【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：2.3-函数的奇偶性与周期性-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(六)函数的奇偶性与周期性(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2021·蚌埠模拟)已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数,则f(1)的值()A.恒为正数 B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负【解析】选A.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)是R上的单调递增函数,所以f(1)>f(0)=0.2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y= B.y=e-xC.y=-x2+1 D.y=lg|x|【解析】选C.A中,y=为奇函数,故排解A;B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排解B;C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;D中,y=lg|x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排解D.3.(2021·泉州模拟)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤2时,f(x)=x(2-x),则f(2021)等于()A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】选B.f(2021)=f(4×503+3)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-f(1)=-1×(2-1)=-1.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时留意以下两点:(1)周期的确定:特殊是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般状况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调整转化正负号的作用.【加固训练】(2021·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2013)=()A.-1 B.0 C.1 D.±1【解析】选A.由于f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.由于f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2013)=f(4×503+1)=f(1).由于f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2013)=f(1)=-1,故选A.4.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数 B.偶函数C.增函数 D.周期函数【解析】选D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以接受如下方法:方法一:(特值法)取x1=1.2,x2=2,则f(x1)=1.2-[1.2]=0.2,f(-x1)=-1.2-[-1.2]=0.8,所以f(-x1)≠±f(x1),所以f(-x)≠±f(x),故A,B错;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,明显f(x)不是增函数,故C错,故选D.方法二:(图象法)依据已知可以作出函数f(x)的图象,如图所示,则可知f(x)是有界,且周期为k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为1,故选D.5.(2022·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数【解析】选C.设H(x)=f(x)·|g(x)|,则H(-x)=f(-x)·|g(-x)|,由于f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以H(-x)=-f(x)·|g(x)|=-H(x),故H(x)是奇函数.6.已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lgx,则f(f())的值等于()A. B.- C.lg2 D.-lg2【解析】选D.由于当x>0时,f(x)=lgx,所以f()=lg=-2,则f(f())=f(-2),由于函数y=f(x)是奇函数,所以f(f())=-f(2)=-lg2.7.(2021·黄冈模拟)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)=4x3+x B.f(x)=lnC.f(x)=tan D.f(x)=ex+e-x【解析】选D.由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.A中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,所以f(x)=4x3+x为“和谐函数”;B中,f(0)=ln=ln1=0,且f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)=ln为“和谐函数”;C中,f(0)=tan0=0,且f(-x)=tan(-)=-tan=-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(x)=tan为“和谐函数”;D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点,所以f(x)=ex+e-x不是“和谐函数”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.【解析】由于函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0.答案:010.(2021·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是.【解析】由于f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数.所以解得-1≤m<.答案:[-1,)(20分钟40分)1.(5分)(2022·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)= B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,精确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f(x)关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是()A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选A.由于2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)=该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)(2021·杭州模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图象与y=log4|x|的图象的交点个数是()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图象如图所示,依据函数y=log4|x|也是偶函数,其图象也关于y轴对称,简洁知道它们的交点共有6个.故选C.3.(5分)(2022·安徽高考)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=x(1-x),0≤x≤1,sinπx,1<x≤2,则f294+f41【解析】f294+f=f4+13=f134+f=f4-3=f-34=-f34-f=-341-=-316+12=答案:5【加固训练】已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2015)=.【解析】令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2015)=f(335×6+5)=f(5)=.答案:【一题多解】本题还可以接受如下方法:由于f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=所以f(2015)=答案:4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)假如f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)由于对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(力气挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试推断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2014,2014]上根的个数,并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0冲突;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0冲突;因此f(x)不是奇函数.