE，则QUOTE0.30.3的平方根约为（

）A．QUOTE0.5450.545 B．QUOTE0.1730.173 C．QUOTE卤0.173卤0.173 D．QUOTE卤0.545卤0.545QUOTE卤0.545考点八：求代数式的平方根27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且QUOTE2(𝑥−3)22(x−3)2与QUOTE3𝑦−123y−12互为相反数，则QUOTE𝑥2+𝑦2x2+y228．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知QUOTE1−3𝑏1−3b与QUOTE2𝑎+12a+1互为相反数，求QUOTE−3𝑏+2𝑎+6−3b+2a+6的平方根．QUOTE29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，QUOTE𝑐c满足：QUOTE𝑎−5+𝑏+4+𝑐−32=0a−5+b+4+c−32=0，求：(1)QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，QUOTE𝑐c的值．(2)QUOTE𝑎+𝑏+𝑐a+b+c的平方根．30．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知QUOTE2𝑎+12a+1的算术平方根是5，QUOTE10+3𝑏10+3b的平方根是QUOTE卤4卤4，c是QUOTE1919的整数部分，求QUOTE𝑎−5𝑏+𝑐a−5b+c的平方根．考点九：已知一个数的平方根求这个数31．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根是QUOTE𝑎+5a+5和QUOTE4𝑎−154a−15，则x的值为32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是QUOTE−5−5，则这个数是．QUOTEQUOTEQUOTE−533．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是QUOTE3𝑏−53b−5和QUOTE−2𝑏+2−2b+2．(1)求a和b的值；(2)求QUOTE𝑎+3𝑏a+3b的平方根．34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个数x的算术平方根为QUOTE𝑎+3a+3，x的平方根为QUOTE卤(2𝑎−15)卤(2a−15)，求这个数x是．考点十：利用平方根解方程35．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程(1)QUOTE4𝑥2−9=04x(2)QUOTE42𝑥−12=3642x−136．（21-22七年级下·贵州黔南·期中）解方程：(1)QUOTE25𝑥2−49=025x(2)QUOTE2𝑥+12−49=1237．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中的x：(1)QUOTE9𝑥2−25=09x(2)QUOTE(𝑥+1)2+8=72(x+1)2+8=72(3)QUOTE2(𝑥−1)2−32=02(x−1)考点十一：平方根的应用38．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，用两个面积为QUOTE50cm250cm2(1)求拼成的大正方形纸片的边长；(2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为QUOTE2:12:1且面积为QUOTE72cm272cm2？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？39．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间QUOTE𝑡t（单位：秒）和高度QUOTEℎℎ（单位：米）近似满足公式QUOTEℎ=12𝑔𝑡2ℎ=12gt2，其中QUOTE𝑔g为重力加速度，QUOTE米/平方秒．物体落地时产生的动能QUOTE==物体质量QUOTE脳脳重力加速度QUOTE脳脳高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：QUOTE焦耳．(1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？(2)一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1秒，QUOTE）40．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为QUOTE5:35:3．(1)求这块长方形空地的周长；(2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为QUOTE2:12:1），花坛的总面积为1176平方米，宽度为QUOTE2.52.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？41．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：QUOTE，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？QUOTE𝑡=21QUOTE𝑡=371．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）一个正方形的面积是QUOTE2525，则这个正方形的边长是（

）A．5 B．QUOTE卤5卤5 C．QUOTE55 D．QUOTE卤5卤52．（24-25七年级上·山东泰安·期中）若QUOTE𝑎−22+𝑏+3=0a−22+b+3=0，则QUOTE𝑎+𝑏2024a+bA．QUOTE−1−1 B．0 C．1 D．20243．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）QUOTE𝑎a与QUOTE𝑏b互为相反数，QUOTE𝑐c是最大的负整数，QUOTE𝑑d是正数且倒数等于它本身，QUOTE𝑥x是平方等于4的数，则QUOTE𝑥+2𝑐−𝑎+𝑏𝑑x+2c−a+bd的值为（

）A．1 B．QUOTE−5−5 C．0或QUOTE−4−4 D．1或54．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知x，y为实数，且QUOTE𝑥−3+|𝑦+1|=0x−3+|y+1|=0，则QUOTE𝑥−𝑦x−y的值为（）A．QUOTE−2−2 B．2 C．4 D．QUOTE−4−45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中计算正确的是（

