2025年人教版七年级数学寒假复习 专题05 一元一次方程（4重点串讲+13考点提升+过关检测）

专题05一元一次方程考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升提升专练：真题感知+精选专练，全面突破知识点1：一元一次方程的基础方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.方程的判断条件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.知识点2：等式的性质等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性质3：如果a=b，则b=a（对称性）等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c（传递性）【易错易混】1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.知识点3：解一元一次方程基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba步骤具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数1）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2)不要弄错符号.移项把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边1）移项时不要丢项;2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把方程变为ax=b（a≠0)的形式1）系数的符号处理要得当；

2）字母及其指数不变.系数化为1将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=b1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.【补充说明】1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.2)对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100．知识点4：一元一次方程与实际应用用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；答：写出答案，包括单位.考点剖析【考点1】一元一次方程的定义1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①x−2=1x；②3x=11；③x2=5x−1；④y2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知x=3是关于x的方程2x+a=0的一个解，则a的值是（

）A．−4 B．−5 C．−6 D．−7【考点2】已知一元一次方程的解求参数或代数式的值3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程a−3xa−3−7=0是关于x4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知x=2是关于x的方程3x−m=x+2n的解，则式子12m+n+2022的值为5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知3am−1b2与4a【考点3】等式的性质6．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程：(1)−2x=−3x+5(2)56=3x+32−2x；(3)3x+4=x；(4)23(5)3y−7−6y=−8；(6)7.9x+1.58+2x=7.9x−8.42．7．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的．(1)如果−x10=y5，那么(2)如果−2x=2y，那么x=，根据；(3)如果23x=4，那么x=，根据(4)如果x=3x+2，那么x=，根据．【考点4】解一元一次方程8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程：(1)x−3(2)5x+49．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程(1)4x−3(2)x+(3)x−110．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程3(2x−1)+2(1−2x)=2(2x−1)+3可以有多种不同的解法，观察此方程，设2x−1=y．(1)原方程可变形为3y−2y=2y+3，解方程得：y=，从而可得x=．(2)上述解法所用到的数学思想是．(3)利用上述方法解方程：211．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式2a3bm+1与−3a【考点5】以注重过程性学习的形式考查一元一次方程12．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程0.10.2解：0.1两边同时乘以10，得12合并同类项，得16系数化1，得x=60……③请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．13．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程4x=5”吗？我们可以这样考虑：因为5=5，−5=5，所以有4x=5或4x=−5，分别解得x=5414．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．x+14−2x−13x+3−8x+4=10x+4−12……第二步3x−8x+10x=4−12+3+4……第三步5x=−1……第四步x=−1填空：(1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________；(2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；(3)求该方程的正确解．15．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面是小明解方程2x−14解：去分母，得2(2x−1)=8−(3−x)，（第一步）去括号，得4x−2=8−3+x，（第二步）移项，得4x+x=8−3−2，（第三步）全并同类项，得5x=3，（第四步）系数化为1，得x=3根据解答过程完成下列任务．任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________；②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________；任务三：请你写出解该方程的正确解题过程．【考点6】同解方程16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若m−4x2|m|−7−4m=0(1)求m的值；(2)若该方程与关于x的方程6−2k=2x+3的解相同，求k17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的方程m−x2+m−33=x18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的两个方程4x−a5=5x2【考点7】根据一元一次方程解的情况求参数19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程2(x+1)=3m+1的解与方程5x+3=−7的解互为相反数，求m的值．（2）已知关于x的方程5m+3x=x+1的解比关于x的方程m+2x=3m的解大2，求m的值．20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程3x−m2(1)若m=−1，求该方程的解；(2)若x=5是方程的解，求12(3)若该方程的解与方程x+12=3+x−6(4)某同学在解该方程时，误将“56”看成了“65”，得到方程的解为x=1，求(5)若该方程有正整数解，求整数m的最小值．