导数在经济中的应用

导数在经济中的应用一、边际分析定义5设函数y=f(x)是可导函数,则称其导函数f′(x)为y=f(x)的边际函数.f′(x)在点x0处的函数值f′(x0)称为y=f(x)在点x0处的边际函数值.

根据微分的定义，当Δx很小时，有下面的近似公式Δy=f(x+Δx)－f(x)≈f′(x)Δx,

特别地，当Δx=1时，有f(x+1)－f(x)≈f′(x)·1=f′(x)，也就是说，当自变量增加1个单位时，函数的增量近似地等于其导数值.

一、边际分析所以，边际函数值f′(x0)的经济意义为：在点x=x0处，当自变量x改变1个单位时，因变量y将近似地改变f′(x0)个单位.解释边际函数值的具体意义时,通常略去“近似”二字.

将边际函数的概念具体到不同的经济函数,则常用的有边际成本、边际收益、边际利润.

一、边际分析边际成本1.某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额，可分为固定成本和变动成本两部分.固定成本是指在一定时期内不随产量Q变化的那部分成本，如厂房、设备费等，记为C0；变动成本是指随产量Q变化而变化的那部分成本，如原材料费等，记为C1(Q).于是总成本函数的一般形式是C(Q)=C0+C1(Q).

当产量Q=0时，对应的成本函数值C(0)就是产品的固定成本值.一、边际分析称(Q)=C(Q)Q为单位成本函数或平均成本函数.

成本函数C=C(Q)(Q是产量)的导数C′(Q)称为边际成本函数.

由边际函数的定义知,边际成本函数值C′(Q0)的经济意义是:当产量为Q0时,多生产一个单位产品增加的成本为C′(Q0).

一、边际分析【例53】已知某商品的总成本函数为C(Q)=0.5Q2+10Q+400(元),求:

(1)当Q=20件时的总成本和平均成本.

(2)当Q=20件时的边际成本,并解释其经济意义.

解(1)当Q=20件时的总成本为一、边际分析边际收益2.总收益是指生产者出售一定量产品所得到的全部收入，是销售量的函数.当产品销量为Q，价格为P时，收益函数的一般形式是R(Q)=P·Q.

收益函数R=R(Q)的导数R′(Q)称为边际收益函数；称

为平均收益.

边际收益函数值R′Q0的经济意义是：在销售量为Q0的基础上，再多销售一个单位产品所增加的收益.

一、边际分析【例54】设某产品的需求函数为Q=1000－2P(元/件),求销售量为300件时的总收益、平均收益与边际收益，并说明边际收益的经济意义.解由需求函数可得P=500－0.5Q,故产品的收益函数为R(Q)=QP=Q(500－0.5Q)=500Q－0.5Q2,当Q=300时,总收益为一、边际分析一、边际分析需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系Q=Q(P)，其中Q表示需求量，P表示价格.注一、边际分析边际利润3.如果产销平衡，即产量为Q，销量也为Q时，利润函数的一般形式是L(Q)=R(Q)－C(Q).

利润函数L=L(Q)的导数L′(Q)称为边际利润函数.边际利润函数值L′Q0的经济意义是：在产量为Q0的基础上，再多生产一个单位产品所增加的利润.

利润函数为L(Q)=R(Q)－C(Q),则边际利润函数L′(Q)=R′(Q)－C′(Q).一、边际分析【例55】某产品的总成本函数为C(Q)=60+50Q+0.5Q2(元),总收益为R(Q)=120Q－0.5Q2(元),求Q=10件时的边际利润,并解释其经济意义.解利润函数为L(Q)=R(Q)－C(Q)=120Q－0.5Q2－60+50Q+0.5Q2=－60+70Q－Q2,所以边际利润函数为L′Q=70－2Q,当Q=10时的边际利润为L′10=70－2×10=50(元),其经济意义是:当产量为10件时,再多生产一件产品所增加的利润为50元.二、弹性分析函数的弹性1.在边际分析中知道,边际函数指的是函数的变化率,这个变化率是绝对的,函数的增量也是绝对的,然而用绝对增量和绝对变化率的概念并不能更深入地分析经济领域的问题.例如，甲商品原价1000元,乙商品原价10元,现对两种商品都涨价1元.两种商品的绝对增量都是1元,但是哪种商品涨价的幅度更大呢？哪种商品涨价对市场的需求影响大呢？很显然，当用绝对增量去和原价进行比较后，发现甲商品的涨幅为0.1%，而乙商品的涨幅为10%，一般来说可推测甲商品的涨价对它的市场需求影响不大.因此,还有必要来研究函数的相对增量和相对变化率.