）A．QUOTE4=卤24=卤2 B．QUOTE C．QUOTE23=623=6 D．QUOTE−32=9−32=9QUOTE−32=−96．（2024·山东滨州·模拟预测）在有理数QUOTE−3−3，QUOTE−3−3，QUOTE(−3)2(−3)2，QUOTE(−3)2(−3)2中，负数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是QUOTE𝑚+1m+1和QUOTE2𝑚−162m−16．则这个正数为（

）A．4 B．36 C．QUOTE−6−6 D．QUOTE卤6卤68．（24-25八年级上·四川成都·开学考试）下列说法错误的是（

）A．QUOTE卤3卤3是9的平方根 B．QUOTE1616的平方根为QUOTE卤4卤4C．QUOTE2525的平方根为QUOTE卤5卤5 D．负数没有平方根9．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如果QUOTE𝑎2=−42a2=−42A．4 B．QUOTE−4−4 C．16 D．4或QUOTE−4−410．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知QUOTE20.24=4.49920.24=4.499，QUOTE202.4=14.227202.4=14.227，则QUOTE202400=202400=（

）A．QUOTE44.9944.99 B．QUOTE449.9449.9 C．QUOTE142.27142.27 D．QUOTE11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果QUOTE2𝑎−32a−3和QUOTE𝑎−3a−3是正数A的平方根，则A为（

）A．1或9 B．1或QUOTE−3−3 C．1 D．QUOTE−3−312．（24-25七年级上·浙江温州·期中）在草稿纸上计算：①QUOTE1313，②QUOTE13+2313+23，③QUOTE…，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值：QUOTE13+23+33+4313+23+3313．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）QUOTE−2−2的立方等于；QUOTE−23−23的倒数是；25的平方根是14．（24-25七年级上·浙江温州·期中）若QUOTE𝑎−20242+𝑏+2023=2a−20242+b+2023=2，其中QUOTE𝑎,𝑏a,b均是整数，则QUOTE𝑎+𝑏=a+b=15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图是第十四届国际数学教育大会QUOTE𝐼𝐶𝑀𝐸−14ICME−14会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有QUOTE共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：QUOTE，十进制数2021表示QUOTE𝐼𝐶𝑀𝐸−14ICME−14的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是，数学组设计了一个QUOTE𝑛n进制数143，换算成十进制数是120，则QUOTE𝑛n的值是．16．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知：QUOTE𝑎−3+𝑏+22+𝑐−2024(1)QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，QUOTE𝑐c的值；(2)求QUOTE𝑎2−𝑏2𝑐17．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）已知QUOTE．(1)已知QUOTE𝑥x的算术平方根为3，求QUOTE𝑎a的值；(2)如果QUOTE都是同一个数的平方根，求这个数．18．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）“*”表示一种新运算，它的意义是QUOTE𝑎∗𝑏=𝑎𝑏−𝑎+𝑏a∗b=ab−a+b，求：(1)QUOTE2∗32∗3；(2)QUOTE−3∗5−3∗5；(3)QUOTE−12024∗4−1202419．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）圆柱的体积等于底面积乘高．如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积．（结果中均保留π）(1)用含字母h，r的代数式表示圆柱的体积V．(2)求底面半径为QUOTE2cm2cm，高为QUOTE5cm5cm的圆柱的体积．(3)若圆柱体积QUOTE，高QUOTEℎ=5cmℎ=5cm，求圆柱的底面半径r．20．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算：QUOTE92−2?16=81−32=49QUOTE，不难发现，结果都是7．

(1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？发现图2计算结果为______；图3计算结果为______．(2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明．QUOTE=821．（22-23七年级上·浙江金华·期中）如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数QUOTE55，设点A所表示的数为m．(1)实数m的值是______．(2)求QUOTE的值．(3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有QUOTE2𝑐+42c+4与QUOTE互为相反数，求QUOTE2𝑐+3𝑑+82c+3d+8的平方根．

第05讲平方根模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测(1)理解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根;(2)根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根;(3)了解算术平方根的性质并用其解题；1.算术平方根定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1.性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.算术平方根QUOTEQUOTE(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；2）算术平方根本身具有非负性，即QUOTEQUOTE≥0；【小结】即在式子QUOTE中，a≥0且QUOTEQUOTE≥0.两个重要等式：1）QUOTEa2=aa??a22），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.2.平方根定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”.【补充】平方根等于本身的数只有0.性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根.3.开平方定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号.【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数；2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.考点一：求一个数的算术平方根1．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算：QUOTE4=4=．【答案】2【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：QUOTE4=24=2．故答案为：2．2．（22-23八年级上·河南南阳·期末）QUOTE1616的算术平方根等于（

