【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练17

双基限时练(十七)数乘向量一、选择题1．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有()①a＝5e1，b＝7e1；②a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.A．①② B．①③C．②③ D．①②③解析①中a与b明显共线；②中，由于b＝3e1－2e2＝6(eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2)＝6a，故a与b共线；而③设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)无解，故a与b不共线，故共线的有①②，故选A.答案A2．下列计算正确的个数是()①(－2)(3a)＝－6a；②(a＋3b)＋(－a－3③2(a＋b)－3(b－2a)＝8a－A．0 B．1C．2 D．3解析②中，(a＋3b)＋(－a－3b)＝0，故②不正确，①③均对．答案C3．△ABC中，点D是BC边的中点，设eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，用a，b表示eq\o(AD,\s\up15(→))为()A.a＋b B.eq\f(1,2)a＋bC.a＋eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b解析方法一：eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故选D.方法二：以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，则点D是平行四边形对角线的中点，所以eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故选D.答案D4．线段AB的中点为C，若eq\o(AB,\s\up15(→))＝λeq\o(BC,\s\up15(→))，则λ的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D.eq\f(1,2)或2解析∵eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CB,\s\up15(→))＝2eq\o(CB,\s\up15(→))＝－2eq\o(BC,\s\up15(→)).答案B5．设e1，e2是两个不共线的向量，则a＝e1＋λe2(λ∈R)与向量b＝－(e2－2e1)共线的条件是()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)解析由题可知，b＝－e2＋2e1＝k(e1＋λe2)，得λ＝－eq\f(1,2).答案D6．如图，已知eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AC,\s\up15(→))＝b，eq\o(BD,\s\up15(→))＝3eq\o(DC,\s\up15(→))，用a，b表示eq\o(AD,\s\up15(→))，则eq\o(AD,\s\up15(→))等于()A．a＋eq\f(3,4)bB.eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b解析eq\o(AD,\s\up15(→))＝a＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝a＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up15(→))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)b，故选B.答案B7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为()A．3 B．－3C．0 D．2解析由平面对量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))，∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.答案A二、填空题8．已知2(x－eq\f(1,3)a)－eq\f(1,2)(b＋c＋3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则x＝________.解析由已知得：eq\f(1,2)x－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(c,2)＋b＝0，得eq\f(1,2)x＝eq\f(2,3)a－eq\f(b,2)＋eq\f(c,2)，得x＝eq\f(4,3)a－b＋c.答案eq\f(4,3)a－b＋c9．设eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(\r(2),2)(a＋5b)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up15(→))＝3(a－b)，则共线的三点是__________．解析eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝a＋5b，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(\r(2),2)eq\o(BD,\s\up15(→))，即A，B，D三点共线．答案A，B，D10．已知O是△ABC内一点，eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝－3eq\o(OB,\s\up15(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．解析如图，在△ABC中，设D为AC的中点，四边形OCEA为平行四边形，∴eq\o(OC,\s\up15(→))＋eq\o(OA,\s\up15(→))＝eq\o(OE,\s\up15(→)).且△ADE≌△CDO，∴S△AOC＝S△AOE.又eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝－3eq\o(OB,\s\up15(→))，即eq\o(OE,\s\up15(→))＝－3eq\o(OB,\s\up15(→))，∴eq\f(S△AOB,S△AOE)＝eq\f(|\o(BO,\s\up15(→))|,|\o(OE,\s\up15(→))|)＝eq\f(|\o(BO,\s\up15(→))|,3|\o(BO,\s\up15(→))|)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)三、解答题11．化简下列各式：(1)3(2a－b)－2(4a－3(2)eq\f(1,3)(4a＋3b)－eq\f(1,2)(3a－b)－eq\f(3,2)b；(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－解本题可利用结合律和安排律进行化简．(1)3(2a－b)－2(4a－3＝6a－3b－8a＝－2a＋3b(2)eq\f(1,3)(4a＋3b)－eq\f(1,2)(3a－b)－eq\f(3,2)b＝eq\f(4,3)a＋b－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(3,2)))b＝－eq\f(1,6)a.(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－＝6a－8b＋2c－6a－3＝(6－6)a＋(－8－3)b＋(2＋9)c＝－11b＋11＝11(c－b)．12．已知向量m，n是不共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋x(1)推断a，b是否平行；(2)若a∥c，求x的值．解(1)若a∥b，则b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝3λ，,－4＝2λ，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,λ＝－2，))⇒λ不存在，∴a与b不平行．(2)∵a∥c，∴c＝ra.∴m＋xn＝r(3m＋2n即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3r，,x＝2r))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,3)，,x＝\f(2,3)，))所以x＝eq\f(2,3).13．已知两个非零向量a、b不共线，eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋3b.(1)证明：A、B、C三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．解(1)由于eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋b，eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq\o(OC,\s\up15(→))＝a＋3b，则eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋2b－(a＋b)＝b.而eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是eq\o(AC,\s\up15(→))＝2eq\o(AB,\s\up15(→))，即eq\o(AC,\s\up15(→))与eq\o(AB,\s\up15(→))共线．又AC与AB有公共点A，所以A、B、C三点共线．(2)由于a、b为非零向量且不共线，所以a＋kb≠0.若ka＋b与a＋kb共线，则必存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，整理得