二、弹性分析定义6二、弹性分析二、弹性分析【例56】二、弹性分析需求弹性2.定义7设商品的需求函数为Q=Q(P),则该商品在价格为P时的需求弹性为一般来说,由于需求函数是单调递减的函数,则Q′(P)一般为负值,所以需求弹性η也为负值.需求弹性反映了产品的需求量对价格变动反映的强烈程度，其经济意义是:当某商品价格为P时，价格上涨(下降)1%时，需求量近似减少(增加)η%.在具体的经济问题解释时，通常略去“近似”二字.

二、弹性分析设商品的需求函数为Q=Q(P),则收益函数为R(P)=P·Q=P·Q(P),所以其关于价格的边际收益函数为由此可知：(1)当η<1时,即当需求的变化幅度小于价格变化的幅度时,R′(P)>0,即R(P)单调增加,即当价格上涨时,总收益增加;价格下跌时,总收益减少.经济学中,这种商品称为缺乏弹性商品.

(2)当η>1时,即当需求的变化幅度大于价格变化的幅度时,R′(P)<0,即R(P)单调减少,即当价格上涨时,总收益减少;价格下跌时,总收益增加.经济学中,这种商品称为富有弹性商品.二、弹性分析(3)当η=1时,即当需求的变化幅度等于价格变化的幅度时,R′(P)=0,即R(P)取得最大值.经济学中,这种商品称为单位弹性商品.二、弹性分析【例57】设某商品的需求函数为Q(P)=150－2P2.(1)求需求弹性函数ηP.(2)求当P=3时的需求弹性,并说明其经济意义.(3)当P=3时,若价格上涨1%,总收益变化百分之几?是增加还是减少?(4)当P=6时,若价格上涨1%,总收益变化百分之几?是增加还是减少?二、弹性分析二、弹性分析其经济意义是:当P=3时,若价格上涨1%,总收益增加0.73%;价格下降1%,总收益减少0.73%.

(4)当P=6时,需求弹性为因为η(6)>1,所以价格上涨,总收益减少.总收益对价格的弹性函数值其经济意义是:当P=6时,若价格上涨1%,总收益减少0.85%;价格下降1%,总收益增加0.85%.三、最优化问题

在经济生活中，为了达到经济效益的最大化，经常会碰到如何组织生产，使得投入最少、成本最低、利润最大等问题.下面举一些例子进行探讨.

三、最优化问题利润最大化问题1.设某商品的收益函数为R(Q),总成本函数为C(Q),则利润函数为L(Q)=R(Q)－C(Q),

为了求最大利润，求其一阶导数L′(Q)=R′(Q)－C′(Q)，令L′(Q)=0，得R′(Q)=C′(Q).

所以当R′(Q)=C′(Q)时,即当边际收益等于边际成本时,可以实现最大利润.三、最优化问题【例58】设某厂生产某种机器的总成本函数为C(Q)=3Q+150(万元),收益函数为R(Q)=9Q－0.02Q2(万元),问生产并销售多少台机器时,利润达到最大?解利润函数为L(Q)=R(Q)－C(Q)=－0.02Q2+6Q－150,边际利润函数为L′(Q)=－0.04Q+6,令L′(Q)=0,得唯一驻点Q=150,由于利润必存在最值，所以只要生产并销售150台机器,就可以获得最大利润.三、最优化问题平均成本最小化问题2.三、最优化问题经济批量问题3.某批发零售公司要进行进货销售业务,在总需求量一定的条件下,存在订货费用与存货成本费用的问题.订购批量大,订购次数少,则