）A．4 B．QUOTE卤4卤4 C．2 D．QUOTE卤2卤2【答案】C【分析】本题考查了算术平方根的意义，先化简QUOTE1616，再根据算术平方根的意义求解即可．【详解】解：∵QUOTE16=416=4，∴QUOTE1616的算术平方根等于QUOTE4=24=2．故选：C．3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（）A．QUOTE33 B．9 C．3 D．QUOTE−3−3【答案】A【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止．【详解】解：第一次输入QUOTEx=81x=81，则QUOTE81=981=9，是有理数；第二次输入QUOTEx=9x=9，则QUOTE9=39=3，是有理数；第三次输入QUOTEx=3x=3，则QUOTE33不是有理数，所以输出QUOTEy=3y=3，故选：A．考点二：利用算术平方根的非负性求解4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）若QUOTEa−17+b−12=0a−17+b−12=0，则QUOTEa−ba−b的算术平方根为【答案】2【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此得到QUOTE，则QUOTE；对于两个实数a、b若a为非负数且满足QUOTEa2=ba2=b，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．【详解】解：∵QUOTEa−17+b−12=0a−17+b−12=0，QUOTE，∴QUOTEa−17=b−12=0a−17∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEa−b=17−1=16=4∴QUOTEa−ba−b的算术平方根为2，故答案为：2．5．（24-25七年级上·浙江台州·期末）若QUOTEx+8+|y+2|=0x+8+|y+2|=0，则QUOTExyxy的值为．【答案】16【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根的非负性、代数式求值等知识点，掌握算术平方根和绝对值的非负性成为解题的关键．先根据非负数的性质求出x、y的值，然后再代入代数式计算即可．【详解】解：∵QUOTEx+8+|y+2|=0x+8+|y+2|=0，，∴QUOTEx+8=0,|y+2|=0x+8=0,|y+2|=0，∴QUOTEx+8=0,y+2=0x+8=0,y+2=0，∴QUOTEx=−8,y=−2x=−8,y=−2∴QUOTExy=−8?−2=−16xy=−8?−2=−16故答案为：16．6．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知实数x，y满足QUOTEx−4+y+11=0x−4+y+11=0，则QUOTEx−y+1x−y+1的值为．【答案】16【分析】此题主要考查了绝对值的性质以及算术平方根的性质．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出QUOTExx，QUOTEyy的值，进而得出答案．【详解】解：QUOTEQUOTE|x−4|+y+11=0|x−4|+y+11=0，QUOTE鈭磝−4=0鈭磝−4=0，QUOTEy+11=0y+11=0，解得：QUOTEx=4x=4，QUOTEy=−11y=−11，则QUOTEx−y+1=4−−11+1=16x−y+1=4−−11+1=16故答案为：16．7．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知QUOTExx、QUOTEyy为实数，且QUOTEy=x−2009+2009−x+1y=x−2009+2009−x+1，则QUOTEx+y=x+y=【答案】2010【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由QUOTE得到QUOTEx=2009x=2009，则QUOTEy=1y=1，即可求解QUOTEx+yx+y的值．【详解】解：由题意得QUOTE，则QUOTEx=2009x=2009，∴QUOTEy=1y=1，∴QUOTEx+y=2009+1=2010x+y=2009+1=2010，故答案为：2010．考点三：估计算术平方根的取值范围8．（2024·湖南长沙·二模）若QUOTE3<a<43<a<4，则满足条件的QUOTEaa可能是（