21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程x3(1)当a取何值时，方程无解？(2)当a取何值时，方程有无穷多个解？(3)当a取何值时，方程有唯一解x=−9？【考点8】与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题22．（24-25七年级上·山东·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是2x−⊗=1(1)小明猜想“⊗”部分是2，请你算一算x的值；(2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是x=1．请你算一算这个常数应是多少．23．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程3x−12+□=3时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为24．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程x+12+⊙=2+2−x(1)嘉淇猜⊙是−1，请解一元一次方程x+12(2)老师告诉嘉淇这个方程的解为x=−4，求被污染的常数⊙．25．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“3x+7=■−x”中的常数被“■”遮挡．(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；(2)老师说此方程的解与方程2x−1【考点9】与解一元一次方程有关的新定义问题26．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“£”其运算方式如下∶2£1=4×2−3×1=5∶1£−3−5£…观察上面的运算方式，请解决下列问题(1)对于任意有理数m，n，m£n=（用含m，n的式子表示）∶(2)解方程∶3£2£x(3)若关于x的方程3£ax−1=6a≠027．（24-25七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式A,B，定义新运算“⊕”：A⊕B=aA+bB；对正整数nn≥2和整式A，定义新运算““⊗”n⊗A=A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕An个A例如，当a=1，b=2时，若A=x，B=−y，则A⊕B=A+2B=x−2y，2⊗A=A⊕A=3x．(1)当a=2，b=1时，若A=x+y，B=x−2y，则A⊕B=______，3⊗A=______；(2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A=A，并说明理由；(3)当a=2，b=1时，若A=3x2+7xy，B=2x2−30xy−y2，p,q是正整数，令P=p⊗A，Q=q⊗B，且28．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x=4和3x+6=(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=6是“兄弟方程”，求m的值；(2)若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．【考点10】一元一次方程与数轴综合29．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b(1)数轴上数x到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时x的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时x的值为______．(2)x与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若x−3=2，则x=(3)当x是______时，代数式x−5+|x−2|=7(4)当x+3−x−5取最大值时，(5)若点A表示的数−1，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右测，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ=1？（请写出必要的求解过程）30．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为−2、1、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．(1)若AP=BP，则x=________；(2)若AP+BP=8，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？31．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，点B在原点的左侧，且AB=5AO（点A与点B之间的距离记作AB）(1)则B点表示的数为；点C到点A、点B的距离相等，则C点表示的数为；(2)若动点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后2PA=3PB，并求出此时P点在数轴上对应的数；(3)若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到达A点立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点N之间的距离是18个长度单位．32．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）如图：在数轴上点A表示数−2，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t>0）．(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AC表示点A到点C之间的距离，运动之前，AC的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）；(2)若t秒钟过后，点C在线段AB之间，且AC−2BC=0，求t值；(3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使m⋅BC−AB的值为定值？若存在，求出m和m⋅BC−AB的值；若不存在，请说明理由．【考点11】列方程33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（

）A．x−x2−1C．x−x2−134．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（

）A．50+0.8x=x−10 B．50+0.8x+x=10C．0.850+x=x−10 35．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为55cm，如果设此时水桶中水的深度是xcmA．13x+1C．32x+536．（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（

）A．π⋅82C．π⋅8237．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1:2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（

