信号与系统6电子课件

第6章离散时间z域分析6.1z变换6.2系统响应的z域求解6.3系统的z域分析*6.4z变换和拉普拉斯变换*6.5数字滤波器设计——IIR滤波器6.1z变换z变换(z-Transform)是离散时间序列的变换，其地位与作用类似于连续时间中的拉普拉斯变换。

本章首先介绍z变换的定义、收敛域、性质、逆变换。在此基础上，讨论离散时间LTI系统的z域分析和系统响应的z域求解方法。6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/142/866.1z变换6.1.1z变换的定义及收敛域不满足绝对可和条件的序列，其DTFT不存在，例如指数增长序列

（）。然而，若将乘以衰减序列（），且的衰减速度比增长速度快（），则将满足绝对可和条件，其DTFT是存在的，即6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/143/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/144/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/145/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/146/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/147/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/148/866.1z变换3.z变换的收敛域特征1)

右边单边序列z变换的收敛域特征由于右边单边序列的z变换

求和区间为[0,+∞)，的收敛域具有如下主要特征：6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/149/866.1z变换3.z变换的收敛域特征2)左边单边序列z变换的收敛域特征6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/1410/866.1z变换3.z变换的收敛域特征3)双边无限长序列z变换的收敛域特征将x[n]分为右边无限长序列和左边无限长序列进行求和，它们的收敛域分别为某个圆外和圆内，当存在公共收敛域时，则x[n]的z变换存在，且收敛域必为。6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.42025/1/1411/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/1412/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.4

2025/1/1413/866.1z变换6.16.26.36.46.56.1.16.1.26.1.36.1.46、双边序列z变换和单边序列z变换

实际应用中通常关注的是“从某个时刻开始系统加入激励后的响应”，因此系统响应的z域求解主要应用的是单边序列z变换式（6-5）。

然而，离散时间系统在处理信号时可以是非实时的，并且信号值是可以存储的。例如算法执行时，如果假定当前时刻为n＝0，它完全可以使用已被存储的任何历史时刻（n＜0）的数据。这在连续时间模拟系统中是无法实现的。另一方面，n未必是时间。例如，在二维的图像信号处理中，自变量（n,m）表示的是空间坐标，负（n,m）值完全是合理的。

2025/1/1414/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.2z变换的性质性质1线性性质

2025/1/1415/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质2位移性质(1)右移对应z域乘，左移对应z域乘（假定m>0）。(2)如果在位移前后参与z变换计算的非零样值集合没有发生变化，则只需乘以或即可。(3)如果在位移前后参与z变换计算的非零样值集合发生了变化，则需在表达式中体现出样点的增加或减少。

2025/1/1416/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质2位移性质

2025/1/1417/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质2位移性质

2025/1/1418/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质3指数加权性质证明

2025/1/1419/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质4z域微分性质

2025/1/1420/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质4z域微分性质

2025/1/1421/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质5时域卷积性质证明

2025/1/1422/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1423/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5*性质6z域卷积性质*性质7时域差分性质

2025/1/1424/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5*性质8时域求和性质*性质9时域反转性质

2025/1/1425/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5*性质10序列内插零*性质11序列抽取性质

2025/1/1426/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质12初值定理

2025/1/1427/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5性质12终值定理

2025/1/1428/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.3逆z变换的求解1.单边序列逆z变换的部分分式展开法有理函数

的一般形式可表示为其中是零点，是极点。由于离散时间情况下典型z变换具有

的形式，故一般不是直接将展开成部分分式，而是两边同除以z后再对进行部分分式展开，然后再两边同乘以z。2025/1/1429/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.3逆z变换的求解1.单边序列逆z变换的部分分式展开法

2025/1/1430/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.56.1.3逆z变换的求解1.单边序列逆z变换的部分分式展开法

2025/1/1431/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1432/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1433/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52.单边序列逆z变换的幂级数展开法（长除法）长除法求逆z变换的优点是原理简单。但长除法一般不易得到闭式解，因为要由样值归纳出序列变化的公式通常是比较困难的。