）A．8 B．9 C．15 D．18【答案】C【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键．先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答．【详解】解：∵QUOTE3<a<43<a<4∴QUOTE9<a<169∴QUOTE9<a<169<a<16，即选项C符合题意．故选C．9．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）估计QUOTE11−111−1的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】B【分析】本题考查无理数的估算．估算QUOTE1111的近似值，即可得到QUOTE11−111−1在哪两个整数之间．【详解】解：∵QUOTE9<11<169<11<16，即QUOTE3<11∴QUOTE2<11−1<32<11−1<3∴QUOTE11−111−1在整数2与整数3之间，故选：B．10．（23-24七年级下·贵州安顺·阶段练习）小明制作了一张边长为QUOTE16cm16cm的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为QUOTE3:23:2，面积为QUOTE420cm2420cm2．(1)求此长方形信封的长和宽．(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．【答案】(1)长方形信封的长为QUOTE370cm370cm，宽为QUOTE270cm2(2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封；理由见解析【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长．（1）设长方形信封的长为QUOTE3xcm3xcm，宽为QUOTE2xcm2xcm，根据面积为QUOTE420cm2420cm2列方程求解即可；（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．【详解】（1）解：∵信封的长、宽之比为QUOTE3:23:2，∴设长方形信封的长为QUOTE3xcm3xcm，宽为QUOTE2xcm2xcm，由题意得QUOTE3x鈰?x=4203x鈰?x=420，∴QUOTEx=70x=70（负值舍去），∴长方形信封的长为QUOTE370cm370cm，宽为QUOTE270cm270（2）解：正方形贺卡的边长是QUOTE16cm16cm，∵QUOTE70>6470>64，∴QUOTE70>870>8，∴QUOTE270>16270>16即信封的宽大于正方形贺卡的边长，∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封．考点四：与算术平方根有关的规律探究问题11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知QUOTE7.45=2.7297.45=2.729，QUOTEy=27.29y=27.29，那么QUOTEy=y=．【答案】QUOTE745745【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质．【详解】解：∵QUOTE7.45=2.7297.45=2.729，∴QUOTE，即QUOTE745=27.29745=27.29，∴QUOTEy=745y=745，故答案为：QUOTE745745．12．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题．a…0.00010.01110010000…a…0.01x1y100…(1)表格中QUOTEx=x=________，QUOTEy=y=________．(2)①已知QUOTE，则QUOTE________；②已知QUOTE，QUOTE，求QUOTEmm的值．【答案】(1)0.1，10(2)①0.245；②600【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．【详解】（1）解：QUOTE，故答案为：0.1，10；（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，∴由QUOTE6鈮?.456鈮?.45可知QUOTE，故答案为：0.245；②∵QUOTE0.0012??.034640.0012??.03464，QUOTE2m??4.642m??4.64，∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到QUOTE34.6434.64，∴由上述表格可知被开方数QUOTE0.00120.0012小数点需要向右移动6个单位得到QUOTE2m2m，∴QUOTE0.0012?106=2m0.0012?10∴QUOTEm=600m=600．13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）我们知道，平方数的开平方运算可以直接求得，如QUOTE44等，有些数则不能直接求得，如QUOTE55，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得．请你观察下表：a…0.04440040000…a…x2yz…(1)表格中的三个值分别为：QUOTEx=x=________；QUOTEy=y=________；QUOTEz=z=________；(2)用公式表示这一规律：当QUOTE（QUOTEnn为整数）时，QUOTEaa＝________；(3)利用这一规律，解决下面的问题：已知QUOTE，则①QUOTE_______；②QUOTE________．【答案】(1)QUOTE0.20.2，QUOTE2020，QUOTE200200(2)QUOTE2?10n2?10(3)QUOTE0.23580.2358，QUOTE23.5823.58【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．（1）利用算术平方根定义计算，填表即可；（2）归纳总结得到一般性规律，求出QUOTEaa的值即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1）根据题意得：QUOTEx=0.04=4100=4QUOTEy=400=4?100=4?QUOTE．（2）当QUOTEa=4?100na=4?100n（QUOTEnn为整数）时，QUOTEa=4?100n=22?（3）若QUOTE，则①QUOTE；②QUOTE．14．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）先计算下列各式：QUOTE1=11=1，QUOTE1+3=21+3=2，QUOTE1+3+5=31+3+5=3，QUOTE1+3+5+7=41+3+5+7=4，通过观察并归纳结论：（1）请写出：QUOTE：（2）计算：QUOTE．【答案】n102【分析】本题主要考查了奇数求和，算术平方根，认真读题，寻找规律，掌握奇数求和的方法和算术平方根的定义是解答的关键．（1）总结规律，可以发现被开方数是奇数之和为QUOTEn2n2，开方即可；（2）先把被开方数提取公因数4，再将括号内的按规律求和解答即可．【详解】解：（1）∵QUOTE1=11=1，QUOTE1+3=21+3=2，QUOTE1+3+5=31+3+5=3，QUOTE1+3+5+7=41+3+5+7=4，∴QUOTE故答案为：n；（2）QUOTE4+12+20+鈰?4044+12+20+鈰?404QUOTE=102=102．故答案为：102．考点五：算术平方根的实际应用15．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）阅读下列材料：在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：小聪：QUOTE，而QUOTE4=24=2，QUOTE25=525=5，所以QUOTE，即QUOTE．