）A．80m=2×50×90−m B．C．2×80m=50×90−m D．【考点12】一元一次方程与实际问题38．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距240km，一列货车从甲站开出，每小时行驶48km，一列客车从乙站开出，每小时行驶(1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？(2)货车从甲站开出1h后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距4839．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某校新进了一批课桌椅，七年级（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年级（2）班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运6张桌子或者搬运15把椅子．请解答下列问题：(1)七年级（2）班男生、女生分别有多少人？(2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？40．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件．(1)求这批礼品共有多少件？(2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差．41．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为元．（2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）．某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答：（3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40%42．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况：参赛者答对题数答错题数总得分甲200100乙19194丙14664(1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分；(2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？(3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？43．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话：你好！我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团队票有优惠吗？你好！购票人数超过40人的团体票，有两种优惠方案：方案一：若每人都购票，每张门票打8折；方案二：若打9折，有7人可免票．(1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？(2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？(3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样．44．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示：(1)十字框中5个数之和是41的几倍？(2)设十字框中间的数为a，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和．(3)十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．45．（24-25七年级上·广东江门·期中）把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张．46．（2024七年级上·全国·专题练习）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元．(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？(2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题．《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数是多少？48．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸）【考点13】一元一次方程与几何综合49．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】若0°<∠α<180°，0°<∠β<180°，且∠α−∠β=45°，则称∠α、∠β互为“半余角”．已知，如图，O为直线AB上一点，∠AOM=15°，∠BON=60°(1)图中的“半余角”有哪几对？(2)若射线ON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒0<t<21．①当t=13.5时，请判断∠BON与∠MON是否互为“半余角”，并说明理由；②若射线OM同时绕点O以每秒15°的速度顺时针旋转，当∠AON与∠MON互为“半余角”时，直接写出t的值．50．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点A表示−8，点B表示8，点C表示14，我们称点A和点C在“折线数轴”上相距22个长度单位，动点P、Q同时出发，点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的四分之一，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原述．设运动的时间为t秒，问：(1)当动点P在OA上时，把点P到点A的距离记为AP，则AP=________（用t的代数式表示）；(2)当动点P在OB上时，把点P到点O的距离记为OP，则OP=________（用t的代数式表示）；(3)当点Q在BC上时，Q、B两点在“折线数轴”上相距的长度与P，O两点在“折线数轴”上相距的长度相等时，t的值为________（直接写出结果）．过关检测1．（24-25七年级上·全国·期末）已知等式2a+6=3b，则下列等式成立的是（

）A．2a+7=3b−1 B．a=3b2−3 C．4a+6=6b2．（22-23七年级上·河南新乡·期末）如图，已知∠AOC=13∠AOB，∠AOD=12∠AOB，且A．100° B．110° C．120° D．135°3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图：第1个图案中，内部“△”的个数为1个，外侧边上“●”的个数为3个；第2个图案中，内部“△”的个数为3个，外侧边上“●”的个数为6个；第3个图案中，内部“△”的个数为6个，外侧边上“●”的个数为9个；依此类推，当内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍时，n的值为（

）A．16 B．17 C．18 D．194．（24-25七年级上·全国·期末）下列方程变形中，正确的是（

）A．方程45x=−B．方程3x+5=4x+1，移项，得3x−4x=−1+5C．方程3x−7x−1=3−2D．方程1−2x3=5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“△”“◯”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“◯”的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．86（2024七年级上·河南·专题练习）方程1+x2=3的解是（A．x=5或x=−7 B．x=−5或x=7 C．x=3或x=−2 D．x=2或x=−37．（2024七年级上·吉林·专题练习）方程3x0.5−1.4−xA．6x−7−5x2=1C．30x5−14−x8．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果2x+6=a的解与−2x+5=4−3x的解相同，则a的值是（）A．4 B．3 C．2 D．19．（24-25七年级上·湖南永州·期中）数轴上点A、B分别表示数字a、b，且a+52+7−b=0若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（

