2021高考数学(文)一轮知能检测：第10章-第6节-几何概型

第六节几何概型[全盘巩固]1．如图，EFGH是以O为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示大事“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)＝()A.eq\f(4,π)B.eq\f(1,π)C．2D.eq\f(2,π)解析：选D豆子落在正方形EFGH内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH内任一点是等可能的，属于几何概型．由于圆的半径为1，所以正方形EFGH的边长是eq\r(2)，则正方形EFGH的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝eq\f(2,π).2.如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)解析：选C不妨设矩形的长、宽分别为a、b，于是S矩形＝ab，S△ABE＝eq\f(1,2)ab，由几何概型的概率公式可知P＝eq\f(S△ABE,S矩形)＝eq\f(1,2).3．(2022·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(4,5)解析：选C设AC＝xcm，则CB＝(12－x)cm(0<x<12)，所以矩形面积为x(12－x)cm2，由x(12－x)<32，解得x>8或x<4，所以0<x<4或8<x<12.故所求概率为eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).4．(2022·金华模拟)在区间[－5,5]内随机地取出一个数a，则恰好使1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6解析：选D由已知得2＋a－a2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x的不等式2x2＋ax－a2<0的一个解．故所求概率为P＝eq\f(－1＋5＋5－2,5－－5)＝eq\f(7,10)＝0.7.5．(2022·长沙模拟)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))表示的平面区域为D，在D内任取一点P(x，y)，若满足2x＋y≤b的概率大于eq\f(1,4)，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选C区域D表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)为顶点的正方形，其面积S1＝1.依据题意，b>0，设正方形OABC位于直线2x＋y＝b下方部分面积为S2，由于直线2x＋y＝b在x轴，y轴上的截距分别为eq\f(b,2)，b，则当0<b≤1时，S2＝eq\f(1,2)·eq\f(b2,2)＝eq\f(b2,4)≤eq\f(1,4).故题设，P＝eq\f(S2,S1)＝S2>eq\f(1,4)，则b>1.6．(2021·湖南高考)已知大事“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(7),4)解析：选D依题可知，E，F是CD上的四等分点，P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a,4)))2＝a2，即b2＝eq\f(7,16)a2，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(7),4).7．在区间[0,1]上任凭选择两个实数x，y，则使eq\r(x2＋y2)≤1成立的概率为________．解析：D为直线x＝0，x＝1，y＝0，y＝1围成的正方形区域，而d为由eq\r(x2＋y2)≤1，即x2＋y2≤1(x≥0，y≥0)围成的单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为eq\f(Sd,SD)＝eq\f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)8．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq\f(S,4)的概率是________．解析：要使S△PBC>eq\f(1,4)S△ABC，只需PB>eq\f(1,4)AB.故所求概率为P＝eq\f(\f(3,4)AB,AB)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．小张通过做玩耍的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书．则小张周末不在家看书的概率为________．解析：由于去看电影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(3,4)，去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π×12)＝eq\f(1,16)，所以小张周末不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).答案：eq\f(13,16)10.如图，在单位圆O的某始终径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥eq\f(\r(3),2)，而Q点在直径AB上是随机的，大事A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝eq\f(\f(\r(3),2)×2,2)＝eq\f(\r(3),2).所以弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－eq\f(\r(3),2).11．城市公交车的数量太多简洁造成资源的铺张，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1(1)求这15名乘客的平均候车时间；(2)估量这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．解：(1)eq\f(1,15)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝eq\f(1,15)×157.5＝10.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为eq\f(2＋6,15)＝eq\f(8,15)，所以候车时间少于10分钟的人数为60×eq\f(8,15)＝32.(3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2.从6人中任选2人的全部可能状况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能状况，故所求概率为eq\f(8,15).12．(2022·济南模拟)某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成，幼儿园供应了两种玩耍方案：方案一：宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6)，宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二：宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间[1,6]的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为n.(1)在方案一中，若x＋1＝2y，则嘉奖宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；(2)在方案二中，若m>2n，则嘉奖宝宝一本爱好读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本爱好读物的概率．解析：(1)由题意，宝宝和家长所得点数x，y全部取值所得基本大事总数为36.而满足x＋1＝2y的(x，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3组．则抛掷一次后宝宝得小红花的概率P1＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)由题意，m，n∈[1,6]，则(m，n)全部取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25.(m，n)满足不等式m>2n，所占区域面积为eq\f(1,2)×4×2＝4.则按下一次按钮后宝宝得爱好读物一本的概率P2＝eq\f(4,25).[冲击名校]设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线x－4＝0的距离大于2的概率是()A.eq\f(1,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(16,25)D.eq\f