小明：QUOTE，QUOTE(4?25)2=(2?5)2=100=4?25(4?25)2=(2?5)2=100=4?25，这就说明QUOTE4脳254脳25与QUOTE都是QUOTE4脳254脳25的算术平方根，而QUOTE4脳254脳25的算术平方根只有一个，所以QUOTE．回答以下问题：(1)结合材料猜想，当QUOTEa鈮?a鈮?，QUOTEb鈮?b鈮?时，QUOTEabab和QUOTE之间存在怎样的关系？请直接写出；(2)运用以上结论，计算：①QUOTE；②QUOTE；(3)解决实际问题：已知一个长方形的宽为QUOTE88，长为QUOTE3232，求这个长方形的面积．【答案】(1)QUOTE(2)QUOTE；QUOTE(3)16【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键．（1）由题意可得当QUOTE，QUOTE时，QUOTE；（2）根据法则计算QUOTE；QUOTE；（3）由长方形的面积可知QUOTE，进而求解即可．【详解】（1）解：当QUOTE，QUOTE时，QUOTE；（2）解：QUOTE；QUOTE，（3）解：根据题意得：长方形的面积为QUOTE．16．（24-25七年级上·全国·期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99这三个数，QUOTE，QUOTE，QUOTE，其结果分别为QUOTE22，QUOTE33，QUOTE66，都是整数，所以QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是QUOTE22，“最大算术平方根”是QUOTE66．(1)试说明：QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050这三个数是“老根数”，并求出它们的最小算术平方根与最大算术平方根；(2)已知QUOTE1616，QUOTEaa，QUOTE3636，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的QUOTE22倍，求QUOTEaa的值．【答案】(1)理由见解析，最小算术平方根是QUOTE44，最大算术平方根是QUOTE2020(2)QUOTE99或QUOTE6464【分析】本题考查算术平方根，理解“老根数”、“最小算术平方根”、“最大算术平方根”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个数乘积的算术平方根”是解决问题的关键．（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；（2）分三种情况进行解答即可，即QUOTEa<16a<16，QUOTE16<a<3616<a<36，QUOTEa>36a>36，分别列方程求解即可．【详解】（1）解：∵QUOTE2?8=42?8=4，QUOTE，QUOTE，∴QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050这三个数是“老根数”；其中最小算术平方根是QUOTE44，最大算术平方根是QUOTE2020；（2）当QUOTEa<16a<16时，∵QUOTE1616，QUOTEaa，QUOTE3636，这三个数是“老根数”，且它们的最大算术平方根是最小算术平方根的QUOTE22倍，∴QUOTE216a=16?36216a∴QUOTE8a=248a=24解得：QUOTEa=9a=9；当QUOTE16<a<3616<a<36时，依题意，得：QUOTE216a=36a216a∴QUOTE8a=6a8a∴QUOTE2a=02a=0解得：QUOTEa=0a=0，不合题意舍去；当QUOTEa>36a>36时，依题意，得：QUOTE，∴QUOTE，解得：QUOTEa=64a=64，综上所述，QUOTEaa的值为QUOTE99或QUOTE6464．17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）在数学实践活动课上，指导老师准备了一块面积为QUOTE16m216m2的正方形纸片QUOTEABCDABCD（如图所示），准备给数学实践小组用来对教室重新进行装饰，现需要一块面积为QUOTE15m215m2的长方形纸片，数学实践小组设计如下两种方案：方案一：沿着正方形边的方向裁出一块面积为QUOTE15m215m2方案二：沿着正方形边的方向裁出一块面积为QUOTE15m215m2的长方形装饰材料，且长与宽的比为QUOTE4:34:3．请你判断实践小组设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．（参考数据：QUOTE）【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据题意分别求得两个方案中长方形的长和宽，和正方形的边长比较大小，进而即可求解．【详解】解：给定正方形纸片的面积为QUOTE16m216m2，因此其边长为QUOTE4m4m（因为正方形的面积等于边长的平方，即QUOTE4m脳4m=16m24m脳4m=16m2对于方案一：设裁出的长方形的长为QUOTExx，宽为QUOTEyy，满足条件QUOTExy=15xy=15，同时QUOTExx和QUOTEyy都必须小于等于正方形的边长QUOTE4m4m．若QUOTEx=4mx=4m，则QUOTEy=154m<4my=因此，方案一可行．此时，长方形的长为QUOTE4m4m，宽为QUOTE154m154m．对于方案二：设长方形的长为QUOTE4x4x，宽为QUOTE3x3x，其中QUOTEx>0x>0．根据题目，有QUOTE，解得QUOTEx2=54x2=54．因为QUOTEx>0x>0，所以QUOTEx=54x=54．根据题目给的参考数据QUOTE54鈮?.1254鈮?.12∴QUOTE4x鈮?.48m4x鈮?.48m，QUOTE．然而，长方形的长QUOTE4.48m4.48m已经大于正方形的边长QUOTE4m4m，因此方案二不可行．18．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）电流通过导线时会产生热量，满足QUOTEQ=I2Rt(I>0)Q=I2Rt(I>0)，其中QUOTEQQ为产生的热量（单位：QUOTEJJ），QUOTEII为电流（单位：QUOTEAA），QUOTERR为导线电阻（单位：QUOTE），QUOTEtt为通电时间（单位：QUOTEss）．(1)当导线电阻为QUOTE5惟5惟，电流为QUOTE3A3A时，通电时间为QUOTE2s2s所产生的热量是多少？(2)当导线电阻为QUOTE6惟6惟，通电时间为QUOTE3s3s时，所产生的热量是QUOTE72J72J，这时电流是多少？【答案】(1)通电时间为QUOTE2s2s所产生的热量是QUOTE90J90J；(2)这时电流是QUOTE2A2A．【分析】（QUOTE11）把数值代入公式计算即可解题；（QUOTE22）先把公式变形，然后代入求出结果即可；本题考查了代数式求值，算术平方根的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）由题得：当QUOTEt=2st=2s时，QUOTEQ=I2Rt=32?5?2=90J∴通电时间为QUOTE2s2s所产生的热量是QUOTE90J90J；（2）∵QUOTEQ=I2RtQ=I2Rt且QUOTEI>0I>0，∴QUOTEI=QRtI=QRt当QUOTEQ=72JQ=72J时，得QUOTEI=726?3=2AI=72∴这时电流是QUOTE2A2A．19．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，用两个边长为QUOTE的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．