）秒时，A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定10．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）在求一个两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行算，求解过程如图1~4所示，现仿照这几个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图5所示，若这个两位数的个位数字为aa≠0A．a+60 B．a+50 C．a+40 D．a+30二、填空题11．（24-25七年级上·全国·期末）若关于x的方程m−3xm−2+5=6是一元一次方程，则12．（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）如图，点B，C在线段AD上，且AB=BC=CD，点E为AB的中点，若EC=4.8cm，则AD=cm13．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，−2，3，−4，5，−6，7，−8分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将−4、5、7、−8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为．14．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+2=7−x的解相同，则a的值为．三、解答题15．（24-25七年级上·山东·期末）解方程：(1)2x−1(2)x+x−116．（2024七年级上·全国·专题练习）小明在解方程2x+45+1=x+a2时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为17．（23-24七年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料：根据绝对值的定义，|x|表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P、Q表示的数为x1,x2时，点P与点Q之间的距离为PQ=x1−x2，根据上述材料，解决下列问题：如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是−4，8（(1)AB=个单位长度；(2)若m=10，则m+4+m−8=；若m=−10，则m+4+m−8=；若m=6，则m+4+m−8=；若点(3)若m+4+m−8=2018．（24-25七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足a+6+b−122=0．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板(挡板厚度忽略不计)，点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为(1)点A表示的数为______，点B表示的数______．(2)当点P碰到挡板时，t的值为______．(3)当t=5时，点P表示的有理数为______；当t=11时，点P表示的有理数为______；(4)试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，直接写出相等时t的值；若不能，请说明理由．(5)当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值．19．（24-25七年级上·全国·期末）为了庆祝元旦，甲、乙两校准备共同组织文艺汇演，两校共有92人参加演出，其中甲校人数比乙校多，且甲校人数不足90人，现准备购买演出服装．下表是某服装厂给出的演出服装的价格表，如果两所学校单独购买一共需要付5000元．购买服装的套数1至45套46至89套90套及以上每套服装的价格60元50元40元(1)如果两校联合起来购买演出服装，比各自购买可以节省多少钱？(2)甲、乙两校各有多少人参加演出？20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB=30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若m=3，n=2，t=10秒时，∠BOC=________°；(2)若m=3，n=2，当OA在OC的左侧且平分∠MOC时，求t的值；(3)如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC．①若m=3，n=2，当射线OA，OB，OP中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出t=________秒；②当OA在OC的左侧，且∠COP与32∠MOA始终互余，求m与

专题05一元一次方程考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升提升专练：真题感知+精选专练，全面突破知识点1：一元一次方程的基础方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.方程的判断条件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.知识点2：等式的性质等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性质3：如果a=b，则b=a（对称性）等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c（传递性）【易错易混】1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.知识点3：解一元一次方程基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba步骤具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数1）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2)不要弄错符号.移项把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边1）移项时不要丢项;2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把方程变为ax=b（a≠0)的形式1）系数的符号处理要得当；

2）字母及其指数不变.系数化为1将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=b1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.【补充说明】1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.2)对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100．知识点4：一元一次方程与实际应用用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；答：写出答案，包括单位.考点剖析【考点1】一元一次方程的定义1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①x−2=1x；②3x=11；③x2=5x−1；④y2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义判断作答即可．【详解】解：由题意知，①中x−2=1②中3x=11是一元一次方程，故符合要求；③中x2④中y2⑤中x+2y=1含有两个未知数，故不是一元一次方程，故不符合要求；故选：B．2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知x=3是关于x的方程2x+a=0的一个解，则a的值是（

