第章轴向拉伸压缩和剪切教学提纲

第1章轴向拉压与剪切第1章轴向拉伸、压缩与剪切§1.1概述

在工程结构和机械中，常有发生轴向拉伸或压缩变形的构件，例如拧紧的螺栓，油缸的活塞杆，张紧的钢索，桁架中的杆件等均是承受拉伸或压缩的实例。这类构件的受力简图如下图a,

b所示。第1章轴向拉压与剪切

杆件沿轴线受到向外或向内的外力或外力的合力作用，杆件发生轴向伸长或缩短变形。这种直杆的受力称为直杆的轴向拉伸或压缩。

本章主要研究拉压杆件的应力和强度计算，材料在拉伸与压缩时的力学性能等。此外，还将对连接构件的强度问题进行初步分析，并介绍实用计算方法。

第1章轴向拉压与剪切§1.2轴力和轴力图

首先研究直杆在轴向拉伸或压缩时的内力，以图1-2a所示两端受力F的轴向拉伸直杆为例，求m-m横截面的内力。为此假想用一平面在m-m截面处将杆截开，取左半部分为研究对象(图1-2b)。第1章轴向拉压与剪切

由于直杆原来处于平衡状态，切开后各部分仍应保持平衡。

由平衡方程，可知m-m截面上必有一个作用线与杆轴重合的内力FN

，并且FN＝F。如果以右半部分为研究对象(图1-2c)，可得内力

FN′＝F第1章轴向拉压与剪切

上述将杆件假想地切开，利用平衡方程建立内力和外力之间的关系，进而确定截面内力的方法，就是绪论中提到的截面法。它是材料力学中分析内力的一个基本方法。第1章轴向拉压与剪切

图1-2a的直杆只在两端受拉力，每个截面上的轴力FN都等于F。如果直杆承受多于两个外力时，直杆的不同段上将有不同的轴力。为了表示轴力随横截面位置的变化，需要画出轴力沿杆轴线不同横截面变化的图形，即轴力图。第1章轴向拉压与剪切例1-1:

试画出图1-3a直杆的轴力图。图1-3第1章轴向拉压与剪切解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内用任一横截面1-1截开，考察左段(图1-3b),在截面上设出正轴力FN1。由此段的平衡方程

FX＝0得

FN1－6＝0，

FN1＝＋6kN

FN1得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。AB

段内任一横截面的轴力都等于+6kN。

第1章轴向拉压与剪切

再求BC段轴力，在BC

段内用任一横截面2-2截开，仍考察左段(图1-3c)，在截面上仍设正的轴力FN2，由

FX＝0得

－6＋18＋FN2＝0，FN2＝－12kN

FN2得负号说明原先假设拉力的方向是不对的（应为压力），同时又表明轴力FN2是负的。BC

段内任一横截面的轴力都等于－12kN。

同理得CD段内任一横截面的轴力都是－4kN。第1章轴向拉压与剪切

以平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂直杆轴线的坐标表示对应横截面的轴力，即可按选定的比例尺画出轴力图（简称FN图）1-3(d)。由图可知数值最大的轴力发生在BC段内。

由上例可看出，利用截面法画轴力图时，在切开的截面上总是设出正轴力FN

，然后由

FX＝0求出FN

，如FN

得正说明是正轴力（拉力），如得负则说明是负轴力（压力）。第1章轴向拉压与剪切1.3.1横截面上的应力

应用截面法，可求得轴向拉压时任一横截面上的轴力。要求出各点处分布内力的集度——应力，则须知该截面上的内力分布规律。先取一等直杆，在其表面画出许多与轴线平行的纵线和与轴线垂直的横线，如图1-4a。在两端施加轴向拉力F后，杆件发生变形，如图1-4b所示。§1.3拉压杆件的应力与变形第1章轴向拉压与剪切

图1-4第1章轴向拉压与剪切

我们发现所有纵线的伸长都相等，而横线保持为直线，并仍与纵线垂直，于是可做出如下平面假设：直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面。

如果把杆设想为由无数纵向纤维组成，根据各纤维的伸长都相同及均匀连续性假设，可知每根纤维所受的力也相等，如图1-4c。

据此可知，轴力FN均匀分布在杆的横截面上。若横截面面积为A，于是

(1-1)