(1)求大正方形的边长；(2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为QUOTE3:23:2且面积为QUOTE的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．【答案】(1)QUOTE4cm24cm(2)不能裁得一个长宽之比为QUOTE3:23:2且面积为QUOTE的长方形纸片．【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键．（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．【详解】（1）解：由题意得，大正方形的面积QUOTE，QUOTE大正方形的边长QUOTE=16=4??m=16=4??m；（2）设长方形纸片的长为QUOTE3x??m3x??m，宽为QUOTE2x??m2x??m．由题意，得QUOTE，即QUOTEx=2x=2．此时QUOTE3x=32>43x=32>4QUOTE不能裁得一个长宽之比为QUOTE3:23:2且面积为QUOTE的长方形纸片．考点六：理解平方根的概念20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“QUOTE16251625的平方根是QUOTE”，用数学式子表达为（）A．QUOTE1625=?451625=?45 B．QUOTE1625=451625=45 C．QUOTE?1625=?4【答案】C【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可．【详解】解：“QUOTE16251625的平方根是QUOTE”，用式子表示为QUOTE?1625=?45?1625=?45故选：C．21．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知某数的一个平方根为QUOTE1212，则该数是，它的另一个平方根是．【答案】QUOTE1414/0.25QUOTE−12−12/QUOTE−0.5−0.5【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义，注意一个正数的两个平方根互为相反数．根据平方根的平方等于被开方数和一个正数的平方根互为相反数，即可求解．【详解】解：∵这个数的一个平方根为QUOTE1212，∴这个数为QUOTE122=14122=14，另一个平方根为QUOTE故答案为：QUOTE1414；QUOTE−12−12．22．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（