）A．−4 B．−5 C．−6 D．−7【答案】C【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将x=3代入2x+a=0中，求解a即可．【详解】解：将x=3代入2x+a=0，得：2×3+a=0，解得：a=−6．故选C．【考点2】已知一元一次方程的解求参数或代数式的值3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程a−3xa−3−7=0是关于x【答案】±4【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根一元一次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程．【详解】解：由题意可得：a−3≠0a解得a=±4，故答案为：±4．4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知x=2是关于x的方程3x−m=x+2n的解，则式子12m+n+2022的值为【答案】2024【分析】把x=2代入方程3x−m=x+2n，得到m+2n=4，整体思想，变形求代数式的值即可．本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解，正确求代数式的值是解题的关键．【详解】解：∵x=2是关于x的方程3x−m=x+2n的解，∴6−m=2+2n,解得m+2n=4，∴12∴1故答案为：2024．5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知3am−1b2与4a【答案】x=m+n2是方程【分析】本题考查了一元一次方程的解和同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，将m、n的值代入x=m+n2，可求得【详解】解：因为3am−1b所以m−1=2，n−1=2，解得m=3，n=3，所以x=m+n把x=3代入方程2x−6=0，得左边=2×3−6=0=右边．故x=m+n2是方程【考点3】等式的性质6．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程：(1)−2x=−3x+5(2)56=3x+32−2x；(3)3x+4=x；(4)23(5)3y−7−6y=−8；(6)7.9x+1.58+2x=7.9x−8.42．【答案】(1)x=(2)x=24(3)x=−2(4)m=12(5)y=(6)2x=−10【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．利用等式的基本性质解各个方程即可．【详解】（1）解：−2x=−3x+−2x+3x=−3x+3x+x=5（2）解：56=3x+32−2x56−56=3x+32−2x−56x−24=0x−24+24=0+24x=24；（3）解：3x+4=x3x−3x+4=x−3x−2x=4−2x÷x=−2；（4）解：2222m=12；（5）解：3y−7−6y=−83y−7−6y+7=−8+7−3y=−1−3y÷y=（6）解：7.9x+1.58+2x=7.9x−8.427.9x+1.58+2x−7.9x=7.9x−8.42−7.9x1.58+2x=−8.421.58+2x−1.58=−8.42−1.582x=−102x÷2=−10÷2x=−5．7．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的．(1)如果−x10=y5，那么(2)如果−2x=2y，那么x=，根据；(3)如果23x=4，那么x=，根据(4)如果x=3x+2，那么x=，根据．【答案】(1)−2y，等式的性质2；变形过程见解析(2)−y，等式的性质2；变形过程见解析(3)6，等式的性质2；变形过程见解析(4)−1，等式的性质1；变形过程见解析【分析】本题考查解一元一次方程，熟练利用等式的性质解一元一次方程是解题的关键．（1）根据等式的性质2，等号两边都乘以−10，等号仍成立，得出所求；（2）根据等式的性质2，等号两边都除以−2，等号仍成立，得出所求；（3）根据等式的性质2，等号两边都除以23（4）根据等式的性质1，等号两边都减去3x，再除以−2，等号仍成立，得出所求．【详解】（1）解：如果−x10=y5故答案为：−2y，等式的性质2；（2）解：如果−2x=2y，根据等式的性质2，等号两边都除以−2，等号仍成立，那么x=−y；故答案为：−y，等式的性质2；（3）解：如果23x=4，根据等式的性质2，等号两边都除以23故答案为：6，等式的性质2；（4）解：如果x=3x+2，根据等式的性质1，等号两边都减去3x，等号仍成立，那么x−3x=2，−2x=2，等号两边都除以−2，那么x=−1；故答案为：−1，等式的性质1．【考点4】解一元一次方程8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程：(1)x−3(2)5x+4【答案】(1)x=−1(2)x=【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【详解】（1）解：x−3x+1去括号得：x−3x−3−1=2x，移项得：x−3x−2x=3+1，∴−4x=4，解得：x=−1．（2）解：5x+43去分母得：45x+4去括号得：20x+16+3x−3=24−5x+5，整理得：28x=16，解得：x=49．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程(1)4x−3(2)x+(3)x−1【答案】(1)x=2(2)x=(3)x=8【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可；（3）先整理，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可．【详解】（1）解：4x−3去括号，得：4x−6+12x=26，移项，得：4x+12x=26+6，合并同类项，得：16x=32，化系数为1，得：x=2；（2）解：x+x−3去分母，得：6x+3x−3去括号，得：6x+3x−9=18−4x+2，移项，得：6x+3x+4x=18+2+9，合并同类项，得：13x=29，化系数为1，得：x=29（3）解：x−1整理，可得10x−102去分母，得510x−10去括号，得50x−50−40x−20=10移项、合并同类项，得10x=80，系数化为1，得x=8．10．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程3(2x−1)+2(1−2x)=2(2x−1)+3可以有多种不同的解法，观察此方程，设2x−1=y．(1)原方程可变形为3y−2y=2y+3，解方程得：y=，从而可得x=．(2)上述解法所用到的数学思想是．(3)利用上述方法解方程：2【答案】(1)−3，−1(2)换元思想（整体思想）(3)x=【分析】本题通过代换法的应用以及解一元一次方程，掌握换元思想是解题关键．（1）解出方程得到y的值，进而得到x的值即可；（2）解题方法用到了换元思想；（3）设y=x−2，将原方程换成y的方程，解出方程得到y的值，进而得到x的值即可．【详解】（1）解：3y−2y=2y+3，3y−2y−2y=3，−y=3，y=−3，∴2x−1=−3，解得x=−1，故答案为：−3，−1．（2）上述解法用到的数学思想为换元思想或者整体思想．故答案为：换元思想（整体思想）．（3）设y=x−2，原方程变形为：2y−22y−22y−2283y=−9∴x−2=−9∴x=511．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式2a3bm+1与−3a【答案】x=【分析】本题考查了同类项的定义、解一元一次方程，由同类项的定义求出n=3，m=2，代入方程得出6x−63−2x【详解】解：因为单项式2a3b所以n=3，m+1=3，所以m=2．把m=2，n=3代入关于x的方程3mx−2n3−2x=mn，得解得x=4【考点5】以注重过程性学习的形式考查一元一次方程12．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程0.10.2解：0.1两边同时乘以10，得12合并同类项，得16系数化1，得x=60……③请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．【答案】最早出现错误的步骤是①，正确的解法见解析．【分析】此题主要考查了解一元一次方程，第1步是将方程中未知数的系数化为整数，而不是去分母可得出错误的步骤序号，先将系数化为整数得12x−1【详解】解：最早出现错误的步骤是①，正确的解法如下：对于方程0.10.2将系数化为整数，得12合并同类项，得16系数化1，得x=6．