第1章轴向拉压与剪切

当轴力为正号（拉伸）时,正应力也得正号，称为拉应力；当轴力为负号（压缩）时，正应力得负号，称为压应力。式(1-1)适用于横截面为任意形状的等截面直杆。在计算应力时也可将轴力的绝对值直接代入，而根据变形观察判断正应力的正负号。

第1章轴向拉压与剪切

至于杆端加力方式对杆件横截面上的影响，研究表明，杆端加力方式的不同，只对杆端附近截面的应力分布有影响，受影响的长度不超出杆的横向尺寸。上述论断，称为圣文南（saint-venant）原理；即杆端有不同的外力作用时，只要它们静力等效，则对离开杆端稍远截面上的应力分布没有影响。这一原理对于其他变形形式也适用。至于加力点附近的应力，因分布情况比较复杂，必须另行讨论。第1章轴向拉压与剪切1.3.2

斜截面上的应力在研究了横截面上的应力后，现在研究斜截面上的应力，仍应用截面法：

图1-5第1章轴向拉压与剪切

沿任意斜截面k-k将受拉杆假想切开(图1-5a)，将杆分成两部分，取左段为研究对象。斜截面k-k上的有与杆的轴线平行且均匀分布的应力p

，称为全应力(图1-5b)。这里，k-k截面的外法线n与轴线x的夹角为

，规定自x轴逆时针方向转向n时

为正号，反之为负号。设k-k截面的面积为A

，横截面面积为A，则

第1章轴向拉压与剪切根据平衡条件，有

此处是杆横截面正应力。将应力p

沿k-k截面的法线和切线方向分解（图1-5c）得斜截面上的正应力和切应力（1-2）第1章轴向拉压与剪切由此可见，在拉压杆的斜截面上有正应力和切应力同时存在，且大小随斜截面的方位

而变化。前面已经规定了正应力的正负号，至于切应力的正负号，按以下规则：若切应力对所在截面内侧任一点之矩为顺时针方向时，为正号，反之，则为负号。图1-5c的切应力

是正号的。从式(1-2)看出，当

＝0时

最大，

max＝

；当

＝45

时

最大，

max＝；当

＝-45

时，

最小，

min＝－。第1章轴向拉压与剪切

故轴向拉、压杆件的最大正应力发生在横截面上，数值最大的切应力发生在与轴线成±45

的斜截面上，其值为最大的正应力的一半。第1章轴向拉压与剪切1.3.3

杆件的拉压变形下面研究拉、压杆件的变形计算。1、轴向变形和胡克定律

直杆原始长度为l，在轴向拉伸或压缩下，杆的长度变为l

（图1-6a），直杆的绝对伸长（或缩短）称为轴向变形，当，Δl为正；反之，Δl为负。

第1章轴向拉压与剪切

图1-6第1章轴向拉压与剪切实验表明，工程上使用的材料发生变形时都有弹性阶段，在此范围内，轴向拉、压杆件的伸长或缩短量Δl，与轴力FN和杆长l成正比，与横截面面积A成反比，即，引入比例常数E，则得到(1-3)

式中E称为弹性模量或杨氏（Young’sModulus）模量。上式改写为第1章轴向拉压与剪切式中，在均匀伸长或缩短下，表示杆件单位长度的伸长量或缩短量，称为纵向线应变（简称线应变）

，即，则式(1-3)可改写为

(1-4)

式(1-4)表示，在弹性范围内，正应力与线应变成正比，这一关系称为胡克（Hooke’s）定律，式（1-3）则为有限长杆件的胡克定律。

第1章轴向拉压与剪切

由于应变

是没有量纲的量，故弹性模量E的量纲与应力相同。弹性模量E值随材料而异。由式(1-3)可看出，乘积EA越大，长度与内力相同杆件的拉伸（或压缩）变形越小，所以EA称为杆件的拉压刚度。

第1章轴向拉压与剪切2、横向变形和泊松比实验表明，当杆件受拉伸沿纵向（平行杆轴方向）伸长时，横向（垂直杆轴方向）则缩短（图1-6b）；当杆件受压缩沿纵向缩短时，横向则伸长。

