导数的基本概念

导数的基本概念一、引例变速直线运动的瞬时速度1.设有一做直线运动的物体，其位置函数s=s(t)，当t=t0时，s0=s(t0).当由时刻t0变到t0+Δt时，物体在Δt这段时间内所走过的路程(见图3-1)为

Δs=s(t0+Δt)－s(t0)

图3-1一、引例一、引例曲线切线的斜率2.设曲线y=f(x)的图像如图3-2所示，点M(x0,y0)为曲线上一定点，在曲线上另取一点M1(x0+Δx,y0+Δy)，点M1的位置取决于Δx，它是曲线上一动点.下面来求点M(x0,y0)处的切线的斜率.由图3-2易知割线MM1的斜率K为一、引例图3-2一、引例当点M1沿曲线趋向点M时，也就是当Δx→0时，割线MM1的极限位置就是曲线在点M的切线MT.显然，这时割线MM1的倾角φ趋向于切线MT的倾角α，则切线的斜率

二、导数的定义上面两个实例的具体含义虽然不同，但是从抽象的数量关系来看，它们的本质是一样的，都归结为函数值的增量与自变量增量的比值的极限.我们把这种极限称为函数的导数.

二、导数的定义函数y=f(x)在点x0的导数的概念1.定义1二、导数的定义【例1】二、导数的定义函数y=f(x)在(a,b)上的导数的概念2.定义2若函数y=f(x)在(a,b)内每一点都可导，则称y=f(x)在(a,b)内可导.也就是说对于该区间内每一点x都有一个导数值f′(x)与之对应，故f′(x)是该区间上的一个函数，称为f(x)在该区间上的导函数，简称导数，记为f′(x)，dy或者y′，有时也记为df.显然，f(x)在x0处的导数f′(x0)等于导函数f′(x)在点x0处的函数值.二、导数的定义一般地，某函数的导数还是一个函数，我们称之为导函数；而函数在某一点的导数是一个数值，我们称之为函数在这点的导数值.注二、导数的定义由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f′(x)，可以分为以下三个步骤：(1)求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)；

下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数.

二、导数的定义求函数y=C(C为常数)的导数.解(1)求增量Δy=C－C=0；【例2】二、导数的定义求函数y=x2的导数.解(1)求增量Δy=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2xΔx+(Δx)2；【例3】二、导数的定义【例4】二、导数的定义求函数y=cosx的导数.解(1)求增量

【例5】这就是说余弦函数的导数是负的正弦函数.二、导数的定义【例6】求函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的导数.这就是指数函数的求导公式.特殊地，当a=e时，因lne=1，故有

(ex)′=ex

.

上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它本身，这是以e为底的指数函数的一个重要特性.

二、导数的定义分段函数在分段点处的导数，必须用导数的定义来求.注二、导数的定义函数左、右导数的概念2.与函数y=f(x)在点x0的左、右极限概念类似，我们可以定义函数左、右导数的概念.

二、导数的定义定义3二、导数的定义定义4显然，当且仅当函数在一点的左、右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的.二、导数的定义(1)函数f(x)在［a,b］上是可导的，是指f(x)在开区间(a,b)内每一点可导，而且在左端点a处f′+(a)存在，在右端点b处f′－(b)存在.(2)如果f(x)是分段函数，当x0是分段函数的分界点时，需要用定义计算出左导数f′－(x0)和右导数f′+(x0).若f′－(x0)与f′+(x0)都存在且相等时，则f(x)在点x0可导，且有f′(x0)=f′－(x0)=f′+(x0)；若f′－(x0)≠f′+(x0)时，则f(x)在点x=x0处不可导.注二、导数的定义讨论函数f(x)=sinx在x=0处的可导性.【例9】二、导数的定义【例10】三、导数的几何意义设曲线y=f(x)如图3-3所示，M0N=Δx,NM=Δy,

就是割线M0M的斜率.图3-3三、导数的几何意义当Δx→0时，点M沿曲线y=f(x)趋于点M0，割线M0M趋于它的极限位置M0T，而直线M0T是曲线y=f(x)在点M0处的切线.很明显，当Δx→0时，有β→α，于是有

因此，函数y=f(x)在点x0处的导数值f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率，即k=tanα=f′(x0).

三、导数的几何意义【例11】求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.

解由导数的几何意义知，y=x2的曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′x=1=2×1=2，所以，曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y－1=2(x－1)，即2x－y－1=0.

四、函数的可导性与连续性的关系定理1也就是说函数在某点连续是在该点可导的必要条件而非充分条件.例如，函数f(x)=|x|在(－∞,+∞)上连续，但x=0处的导数不存在.曲线f(x)=|x|在原点处没有切线.四、函数的可导性与连续性的关系【例12】设函数若要使f(x)为可导函数，应如何选择a,b？四、函数的可导性与连续性的关系解当x>1和x<1时，f(x)显然是可导的，故要使f(x)为可导函数