13．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程4x=5”吗？我们可以这样考虑：因为5=5，−5=5，所以有4x=5或4x=−5，分别解得x=54【答案】x=−2或x=【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键．【详解】解：∵8＝8，∴−3x+2=8或−3x+2=−8，∴x=−2或x=1014．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．x+14−2x−13x+3−8x+4=10x+4−12……第二步3x−8x+10x=4−12+3+4……第三步5x=−1……第四步x=−1填空：(1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________；(2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；(3)求该方程的正确解．【答案】(1)等式的基本性质，乘法分配律(2)三，移项时没有变号(3)x=1【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤以及注意事项是解题的关键．（1）根据解一元一次方程的基本步骤逐步分析、判定即可解答；（2）检查步骤发现，移项时没有变号，据此可解答；（3）直接解方程即可．【详解】（1）解：以上解题过程中，第一步的变形的依据是等式的基本性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律；故答案为：等式的基本性质，乘法分配律；（2）解：以上解题过程中从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时没有变号；故答案为：三，移项时没有变号；（3）x+133x+3−8x+4=10x+4−123x−8x−10x=4−12−3−4−15x=−15x=1．15．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面是小明解方程2x−14解：去分母，得2(2x−1)=8−(3−x)，（第一步）去括号，得4x−2=8−3+x，（第二步）移项，得4x+x=8−3−2，（第三步）全并同类项，得5x=3，（第四步）系数化为1，得x=3根据解答过程完成下列任务．任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________；②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________；任务三：请你写出解该方程的正确解题过程．【答案】任务一：①等式的性质；②三，移项没有变号；任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等；任务三：见解析【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键．任务一：观察这位同学解方程的步骤，利用等式的基本性质，判断即可得到结果；任务二：答案不唯一，建议只要合理即可；任务三：根据解一元一次方程的步骤解答即可．【详解】解：任务一：①第一步的变形依据是等式的性质；②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：移项没有变号；任务二：（答案不唯一）去分母注意不要漏乘或去括号要注意符号或养成口头检验的习惯等任务三：解方程：2x−14去分母，得22x−1去括号，得4x−2=5+x，移项，得4x−x=5+2，合并同类项，得：3x=7，系数化为1，得x=7【考点6】同解方程16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若m−4x2|m|−7−4m=0(1)求m的值；(2)若该方程与关于x的方程6−2k=2x+3的解相同，求k【答案】(1)m=−4(2)k=−2【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义、一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．（1）依据一元一次方程的定义可得到2m−7=1，且（2）由（1）可得方程为−8x+16=0，即可求出它的解，将该解代入方程6−2k=2x+3【详解】（1）解：∵m−4x2|m|−7∴2m解得：m=±4m≠4∴m=−4；（2）解：由（1）得，方程为：−8x+16=0，解得：x=2，∵该方程与关于x的方程6−2k=2x+3∴6−2k=2×2+3解得：k=−2．17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的方程m−x2+m−33=x【答案】m=3【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把x=1代入第二个方程得出m−x2【详解】解：解方程32−x6−3x=2x+1，得：x=1，把x=1代入方程m−x2得：m−123m−13m−3+2m−6=6，5m=15，解得：m=3．18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的两个方程4x−a5=5x2【答案】5【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和步骤是解题的关键；根据题意，可先求出方程1−2x=7−5x的解，代入方程4x−a5=【详解】解：因为1−2x=7−5x，即3x=6，解得x=2，因为两个方程的解相同，将x=2代入4x−a5=解得a=−5．故a的值为5．【考点7】根据一元一次方程解的情况求参数19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程2(x+1)=3m+1的解与方程5x+3=−7的解互为相反数，求m的值．（2）已知关于x的方程5m+3x=x+1的解比关于x的方程m+2x=3m的解大2，求m的值．【答案】（1）m=53；（2）【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．（1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值；（2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值．【详解】解：（1）方程5x+3=−7，解得：x=−2，把x=2代入2(x+1)=3m+1得：2×3=3m+1，解得：m=5（2）5m+3x=x+1，移项得：2x=1−5m，系数化为一得：x=1−5mm+2x=3m，移项得：2x=2m，系数化为一得：x=m，∴1−5m2解得：m=−320．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程3x−m2(1)若m=−1，求该方程的解；(2)若x=5是方程的解，求12(3)若该方程的解与方程x+12=3+x−6(4)某同学在解该方程时，误将“56”看成了“65”，得到方程的解为x=1，求(5)若该方程有正整数解，求整数m的最小值．【答案】(1)x=0(2)30(3)23(4)−1(5)6【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，（1）依据题意得，当m=−1时，方程为3x+12（2）依据题意，由x=5是方程的解，得15−m2−5+m3=56（3）依据题意，由方程x+12=3+x−64的解为x=4，从而得（4）依据题意，由误将“56”看成了“65”，得到方程的解为x=1，可得3−m2（5）依据题意，由3x−m2−x+m3=56，可得x=5m+1解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键．【详解】（1）解：当m=−1时，方程为3x+12∴33x+1∴9x+3−2x+2=5，∴7x=0，∴x=0；（2）解：∵x=5是方程的解，∴3×5−m2∴315−m∴45−3m−10−2m=5，解得：m=6，∴12∴12m2（3）解：∵x+12解得：x=4，∵方程3x−m2−x+m∴3×4−m2∴312−m解得：m=23∴m的值为235（4）解：∵误将“56”看成了“65”，得到方程的解为∴x=1是方程3x−m2∴3×1−m2解得：m=−1∴m的值为−1（5）解：∵3x−m2∴33x−m∴9x−3m−2x−2m=5，∴x=5∵x取正整数，∴m+1为7的正整数倍数．