2025/1/1434/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52.单边序列逆z变换的幂级数展开法（长除法）2025/1/1435/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5

2025/1/1436/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.5(1)右边单边序列z变换的收敛域一定是以半径最大的极点为收敛圆，圆外为收敛域，所有极点位于圆内。(2)左边单边序列z变换的收敛域一定是以半径最小的极点为收敛圆，圆内为收敛域，所有极点位于圆外。(3)双边序列z变换的收敛域是圆环：内环由各右边单边子序列中的最大半径极点决定，所有右边单边子序列的极点均位于内环内；外环由其各左边单边子序列中的最小半径极点决定，所有左边单边子序列的极点均位于外环外。

2025/1/1437/866.1z变换6.1.4单边周期序列的z变换1.z正变换单边周期序列可以表示为两边取z变换有6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1438/866.1z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1439/866.1z变换2.单边周期序列的逆z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1440/866.1z变换*3.单边周期延拓序列的z变换6.1.16.1.26.1.36.1.46.16.26.36.46.52025/1/1441/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1442/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.5

2025/1/1443/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1444/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1445/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1446/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1447/866.2系统响应的z域求解6.2.2方框图描述系统的响应求解方框图描述系统的z域求解方法与上一小节介绍的内容基本相同，主要问题是如何根据系统方框图建立z域方程。

【解】对于本题，假设求和器输出端为v[n]

，则可列写如下方程6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1448/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1449/866.2系统响应的z域求解*6.2.3完全响应的分解及响应分量的z域求解系统的输出源于系统的输入和激励加入前的系统储能，在两者共同作用下产生的输出称为完全响应。由于系统输出对这两种作用是线性可加的，因此完全响应可以分解为零状态响应和零输入响应，即在差分方程的时域经典解法中（本书未介绍），方程的完全解y[n]是由齐次差分方程的通解和非齐次方程的特解构成，通解和特解被分别称为自由响应和强迫响应，即

6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.52025/1/1450/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.5

2025/1/1451/866.2系统响应的z域求解6.2.16.2.26.2.36.16.26.36.46.5

2025/1/1452/866.3系统的z域分析6.3.1系统函数与系统特性6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1453/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1454/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1455/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.42025/1/1456/866.3系统的z域分析

6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.42025/1/1457/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.16.26.36.46.56.3.4

2025/1/1458/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1459/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1460/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1461/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1462/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1463/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1464/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1465/866.3系统的z域分析6.3.3全通系统和最小相位系统1.全通系统全通系统，其零极点分布分布特征为：

6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.52025/1/1466/866.3系统的z域分析2.最小相位系统6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.52025/1/1467/866.3系统的z域分析6.3.4因果稳定性和可实现性6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1468/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1469/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1470/866.3系统的z域分析6.3.16.3.26.3.36.3.46.16.26.36.46.5

2025/1/1471/86*6.4z变换与拉普拉斯变换

6.4.16.4.26.16.26.36.46.52025/1/1472/866.4z变换与拉普拉斯变换6.4.16.4.26.16.26.36.46.5

2025/1/1473/866.4z变换与拉普拉斯变换6.4.16.4.26.16.26.36.46.5

2025/1/1474/866.4z变换与拉普拉斯变换6.4.16.4.26.16.26.36.46.5

2025/1/1475/866.4z变换与拉普拉斯变换6.4.16.4.26.16.26.36.46.52025/1/1476/866.5数字滤波

IIR滤波器6.5.1双线性变换法1.频域混叠6.5.16.5.26.16.26.36.46.52025/1/1477/866.5数字滤波

IIR滤波器2.连续时间系统H(s)的基本环节下列形式的一阶环节是任意阶H(s)的基本环节

它对应于一阶微分方程

其系统结构如图6.5.16.5.26.16.26.36.46.52025/1/1478/866.5数