【北京特级教师】2020-2021学年人教A版数学选修2-3课后练习：模块综合问题选讲(二)

专题模块综合问题选讲(二)课后练习主讲老师：纪荣强北京四中数学老师先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是()A.eq\f(1,8) B.eq\f(3,8)C.eq\f(5,8) D.eq\f(7,8)高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为()A.eq\f(9,10) B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,9) D.eq\f(89,90)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和.(1)求X的分布列.(2)求X的数学期望E(X).一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，假如取到红球，那么连续取球，且取出的红球不放回；假如取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝eq\f(7,30)，求：(1)n的值；(2)X的分布列．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从今10张奖券中任抽2张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．设两球队A、B进行友情竞赛，在每局竞赛中A队获胜的概率都是p(0≤p≤1)．(1)若竞赛6局，且p＝eq\f(2,3)，求其中A队至多获胜4局的概率是多少？(2)若竞赛6局，求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？(3)若接受“五局三胜”制，求A队获胜时的竞赛局数ξ的分布列和数学期望．高二下学期，学校方案为同学们供应A、B、C、D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习(受条件限制，不允很多选，也不允许不选)．(1)求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；(2)求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；(3)求3位同学中，选择选修课程A的人数ξ的分布列与数学期望．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为eq\f(1,2)，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．依据历年的种植阅历，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．专题模块综合问题选讲(二)课后练习参考答案D.详解：至少一次正面朝上的对立大事的概率为eq\f(1,8)，故P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).D.详解：目标被击中的对立大事为两人都击不中，而两人都击不中的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,9)))，所以所求大事的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,9)))＝eq\f(89,90).(1)分布列为：X3456P(2)期望为.详解：(1)X=3，4，5，6，，，，，所以X的分布列为：X3456P(2)X的数学期望E(X)=.(1)eq\f(6,7).(2)分布列是X1234Peq\f(1,35)eq\f(4,35)eq\f(2,7)eq\f(4,7)随机变量X的数学期望eq\f(17,5).详解：(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为大事A，则P(A)＝＝eq\f(6,7).所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为eq\f(6,7).(2)随机变量X的全部可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝＝eq\f(1,35)，P(X＝2)＝＝eq\f(4,35)，P(X＝3)＝＝eq\f(2,7)，P(X＝4)＝＝eq\f(4,7).所以随机变量X的分布列是X1234Peq\f(1,35)eq\f(4,35)eq\f(2,7)eq\f(4,7)随机变量X的数学期望EX＝1×eq\f(1,35)＋2×eq\f(4,35)＋3×eq\f(2,7)＋4×eq\f(4,7)＝eq\f(17,5).(1)n＝7.(2)分布列为X1234Peq\f(7,10)eq\f(7,30)eq\f(7,120)eq\f(1,120)详解：(1)由P(X＝2)＝eq\f(7,30)知＝eq\f(7,30)，∴90n＝7(n＋2)(n＋3)．∴n＝7.(2)X＝1，2，3，4，且P(X＝1)＝eq\f(7,10)，P(X＝2)＝eq\f(7,30)，P(X＝3)＝eq\f(7,120)，P(X＝4)＝eq\f(1,120).∴X的分布列为X1234Peq\f(7,10)eq\f(7,30)eq\f(7,120)eq\f(1,120)(1)eq\f(2,3).(2)分布列为：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)详解：(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3)(2)依题意可知，X的全部可能取值为0，10，20，50，60(元)，且P(X＝0)＝＝eq\f(1,3)；P(X＝10)＝＝eq\f(2,5)；P(X＝20)＝＝eq\f(1,15)；P(X＝50)＝＝eq\f(2,15)；P(X＝60)＝＝eq\f(1,15).所以X的分布列为：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)eq\f(473,729).(2)eq\f(5,16).(3)ξ的分布列为：ξ345Pp33p3(1－p)6p3(1－p)2E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．详解：(1)设“竞赛6局，A队至多获胜4局”为大事A，则P(A)＝1－[P6(5)＋P6(6)]＝1－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C65\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋C66\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))6))＝1－eq\f(256,729)＝eq\f(473,729).∴A队至多获胜4局的概率为eq\f(473,729).(2)设“若竞赛6局，A队恰好获胜3局”为大事B，则P(B)＝p3(1－p)3.当p＝0或p＝1时，明显有P(B)＝0.当0<p<1时，P(B)＝p3(1－p)3＝20·[p(1－p)]3≤20·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2))3＝20·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6＝eq\f(5,16)当且仅当p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)时取等号．故A队恰好获胜3局的概率的最大值是eq\f(5,16).(3)若接受“五局三胜”制，A队获胜时的竞赛局数ξ＝3，4，5.P(ξ＝3)＝p3，P(ξ＝4)＝p3(1－p)＝3p3(1－p)P(ξ＝5)＝p3(1－p)2＝6p3(1－p)2，所以ξ的分布列为：ξ345Pp33p3(1－p)6p3(1－p)2E(ξ)＝3p3(10p2－24p＋15)．(1)eq\f(3,8).(2)eq\f(9,16).(3)ξ的分布列为ξ0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(ξ)＝eq\f(3,4).详解：(1)设3位同学中，从4门课中选3门课选修为大事M，则P(M)＝＝eq\f(3,8).(2)设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为大事N，则P(N)＝＝eq\f(9,16).(3)由题意，ξ的取值为0、1、2、3.则P(ξ＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝1)＝＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,43)＝eq\f(1,64).∴ξ的分布列为ξ0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)∴E(ξ)＝0×eq\f(27,64)＋1×eq\f(27,64)＋2×eq\f(9,64)＋3×eq\f(1,64)＝eq\f(3,4).(1)分布列为X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)Y＝2300－100X，数学期望为2100元．详解：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2))).∴P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,16).其分布列为X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)(2)∵X～B(4，eq\f(1,2))，∴E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.又由题意可知Y＝2300－100X，∴E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．即所求变量Y的数学期望为2100元．(1)eq\f(2,9).(2)分布列为Y51484542Peq\f(2,15)eq\f(4,15)eq\f(2,5)eq\f(1,5)数学期望为46.详解：(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随选取一株的不同结果有＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为eq\f(8,36)＝eq\f(2,9).(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．由于P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6