图1-6所示受拉杆件，变形前横向尺寸为h、b，变形后为h

、b

，设横向应变为

′，则这里

h，

b为负值，与纵向应变的正负号相反。第1章轴向拉压与剪切在弹性范围内有

′＝－

(1-5)

横向应变

′和纵向应变

之比的绝对值称为泊松（Poisson）比或横向变形因数（没有量纲），在弹性范围内，它是一个材料常数。表1-1给出了常用材料的E值和

值。第1章轴向拉压与剪切表1-1常用材料的E、

、值材料名称E（GPa）

碳钢196～2060.24～0.28合金钢194～2060.25～0.30灰口铸铁113～1570.23～0.27白口铸铁113～1570.23～0.27纯铜108～1270.31～0.34青铜1130.32～0.34冷拔黄铜88.2～970.32～0.42硬铝合金69.6─轧制铝65.7～67.60.26～0.36混凝土15.2～35.80.16～0.18橡胶0.007850.461木材（顺纹）9.8～11.80.0539木材（横纹）0.49～0.98─第1章轴向拉压与剪切例1-2

试求自由悬挂的直杆（图1-7a）由纵向均匀分布载荷q（力／长度）引起的应力和变形。设杆长l、横截面面积A及弹性模量E均已知。图1－7第1章轴向拉压与剪切解：在距杆下端为x处取一任意横截面m-m，则此截面轴力为FN(x)＝qx，根据此式可作出轴力图(图1-7b)，FNmax＝ql。m-m截面的应力为，由此式可知，,故悬挂端横截面的轴力及正应力最大。求伸长时，由于各横截面上轴力不等，不能直接应用式(1-3)，而应分析dx微段的变形出发。在x处取dx段，其伸长可写为第1章轴向拉压与剪切整个杆件的总伸长(1-6)

如考虑上端固定的杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力q＝A

1

，此处

是材料单位体积的重量即容重。将q代入上式得到第1章轴向拉压与剪切

此处G＝Al

是整个杆的重量。上式表明等直杆的自重伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半。在一般机械工程中，通常可以略去自重引起的应力和变形。如果自重在总载荷中占较大比例时则必须计入。

第1章轴向拉压与剪切例1-2

薄壁圆筒（图1-8）长为l，内径为d，壁厚为δ，受均匀分布的径向内压力p作用。试求圆筒的周向应力

和直径改变量。(提示：因壁厚很小时（比如δ≤d/20），可以近似认为正应力沿壁厚均匀分布。)

图1-8第1章轴向拉压与剪切解：内压p（压强）沿半径方向垂直作用于圆筒内壁，圆筒半径增大，但仍保持为圆形，故沿圆周产生均匀伸长。所以通过圆筒轴线的任何截面（径向截面）上，将作用着相同的内力FN，如图1-8b所示。将圆筒用径向截面假想切开后，圆弧面（）上总压力的竖直投影为sin

，于是由上部圆筒的平衡条件得出(a)

第1章轴向拉压与剪切现以

表示圆筒径向截面的应力，并注意到圆筒壁截面面积A＝δl，则由(1-1)式得(1-7)

径向截面上的应力

沿圆周切线方向，故称为周向应力。沿圆周切线方向的应变，即周向应变是，则圆周总伸长量为，于是直径改变量(1-8)

由上式可看出，直径改变量等于周向应变乘以直径。第1章轴向拉压与剪切§1.4工程材料的力学性能简介

在构件的强度、刚度设计中，为了合理地选用材料，需要研究材料的力学性能。所谓力学性能，是指材料在外力作用下在强度与变形方面表现出的性能。如材料破坏时的应力极限值、弹性模量E、泊松比

都属于材料的力学性能。材料的力学性能决定于材料的成分及其结构组织（晶体或非晶体），还与应力状态、温度和加载方式等有关。材料的力学性能，需通过试验方法获得。第1章轴向拉压与剪切构件在载荷作用下将产生变形。如果将载荷完全卸除后，变形完全消失，这种变形称为弹性变形；如变形不能完全消失，遗留的变形称为塑性变形，或残余变形。工程中对于常温下的材料，根据破坏前塑性变形的大小分为两类：塑性材料和脆性材料。前者指断裂前产生较大塑性变形的材料，如低碳钢及铜、铝等金属；后者指断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料、玻璃等。