）A．QUOTE−4−4的平方根是QUOTE卤2卤2B．QUOTE1616的算术平方根是4C．平方根等于本身的数是0和1D．0的平方根与算术平方根都是0【答案】D【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，熟练掌握平方根与算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根及算术平方根的定义逐项判断即可．【详解】因为负数没有平方根，所以A不符合题意；因为QUOTE1616的算术平方根是2，所以B不符合题意；因为平方根等于本身的数是0，1的平方根是QUOTE，所以C不符合题意；因为0的平方根与算术平方根都是0，所以D符合题意；故选：D．考点七：求一个数的平方根23．（22-23七年级上·浙江·期中）QUOTE1616的平方根是()A．QUOTE44 B．QUOTE−4−4 C．QUOTE卤卤4 D．QUOTE卤2卤2【答案】C【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根的定义即可求解．解题的关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数．【详解】解：∵QUOTE，∴16的平方根是QUOTE，故选：C．24．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）QUOTE1616的平方根是．【答案】QUOTE【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，这里需注意：QUOTE1616的平方根和16的平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错．根据算术平方根和平方根的运算法则，直接计算即可．【详解】解：∵QUOTE16=416=4，4的平方根是QUOTE，∴QUOTE1616的平方根是QUOTE．故答案为：QUOTE．25．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）已知QUOTExx、QUOTEyy都是实数，且QUOTEy=x−2+2−x+4y=x−2+2−x+4，求QUOTEyxyx的平方根．【答案】QUOTE【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得QUOTEx−2鈮?x−2鈮?，QUOTE2−x鈮?2−x鈮?，可得QUOTExx的值，再代入等式求出QUOTEyy的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数QUOTEaa的算术平方根是非负数，即QUOTE．【详解】解：∵QUOTEy=x−2+2−x+4y=∴QUOTEx−2鈮?x−2鈮?，QUOTE2−x鈮?2−x鈮?，∴QUOTEx=2x=2，∴QUOTEy=2−2+2−2+4=0+0+4=4y=∴QUOTEyx=42=16∴QUOTEyxyx的平方根为QUOTE．26．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）若QUOTE，QUOTE，则QUOTE0.30.3的平方根约为（