又∵m取最小值，∴m+1=7，∴m=6，∴m的值为6．21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程x3(1)当a取何值时，方程无解？(2)当a取何值时，方程有无穷多个解？(3)当a取何值时，方程有唯一解x=−9？【答案】(1)a=−2(2)a=2(3)a=−4【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值等知识．熟练掌握一元一次方程的解，解一元一次方程，化简绝对值是解题的关键．（1）由题意知，方程整理得，2−a3⋅x=2−a，当2−（2）由题意知，当2−a3=0（3）把x=−9代入2−a3⋅x=2−a，得−6+3a=2−a【详解】（1）解：x3整理得，2−a由题意知，当2−a3=0解得a=−2，∴当a=−2时，方程无解；（2）解：由题意知，当2−a3=0解得a=2，∴当a=2时，方程有无穷多个解；（3）解：把x=−9代入2−a3⋅x=2−a当a≥0时，−6+3a=2−a，解得a=2（不合题意，舍去）；当a<0时，−6−3a=2−a，解得a=−4，∴当a=−4时，方程有唯一解x=−9．【考点8】与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题22．（24-25七年级上·山东·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是2x−⊗=1(1)小明猜想“⊗”部分是2，请你算一算x的值；(2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是x=1．请你算一算这个常数应是多少．【答案】(1)2(2)1【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、未知数系数化为1．（1）代入⊗=2，解方程即可；（2）设常数为y，把x=1代入解关于y的方程即可．【详解】（1）解：由题意得：2x−2=1解得：x=2；（2）解：设常数为y，把x=1代入得：2−y=1解得：y=123．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程3x−12+□=3时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为【答案】2【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，设被污染的正整数为m，则有3x−12+m=3，解方程得到x=7−2m3，根据方程的解为正整数得到7−2m3是正整数，且m为正整数，可得m=1【详解】解：设被污染的正整数为m，则有3x−12∴3x−1+2m=6，解得x=7−2m∵这个方程的解是正整数，∴7−2m3是正整数，且m∴m=1或m=2或m=3，∴当m=1或m=3时，7−2m3∴m=2时，7−2m3∴被污染的正整数是2．24．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程x+12+⊙=2+2−x(1)嘉淇猜⊙是−1，请解一元一次方程x+12(2)老师告诉嘉淇这个方程的解为x=−4，求被污染的常数⊙．【答案】(1)x=4(2)5【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．（1）运用解一元一次方程的一般步骤求解即可；（2）被污染的常数⊙为k得到x+12+k=2+2−x4，将【详解】（1）解：x+1去分母得：2x+1去括号得：2x+2−4=8+2−x，移项得：2x+x=8+2−2+4，合并同类项得：3x=12，系数化为1得：x=4；（2）设被污染的常数⊙为k，则原方程可化为：x+12∵这个方程的解为x=−4，∴将x=−4代入得：−4+12解得：k=5，即污染的常数⊙为5．25．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“3x+7=■−x”中的常数被“■”遮挡．(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；(2)老师说此方程的解与方程2x−1【答案】(1)x=−(2)遮挡的常数是19【分析】本题主要考查了解一元一次方程；（1）根据题意得出方程3x+7=1−x，然后解方程即可；（2）先解方程2x−12=12x+4得出x=3，设遮挡的常数为a，然后把解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算．【详解】（1）解：由题意得3x+7=1−x，移项，得3x+x=−7+1，合并同类项，得4x=−6，系数化为1，得x=−3（2）解：2x−1移项，得2x−1合并同类项，得32系数化为1，得x=3，设遮挡的常数为a，把x=3代入方程得3×3+7=a−3，解得a=19．故遮挡的常数是19．【考点9】与解一元一次方程有关的新定义问题26．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“£”其运算方式如下∶2£1=4×2−3×1=5∶1£−3−5£…观察上面的运算方式，请解决下列问题(1)对于任意有理数m，n，m£n=（用含m，n的式子表示）∶(2)解方程∶3£2£x(3)若关于x的方程3£ax−1=6a≠0【答案】(1)4×m−3×n(2)x=(3)a的值为−3，−1，1，3【分析】本题考查有理数的新运算，解一元一次方程，解题的关键是观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算，解一元一次方程，即可．（1）观察有理数的新运算，得到规律，根据规律，进行计算；（2）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，即可；（3）由（1）得，有理数新运算规律，再根据解一元一次方程，进行计算，即可．【详解】（1）解：由题意得，m£n=4m−3n，故答案为：4m−3n．（2）解：∵2£x=4×2−3x=8−3x，∴3£=3£=4×3−3=12−24+9x=−12+9x，∵3£2£x∴4−3x=−12+9x，解得：x=4（3）解：∵3£ax−1=12−3ax+3，=15−3ax，∴15−3ax=6，解得：x=3∵x为整数，∴3a∵a为整数，∴a的值为：−3，−1，1，3．27．（24-25七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式A,B，定义新运算“⊕”：A⊕B=aA+bB；对正整数nn≥2和整式A，定义新运算““⊗”n⊗A=A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕An个A例如，当a=1，b=2时，若A=x，B=−y，则A⊕B=A+2B=x−2y，2⊗A=A⊕A=3x．(1)当a=2，b=1时，若A=x+y，B=x−2y，则A⊕B=______，3⊗A=______；(2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A=A，并说明理由；(3)当a=2，b=1时，若A=3x2+7xy，B=2x2−30xy−y2，p,q是正整数，令P=p⊗A，Q=q⊗B，且【答案】(1)3x，7x+7y(2)a=0，b=1，理由见解析(3)p=4，q=3【分析】本题主要考查了新运算的定义与理解、指数运算与代数运算、方程求解与逻辑推理，熟练掌握新运算的理解和指数运算与代数运算是解题的关键；（1）根据新定义直接代入化简即可；（2）将n⊗A运算展开，进一步化简，然后根据使得这个方程对每一个正整数n都成立，代入即可；（3）根据已知条件分别表示出P、Q，然后化简，根据不含有的项的系数为0，化简，然后找出正整数的解即可；【详解】（1）解：当a=2，b=1时，若A=x+y，B=x−2y，A⊕B=aA+bB=2(x+y)+1(x−2y)=2x+2y+x−2y=3x3⊗A=A⊕A⊕A==23x+3y故答案为：3x，7x+7y．