2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库：第6章-第3讲-等比数列及其前n项和-

第3讲等比数列及其前n项和一、选择题1．若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N＋)，则以下命题正确的是()①{a2n}是等比数列；②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列；③{lgan}是等差数列；④{lgaeq\o\al(2,n)}是等差数列．A．①③ B．③④C．①②③④ D．②③④解析∵an＝qn(q>0，n∈N＋)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，{lgan}， {lgaeq\o\al(2,n)}是等差数列．答案C2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8aA．5eq\r(2) B．7C．6 D．4eq\r(2)解析∵{an}为等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝50，∵an>0，∴a答案A3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝()．A．2 B.eq\f(1,2) C．2或eq\f(1,2) D．3解析∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.答案A4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝ A．8 B．15(eq\r(2)＋1)C．15(eq\r(2)－1) D．15(1－eq\r(2))解析∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝8，∴aeq\o\al(2,1)q6＝8，∴q＝eq\r(2)，∴S8＝eq\f(1－q8,1－q)＝15(eq\r(2)＋1)．答案B5．若数列{an}满足eq\f(a\o\al(2,n＋1),a\o\al(2,n))＝p(p为正常数，n∈N＋)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an} 是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的充要条件C．甲是乙的必要条件但不是充分条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：乙⇒甲，但甲⇒/乙，如数列2,2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．答案：C6．一个等比数列前三项的积为2，最终三项的积为4，且全部项的积为64，则该数列有()A．13项 B．12项C．11项 D．10项解析设前三项为a1，a1q，a1q2，最终三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aeq\o\al(3,1)q3＝2，最终三项之积aeq\o\al(3,1)q3n－6＝4.所以两式相乘，得aeq\o\al(6,1)q3(n－1)＝8，即aeq\o\al(2,1)qn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aeq\o\al(n,1)qeq\f(nn－1,2)＝64，即(aeq\o\al(2,1)qn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.答案B二、填空题7．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．解析由于an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.答案78．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.解析由S3＋3S2＝0得4a1＋4a2＋a3＝0，有4＋4q＋q2＝0，解得答案－29．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.解析由{an}为等比数列可知an≠0，又∵an＋2＋an＋1－2an＝0，∴q2＋q－2＝0，∴q＝ 1(舍)或q＝－2.∴S5＝eq\f(1×[1－－25],1－－2)＝11.答案1110．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an))为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－eq\f(nn－1,2)d；④若d>0，则Sn确定有最大值．其中真命题的序号是________(写出全部真命题的序号)．解析对于①，留意到eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an＋1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an＋1－an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))d是一个非零常数，因此数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an))是等比数列，①正确．对于②，S13＝eq\f(13a1＋a13,2)＝eq\f(13a2＋a12,2)＝13，因此②正确．对于③，留意到Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝n[an－(n－1)d]＋eq\f(nn－1,2)d＝nan－eq\f(nn－1,2)d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.答案①②③三、解答题11．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．(1)证明∵an＋Sn＝n， ①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴eq\f(an＋1－1,an－1)＝eq\f(1,2).∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝eq\f(1,2)，∴c1＝－eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2).∴{cn}是以－eq\f(1,2)为首项，公比为eq\f(1,2)的等比数列．(2)解由(1)可知cn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，∴an＝cn＋1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.又b1＝a1＝eq\f(1,2)代入上式也符合，∴bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n.12．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．解(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2).所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋eq\r(2))n－1或an＝(2－eq\r(2))n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a由a＞0得Δ＝4a2＋4由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝eq\f(1,3).13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.解(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(1＋nn,2).14．已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x) ＝4(x－1)被函数f(x)的图像截得的弦长为4eq\r(17)，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0(n∈N＋)．(1)求函数f(x)；(2)求数列{an}的通项公式；[来源:(3)设bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n解(1)依题意，设f(x)＝a(x－1)2(a>0)，则直线g(x)＝4(x－1)与函数y＝f(x)图像的两个 交点为(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋1，\f(16,a)))，[来源∵eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,a)))2)＝4eq\r(17)，∴a＝1，f(x)＝(x－1)2.(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)，∵(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0，∵a1＝2，∴an－1≠0，∴4an＋1－3an－1＝0，∴an＋1－1＝eq\f(3,4)(an－1)，又a1－1＝1，∴数列{an－1}是首项为1，公比为eq\f(3,4)的等比数列，∴an－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1＋1.(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1))2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n，设bn＝y，u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n