）A．QUOTE0.5450.545 B．QUOTE0.1730.173 C．QUOTE卤0.173卤0.173 D．QUOTE卤0.545卤0.545【答案】D【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；根据题意30是0.3的100倍，进而可根据QUOTE30??.4530??.45进行求解．【详解】解：∵QUOTE30??.4530??.45，∴QUOTE0.30.3的平方根为QUOTE卤0.545卤0.545；故选D．考点八：求代数式的平方根27．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且QUOTE2(x−3)22(x−3)2与QUOTE3y−123y−12互为相反数，则QUOTEx2+y2x2+y2【答案】QUOTE【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【详解】解：∵QUOTE2(x−3)22(x−3)2与QUOTE3y−123y−12互为相反数，∴QUOTE2(x−3)2+3y−12=0∴QUOTEx−3=0x−3=0，QUOTE3y−12=03y−12=0，解得：QUOTEx=3x=3，QUOTEy=4y=4，则QUOTEx2+y2=3故QUOTEx2+y2x2+y2的平方根为：QUOTE．故答案为：QUOTE．28．（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知QUOTE1−3b1−3b与QUOTE2a+12a+1互为相反数，求QUOTE−3b+2a+6−3b+2a+6的平方根．【答案】QUOTE【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得QUOTE1−3b=0,2a+1=01−3b=0,2a+1=0，求出a、b值，即可求解．【详解】解：∵QUOTE，QUOTE，则当QUOTE1−3b1−3b与QUOTE2a+12a+1互为相反数时，只能是QUOTE1−3b=0,2a+1=01−3b=0,2a+1=0，解得：QUOTEa=−12,b=13∴QUOTE−3b+2a+6=−3?13+2?−12∴其平方根为QUOTE．29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数QUOTEaa，QUOTEbb，QUOTEcc满足：QUOTEa−5+b+4+c−32=0a−5+b+4+c−32=0，求：(1)QUOTEaa，QUOTEbb，QUOTEcc的值．(2)QUOTEa+b+ca+b+c的平方根．【答案】(1)QUOTEa=5,b=−4,c=3a=5,b=−4,c=3(2)QUOTEa+b+ca+b+c的平方根为QUOTE【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键；（1）根据题意易得QUOTE，然后进行求解即可；（2）根据（1）可得QUOTEa+b+ca+b+c的值，然后根据平方根可进行求解．【详解】（1）解：∵QUOTEa−5+b+4+c−32=0a−5+b+4+c−32=0∴QUOTE，解得：QUOTE；（2）解：由（1）得：QUOTE，∴QUOTEa+b+c=5−4+3=4a+b+c=5−4+3=4，∴4的平方根为QUOTE，即QUOTEa+b+ca+b+c的平方根为QUOTE．30．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知QUOTE2a+12a+1的算术平方根是5，QUOTE10+3b10+3b的平方根是QUOTE卤4卤4，c是QUOTE1919的整数部分，求QUOTEa−5b+ca−5b+c的平方根．【答案】QUOTE卤6卤6【分析】根据算术平方根及平方根确定QUOTEa=12a=12，QUOTEb=2b=2，再由估算算术平方根的整数部分确定QUOTEc=4c=4，将其代入代数式，然后计算平方根即可．【详解】解：QUOTE鈭?a+1鈭?a+1的算术平方根是5，QUOTE，解得：QUOTEa=12a=12．∵QUOTE10+3b10+3b的平方根是QUOTE，QUOTE鈭?0+3b=16鈭?0+3b=16，解得：QUOTEb=2b=2．QUOTE是QUOTE1919的整数部分，而QUOTE4<19<54<19<5，QUOTE鈭碿=4鈭碿=4，QUOTEQUOTEa−5b+ca−5b+cQUOTE=6=6，QUOTEQUOTEa+5b−ca+5b−c的平方根为QUOTE卤6卤6．【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．考点九：已知一个数的平方根求这个数31．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根是QUOTEa+5a+5和QUOTE4a−154a−15，则x的值为【答案】49【分析】本题考查数的平方根，解一元一次方程．根据一个数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，从而可求出x的值．【详解】解：∵实数QUOTExx的两个不同的平方根为QUOTEa+5a+5和QUOTE4a−154a−15，∴QUOTEa+5+4a−15=0a+5+4a−15=0，解得：QUOTEa=2a=2，∴QUOTEx=2+52=49x=2+5故答案为：49．32．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知某数的一个平方根是QUOTE−5−5，则这个数是．【答案】5【分析】本题考查了已知一个数的平方根求这个数，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义可得结果．【详解】解：QUOTE，QUOTE平方根是QUOTE−5−5的数是5，故答案为：5．33．（24-25八年级上·广东佛山·期中）若一个正数a的两个平方根分别是QUOTE3b−53b−5和QUOTE−2b+2−2b+2．(1)求a和b的值；(2)求QUOTEa+3ba+3b的平方根．【答案】(1)QUOTEa=16a=16，QUOTEb=3b=3(2)QUOTEa+3ba+3b的平方根为QUOTE【分析】本题考查的是平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．（1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可；（2）先求出QUOTEa+3ba+3b的值，再求出其平方根即可．【详解】（1）解：∵一个正数a的两个平方根分别是QUOTE3b−53b−5和QUOTE−2b+2−2b+2，∴QUOTE3b−5+−2b+2=03b−5+−2b+2=0∴QUOTEb=3b=3，∴QUOTEa=3b−52=42=16（2）解：∵QUOTEa=16,b=3,a=16,b=3,∴QUOTEa+3b=16+3脳3=16+9=25a+3b=16+3脳3=16+9=25，又25的平方根是QUOTE，∴QUOTEa+3ba+3b的平方根为QUOTE．34．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）已知一个数x的算术平方根为QUOTEa+3a+3，x的平方根为QUOTE卤(2a−15)卤(2a−15)，求这个数x是．【答案】441或49【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可．【详解】根据题意，得QUOTEa+3=卤(2a−15)a+3=卤(2a−15)解得QUOTEa=18a=18或QUOTEa=4a=4，∴QUOTEa+3=21a+3=21或QUOTEa+3=7a+3=7，则QUOTEx=212=441x=212=441或QUOTEx=72=49所以这个数是441或49．故答案为：441或49．考点十：利用平方根解方程35．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程(1)QUOTE4x2−9=04x(2)QUOTE42x−12=3642x−1【答案】(1)QUOTEx=卤32x=卤32(2)QUOTEx=2x=2或QUOTEx=−1x=−1．【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可；（2）利用平方根的定义解方程即可；本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键．【详解】（1）解：QUOTE4x2−9=04QUOTE4x2=94xQUOTEx2=94x解得：QUOTEx=卤32x=卤32（2）QUOTE42x−12=3642x−1QUOTE2x−1=32x−1=3或QUOTE2x−1=−32x−1=−3解得：QUOTEx=2x=2或QUOTEx=−1x=−1．36．（21-22七年级下·贵州黔南·期中）解方程：(1)QUOTE25x2−49=025x(2)QUOTE2x+12−49=12【答案】(1)QUOTEx=75x=75或QUOTEx=−75x=−(2)QUOTEx=4x=4或QUOTEx=−6x=−6【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键：（1）先将方程整理为QUOTEx2=4925