【复习参考】高三数学(理)考点巩固训练40-空间向量及其运算

考点巩固训练40空间向量及其运算一、选择题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b肯定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．2．对空间任意一点O，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则A，B，C，P四点()．A．肯定不共面B．肯定共面C．不肯定共面D．与O点的位置有关3．(2021重庆模拟)已知a＝(2,3,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则()．A．x＝eq\f(9,2)，y＝eq\f(15,2)B．x＝9，y＝15C．x＝eq\f(9,2)，y＝15D．x＝－9，y＝－154．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq\o(BM,\s\up6(→))相等的向量是()．A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cB．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c5．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值时，x的值为()．A．19B．－eq\f(8,7)C．eq\f(8,7)D．eq\f(19,14)6．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则λ等于()．A．2B．－2C．－2或eq\f(2,55)D．2或－eq\f(2,55)7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N为B1B的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|为()．A．eq\f(\r(21),6)aB．eq\f(\r(6),6)aC．eq\f(\r(15),6)aD．eq\f(\r(15),3)a二、填空题8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为__________．9．如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，则λ＝__________.10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与三、解答题11．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).若m(a＋b)＋n(a－b)与2a－b垂直，求m，n应满足的关系式．12．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

参考答案一、选择题1．A解析：①中a与b所在的直线有可能重合；②中a与b中可能有一个为零向量；③中举反例“空间直角坐标系”；④中前提必需是a，b，c不共面．2．B解析：eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P点在平面ABC内．3．A4．A解析：如题图，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1M,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝c＋eq\f(1,2)(b－a)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c．5．C解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x，2x－3，－3x＋3)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－x）2＋（2x－3）2＋（－3x＋3）2)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))\s\up12(2)＋\f(5,7))．当x＝eq\f(8,7)时，|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值．6．C解析：由已知得eq\f(8,9)＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－λ＋4,\r(5＋λ2)·\r(9))，∴8eq\r(5＋λ2)＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝eq\f(2,55)．7．A解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2)))．设M(x，y，z)．∵点M在eq\o(AC1,\s\up6(→))上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))．∴(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，∴x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3)．于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))．∴|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(21),6)a．二、填空题8．eq\f(3,5)eq\r(5)解析：∵b－a＝(1＋t，2t－1，0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(2,5)t＋\f(1,25)))＋eq\f(9,5)＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,5)．∴当t＝eq\f(1,5)时，|b－a|eq\o\al(2,最小)＝eq\f(9,5)，∴|b－a|最小＝eq\f(3\r(5),5)．9．eq\f(1,2)解析：如图所示，取AC的中点G，连接EG，GF，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))．∴λ＝eq\f(1,2)．10．eq\f(\r(15),15)解析：以A为原点建立空间直角坐标系，如图，A1(0，0，2)，C(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，1，2)，则eq\o(C1D,\s\up6(→))＝(1，－1，－1)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，1，－2)，|eq\o(C1D,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(A1C,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(C1D,\s\up6(→))·eq\o(A1C,\s\up6(→))＝1，cos〈eq\o(C1D,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(C1D,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→)),|\o(C1D,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(15),15)，故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为eq\f(\r(15),15)．三、解答题11．解：∵a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，0，2)，a＋b＝(0，1，2)，a－b＝(2，1，－2)，2a－b＝(3，2，－2∴m(a＋b)＋n(a－b)＝(2n，m＋n，2m－2n∵m(a＋b)＋n(a－b)与2a－b垂直∴[m(a＋b)＋n(a－b)]·(2a－b＝3×2n＋2(m＋n)－2(2m－2n)＝12n－2m＝0，∴m＝6n，即当m＝6n时，可使m(a＋b)＋n(a－b)与2a－b垂直12．(1)证明：设eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up6(→))＝c，依据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a．∴eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(A′D,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0．∴eq\o(CE,\s\up6(→))⊥eq\o(A′D,\s\up6(→))，即CE⊥A′D．(2)解：∵eq\o(AC′,\s\up6(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\