第1章轴向拉压与剪切低碳钢和铸铁是工程中广泛使用的两种典型材料，本章主要介绍这两种材料在常温、静载（缓慢加载）下的拉伸和压缩试验，及通过这些试验所得到的有关材料的力学性能。

第1章轴向拉压与剪切1.4.1低碳钢拉伸试验一、试验方法常温、静载下的拉伸试验是最基本的试验。首先将试验材料按国家标准做成标准试件或比例试件，如图1-9a所示。试件中部等截面段的直径为d0，试件中段用来测量变形的长度l0叫标距，通常取l0＝5d0或l0＝10d0。如果试件段为横截面面积等于A的矩形截面，则规定或。第1章轴向拉压与剪切

(a)图1-9第1章轴向拉压与剪切试验时将试件两端装入试验机夹头内(图1-9b)，对试件加拉力F，F由零缓慢增加，直至将试件拉断。同时利用传感器测量标距段的伸长

l(图1-9a、c)，将拉伸过程中的载荷F和对应的伸长

l记录下来，就可画出如图1-10a所示的F—

l曲线。该曲线称为拉伸图。由式（1-3）可知，拉伸图中F与

l的对应关系与试件尺寸有关，例如加大标距l0，则由同一载荷引起的伸长

l也要变大。

第1章轴向拉压与剪切为消除试件尺寸的影响，用应力（A0为试件受力前横截面面积）作为纵坐标；用应变

＝作为横坐标，可将拉伸图改画成

–

曲线（图1-10b）。此曲线称为应力-应变图。

第1章轴向拉压与剪切

第1章轴向拉压与剪切二、低碳钢拉伸时的力学性能由低碳钢

–

曲线可看出，整个拉伸过程可分为以下四个阶段：1．弹性阶段这一阶段可分为两部分：斜直线OA

和微弯曲线A

A。斜直线OA

表示应力与应变成正比变化，此直线段的斜率即材料的弹性模量E，即

。直线最高点A

的应力

p称为比例极限，当应力不超过比例极限

p

时材料服从胡克定律。第1章轴向拉压与剪切例如Q235钢的比例极限

p≈200MPa，弹性模量E≈200GPa。

当试件应力小于A点应力时，试件只产生弹性变形，A点的应力

e是材料只产生弹性变形的最大应力，称弹性极限。若应力超过

e，则试件除弹性变形外还产生塑性变形。由于弹性极限与比例极限数值接近，通常不作区分。

第1章轴向拉压与剪切

2．屈服阶段应力到达B

点后，

–

图上第一次出现下降，由B

点下降至B点，而后应力几乎不变，但此时的应变却显著增加。这种现象称屈服。曲线上的B

C段称为屈服阶段。此阶段产生显著的塑性变形。若试件表面光滑，在试件表面出现与轴线约成45

的一系列迹线（1-10c）。第1章轴向拉压与剪切因为在45

的斜截面上作用着数值最大的切应力，所以这些迹线即是材料沿最大切应力作用面发生滑移的结果。这些迹线称为滑移线。目前认为，金属材料塑性变形的产生即是金属晶体间滑移的结果。由于B

点应力值不稳定，以数值比较稳定的B点应力

s作为材料屈服时的应力，称为屈服极限。将载荷第一次下降时的最小值Fs（图1-10a）除以试件的原截面面积A0即得

s数值。Q235钢的屈服极限

s≈235MPa。

第1章轴向拉压与剪切3．强化阶段试件内所有晶粒都发生了一定程度滑移之后，沿晶粒错动面产生了新的阻力，屈服现象终止。要使试件继续变形，必须增加外力，这种现象称为材料强化。由屈服终止的C点到D点称为材料强化阶段。曲线的CD段向右上方倾斜。强化阶段的变形绝大部分也是塑性变形。同时整个试件的横向尺寸明显缩小。D点是

–

图上的最高点。D点的应力

b称为强度极限（或抗拉强度）。Q235钢的强度极限

b≈400MPa。第1章轴向拉压与剪切4．颈缩阶段D点过后，试件局部显著变细，出现“颈缩”现象（（图1-10b）中的局部I）。由于“颈缩”，试件局部截面显著缩小，因此使试件继续变形所需的载荷反而减小。到达E点试件断裂。