（2）解：取a=0，b=1，理由如下：n⊗A=a若n⊗A=A，则an令A=1，an这是一个关于a和b的方程，我们需要找到一组解使得这个方程对每一个正整数n都成立∴1n通过观察，我们可以发现当a=1，b=0时，上式变为1n即1=1，这个等式对每一个正整数n都成立．因此，我们找到了一组满足条件的a和b的值，即a=1，b=0．所以对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A=A．（3）解：根据新运算的定义得，P=2p−1当a=2，b=1时，P⊕Q=2P+Q当a=2，b=1时，上式变为：P⊕Q=2P+Q=22p−1∵P⊕Q不含xy项，∴7∴72当p=1，7×2=14，此时q不是正整数，舍去，当p=2，7×22+2当p=3，7×23+当p=4，7×24+23∴p=4，q=3．28．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x=4和3x+6=(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=6是“兄弟方程”，求m的值；(2)若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．【答案】(1)m=25(2)n1=4【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法．（1）根据关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=6是“兄弟方程”，先求出方程2x−4=6的解为，再代入5x+m=0中求解；（2）根据“兄弟方程”其中一个解为n，则“兄弟方程”的另一个解为−n，利用两个解的差为8，列出方程求解．【详解】（1）解：解方程2x−4=6，得x=5∵关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=6是“兄弟方程”，∴方程5x+m=0的解为x=−5，∴5×−5−25+m=0，∴m=25．（2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为n，则“兄弟方程”的另一个解为−n．∵两个解的差为8，∴n−−n=8或∴n1=4，【考点10】一元一次方程与数轴综合29．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b(1)数轴上数x到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时x的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时x的值为______．(2)x与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若x−3=2，则x=(3)当x是______时，代数式x−5+|x−2|=7(4)当x+3−x−5取最大值时，(5)若点A表示的数−1，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右测，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ=1？（请写出必要的求解过程）【答案】(1)−4，4；(2)x−3，1或5；(3)0或7；(4)x≥5，8；(5)运动2秒或3秒后，PQ=1．【分析】本题考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，解题的关键是掌握绝对值的定义．（1）数轴上到原点距离为4的点有两个，分别在原点的左右两边，根据数轴上点的特征即可求解；（2）根据绝对值的定义即可求解．（3）根据x的取值范围取绝对值，分①当x≥5时；②当2≤x<5时；③当x<2时，三种情况进行讨论求解即可；（4）根据绝对值的性质分类讨论，可得答案；（5）设运动x秒后PQ=1，根据题意求得点B表示的数为4，得到x秒后点P表示的数为−1+3x，点Q表示的数为4+x，则−1+3x−4+x【详解】（1）解：数轴上到原点距离为4的点有两个，当x在原点左边时，x的值为−4，当x在原点右边时，x的值为4，故答案为：−4，4；（2）解：x与3之间的距离表示为：x−3，若x−3=2,则解得：x=1或x=5故答案为：x−3，1或5；（3）解：①当x≥5时，原方程可化为：x−5+x−2=7，解得：x=7，②当2≤x<5时，原方程可化为：5−x+x−2=7，此时方程无解，③当x<2时，原方程可化为：5−x+2−x=7，解得：x=0，综上可得x的值为0或7，故答案为：0或7；（4）解：当x<−3时，x+3<0，x−5<0，∴x+3−当−3≤x<5时，x+3≥0，x−5<0，∴x+3−∴−3×2−2≤2x−2<5×2−2，即−8≤2x−2<8；当x≥5时，x+3>0，x−5≥0，∴x+3−综上可知：当x≥5时，x+3−x−5取最大值，最大值为故答案为：x≥5，8；（5）解：设运动x秒后PQ=1，∵点A表示的数为−1，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧∴点B表示的数为：−1+5=4，由题意可得x秒后点P表示的数为−1+3x，点Q表示的数为4+x，则−1+3x−4+x整理得：2x−5=1∴2x−5=−1或2x−5=1解得：x=2或x=3，∴运动2秒或3秒后PQ=1．30．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为−2、1、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．(1)若AP=BP，则x=________；(2)若AP+BP=8，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？【答案】(1)−(2)x的值为−92(3)这时点P、A、B表示的数各是525，−215，【分析】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．（1）可得点P为AB的中点，即可解答；（2）分三种情况，点P在点A左侧，点P在点B右侧，点P在点A、B之间，列方程即可解答；（3）分三种情况，BA=BP，点B在P左侧；AB=AP，点B、P相遇；PA=PB，点B追上点P，在点P右侧，列方程即可解答．【详解】（1）解：当AP=BP时，可得点P为AB的中点，可得x=−2+1故答案为：−1（2）解：∵AP+BP=8分3种情况①若点P在点A左侧∵AP+BP=8∴−2−x+1−x=8，∴x=−9②若点P在点B右侧∵AP+BP=8∴x+2+x−1=8，∴x=7③若点P在点A、B之间∵AB=4∴AP+BP=4这与题目条件AP+BP=8矛盾∴综上所述x的值为−92或（3）解：设移动的时间为t秒，则动点P，A，B对应的数分别为5+2t，−2−t，1+3t，分三种情况：①BA=BP，点B在P左侧∴1+3t−−2−t∴t=1此时，点P表示的数为5+2×1点A表示的数为−2−1点B表示的数为1+3×1②AB=AP，点B、P相遇∴1+3t−−2−t∴t=4，此时，点P表示的数为：5+2×4=13，点A表示的数为：−2−4=−6，点B表示的数为：1+3×4=13．③PA=PB，点B追上点P，在点P右侧5+2t−∴t=−4（舍去）；综上所述，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时点P、A、B表示的数各是525，−215，31．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，点B在原点的左侧，且AB=5AO（点A与点B之间的距离记作AB）(1)则B点表示的数为；点C到点A、点B的距离相等，则C点表示的数为；(2)若动点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后2PA=3PB，并求出此时P点在数轴上对应的数；(3)若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到达A点立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点N之间的距离是18个长度单位．【答案】(1)−24；−9(2)−12或−84(3)t为2.4或9.6或12或24秒时，点M和点N之间的距离是18个长度单位【分析】本题考查了数轴上数的表示，线段的和差，列一元一次方程方程解决问题，熟练应用