上述拉伸试验中出现的四个阶段，其中三个强度特征值（

p、

s及

b）即为低碳钢在静载拉伸中的主要强度性能。第1章轴向拉压与剪切工程上用试件拉断后遗留的变形来表示材料的塑性性能。常用的塑性指标有二个：一个是延伸率，即

(1-9)式中l1是拉断后的标距长度（图1-11）。另一个塑性指标为截面收缩率

，即(1-10)

第1章轴向拉压与剪切式中A1是拉断后断口处横截面面积。

和

都表示材料拉断时其塑性变形所能达到的最大程度。

、

愈大，说明材料的塑性愈好。故

、

是衡量材料塑性的两个指标。

图1-11第1章轴向拉压与剪切试验表明：

数值与l0/d0比值有关。所以，材料手册上在

的右下方注出这一比值，如

10即是用l0/d0＝10的标准试件得出的延伸率。而

则与l0/d0比值无关。低碳钢的

10≈20%～30%，

≈60%～70%。一般认为

10≥5%的材料为塑性材料，

10＜5%的材料为脆性材料。几种常用材料的力学性能见表1-2。第1章轴向拉压与剪切表1-2几种常用材料的力学性能名称牌号屈服极限

s(MPa)强度极限

b(MPa)延伸率

5(%)截面收缩率

(%)冲击韧度

k(MJ/m2)持久极限

–1(MPa)普通碳素钢Q215215335-45026-31———Q235235375-50021-26———Q255255410-55019-24———Q275275490-63015-20———碳钢2527445124500.982453531452021450.882744535360817400.782945036364715400.69294合金钢30Mn31453920450.9823540Cr7859819450.59—40CrV73688310500.8837225CrMnS6377851245—343球墨铸铁QT60-24125882———灰铸铁HT15-33—98～275(拉)637(压)———68.7第1章轴向拉压与剪切三、卸载与冷作硬化

如果将试件拉伸到超过弹性范围后的任一点，例如图1-10b中强化阶段的F点，然后逐渐撤力，在卸载过程中试件的应力、应变关系沿着与OA

平行的直线返回到O1点。这表明材料在卸载中应力增量与应变增量成直线关系，即

＝E

，这称为卸载定律。

载荷全部卸掉后达到O1点，这表明O1O2所代表的是可消失的弹性应变

e，OO1所代表的是不可消失的塑性应变

p。第1章轴向拉压与剪切

对有残余应变的试件再重新加载，则应力、应变基本上沿着方才的卸载直线O1F上升，到F点后仍沿曲线FDE直到断裂。这里看到，当

＝

s时并不发生屈服，而是到了F点的应力后才出现塑性变形，所以，材料的比例极限提高了；但是断裂后的残余应变比原来的少了OO1这一段。这种在常温下经过塑性变形后材料强度提高、塑性降低的现象，叫做冷作硬化。当某些构件对塑性的要求不高时，可利用它来提高材料的比例极限与屈服极限，例如对起重机的钢丝绳采用冷拔工艺，对某些型钢采用冷轧工艺均可收到这种效果。四、真应力应变图

试件在轴向拉伸过程中，颈缩附近截面直径明显变小，并且在标距段内的拉伸应变也不均匀，在颈缩处拉伸应变较大。所以图1-10b的应力-应变图中超过弹性后的图形并不反映应力应变的真实关系。为此须引入真应力应变图。

试件受轴向拉伸时，横截面上的实际应力称为真应力

t，它等于作用于试件上的轴向载荷F除以该载荷下试件实际的横截面面积At，即(1-11)第1章轴向拉压与剪切

以真应力

t为纵坐标，以真应变

t为横坐标作出的图形称为真应力应变图或

t–

t图。

图1-12中OB

D

E

曲线为低碳钢拉伸时的

t–

t图，D

E

曲线段表明：颈缩出现后，随着变形的增长，横截面上的应力并未下降而是上升。图1-12第1章轴向拉压与剪切需要说明的是：上述基本术语和符号规定来源于金属拉伸试验的国家标准GB228-1987，2002年国家颁布金属拉伸试验的推广标准GB/T228-2002，改变了基本术语和符号。新符号体系为：最大力—Fm，屈服强度－Re（上屈服强度－ReH，下屈服强度－ReL），抗拉强度－Rm，断后伸长率－A，断面收缩率－Z。第1章轴向拉压与剪切1.4.2

其它材料的拉伸试验

其它金属材料的拉伸试验和低碳钢拉伸试验做法相同，但材料所显示的力学性能有很大差异。图1-13曲线1、2、3、4分别是锰钢、硬铝、退火球墨铸铁和低碳钢的应力应变曲线第1章轴向拉压与剪切

图1-13a中，这四种材料的延伸率都比较大，所以它们都是塑性材料。但是前三种材料在拉伸过程中都没有明显的屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用能产生0.2%塑性应变的应力作为名义屈服极限，用

0.2表示，如图1-13b的应力应变曲线中B点对应的应力。第1章轴向拉压与剪切

图1-14是灰铸铁拉伸时的应力应变曲线。该曲线在很小的应力下就不是直线了，但可近似地认为

–

曲线在一定范围内仍是直线，并且服从胡克定律。此外，铸铁无屈服和颈缩现象，在没有明显的塑性变形下就断裂了，并且断图1-14

口平齐。所以只能测得拉伸时的强度极限

bt。铸铁拉伸时的延伸率

<1%。第1章轴向拉压与剪切

玻璃钢是由玻璃纤维作为增强材料，与树脂粘合而成的一种复合材料，图1-15为玻璃钢拉伸时的应力应变图。其特点是直到试件断裂，应力和应变都保持正比关系。图1-15

在图1-13a上的曲线5是脆性材料铸铁拉伸时的

–

曲线，与其他四条塑性材料的曲线相比，可看出塑性材料断裂前有很大的塑性变形，而脆性材料断裂前无明显的塑性变形。第1章轴向拉压与剪切1.4.3压缩试验

一般金属材料的压缩试件都做成短圆柱形状，试件高度为直径的1.5～3倍。图1-16a是低碳钢压缩与拉伸时的应力应变图。从图可知，在屈服阶段以前，拉伸与压缩时的

–

图1-16a曲线基本是重合的，都在应力达到

s时屈服，故基本上可以认为低碳钢是拉、压等强度材料。第1章轴向拉压与剪切

试验表明多数塑性材料压缩时的力学性能与拉伸时相似。当应力超过屈服极限

s后，塑性材料试件发生明显变形，试件长度缩短，直径增大。由于试件两端与试验机压头之间的摩擦作用，使两端横向外胀受到阻碍，试件被压成鼓形，随着载荷增加，试件愈压愈扁，不可能压断，故得不到材料压缩时的强度极限。第1章轴向拉压与剪切

脆性材料在压缩时的力学性能与拉伸时有较大差别。图1-16b是铸铁压缩时的应力应变图，整个压缩时的图形与拉伸时相似，没有明显的直线部分，没有屈服阶段，但延伸率

比拉伸时大。压缩时的强度极限

bc是图1-16b

拉伸时的3～4倍，断口与轴线夹角约为45

。

一般脆性材料压缩时的力学性能与铸铁相似，抗压能力显著高于抗拉能力。第1章轴向拉压与剪切1.4.4温度、时间及加载速率对材料

力学性能的影响一、温度、时间对材料的力学性能的影响

材料在高温与低温下将表现出不同的力学性能。处于高温下的材料，如温度超过一定的数值，则材料的力学性能既与温度有关还与时间有关。如不超过这一数值，则只需根据某一规定温度下短期、静载拉伸的试验结果，作为强度与刚度计算的依据。第1章轴向拉压与剪切时间因素的影响，主要有下列两个：1．蠕滑现象

当试件在高温下，受到恒定不变的轴向载荷作用时，其变形将随着时间缓慢地增加。这称现象称为蠕滑。

蠕滑变形是不可恢复的塑性变形，温度愈高，蠕滑变形的速度愈快；在温度不变的情况下，应力愈大，蠕滑变形的速度也愈快。第1章轴向拉压与剪切

图1-18所示为金属材料拉伸试样在某一固定高温下，长期受恒定荷载作用时，蠕滑变形（用线应变

表示）随加载时间而发展的典型蠕滑曲线。图1-18第1章轴向拉压与剪切2．松弛现象

现以气缸盖上的螺栓来说明这一现象。为了使气缸盖与缸体压紧，就必须拧紧螺母使螺栓产生一定的弹性变形，螺栓内也就有了一定的应力。当螺栓长期在高温下工作时，就会产生蠕滑。螺栓总变形中的塑性变形部分不断增加，相应地弹性变形部分不断减少，因而使螺栓内的应力不断降低。这种在总变形不变的条件下，由于温度影响使应力随着时间逐渐降低的现象称为应力松弛。第1章轴向拉压与剪切二、加载速率对材料的力学性能的影响

在不同的加载速率下，试件将以不同的变形速度d

/dt产生变形。如变形速度太大，则材料的塑性变形过程将来不及进行，材料的断裂过程也将更加复杂，因而加载速率也就影响到与这些过程有关的力学性能。但材料的弹性变形不受变形速度的影响，这是因为材料内弹性波的传播速度远大于一般受力物体的变形速度，载荷引起的弹性变形能及时地传播至整个物体。试验结果证实：以不同的变形速度测出的同一材料的弹性模量E相差甚微。第1章轴向拉压与剪切1.4.5冲击韧性

机械中有很多构件承受冲击载荷的作用，如内燃机上的曲轴，气缸上的螺栓，锻锤等。冲击载荷的特点是载荷作用到构件上时具有一定的速度（因而具有一定的动能）。加载时间仅有千分之几秒。材料抵抗冲击载荷的能力称为冲击韧性，可以通过冲击试验测定。图1-20

第1章轴向拉压与剪切将带有缺口的标准试件放在摆锤式冲击试验机的支座上（图1-20a，b），使重摆从一定高度落下将试件冲断。由试验机可测出试件所吸收的能量E[单位是兆焦耳(MJ)]，将E除以试件凹槽处横截面面积A(m2)，所得数值即材料的冲击韧性

k，即

k＝E/A(MJ/m2)。

k值愈大，表示材料抵抗冲击的能力愈强。通常脆性材料的冲击韧性值远比塑料材料为低，这说明脆性材料抵抗冲击的能力极差。所以承受冲击载荷的构件多采用塑性材料。第1章轴向拉压与剪切

由于

k与试件的尺寸、缺口的形状有关，只有在统一标准试件上测得的

k才能相互比较。此外，冲击速度、温度对

k也有影响，尤其是温度的影响最大。某种低碳钢的

k值随温度变化如图1-21所示。由该图可见，冲击韧性

k随温度的降低而减小。当温度降至某一数值（实际上是一个温度区域）时，冲击韧性值突然降低。这种现象称为材料的冷脆性。发生冷脆现象时的温度称为临界温度。第1章轴向拉压与剪切图1-21所示的低碳钢的临界温度约为－30～－40℃。所以，在设计低温下工作的构件时，所用材料应在指定的低温下具有足够的图1-21

冲击韧性。还要指出的是，有色金属（如铜、铝、钼等）在低温下并无冷脆性，所以有些低温设备常用有色金属制造。第1章轴向拉压与剪切

材料的冷脆性反映了冲击载荷与温度对材料力学性能的影响。在常温、静载下具有良好塑性的材料，在低温、冲击载荷下却可能表现出脆性。在第6章中还要叙述应力状态对材料性能的影响。所以，材料呈现为塑性状态或脆性状态是与所处的条件有关。第1章轴向拉压与剪切§1.5许用应力和强度条件1.5.1许用应力和安全因数

直杆拉伸时横截面上的应力，随外力的增加而增长。对于某种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。应力可能达到的这个限度称为材料的极限应力

u。将极限应力

u适当降低，作为杆件能安全工作的应力最大值，该应力称为许用应力。通常把材料的极限应力

u除以大于1的数n作为许用应力[

]，即第1章轴向拉压与剪切这里n称为安全因数。

对于塑性材料，当应力达到屈服极限

s时，变形甚大且不能恢复，而构件内一般是不允许出现屈服现象的。故对塑性材料以

s作为极限应力，即塑性材料的许用应力为。对于脆性材料，当应力达到强度极限

b时发生断裂，故对脆性材料以

b作为极限应力，即脆性材料的许用应力为

。

(1-13)

第1章轴向拉压与剪切采用安全因数的原因，主要是由于以下两个因素：1.强度计算中，某些数据与实际有差异

这种差异，主要是指材料组织不是理想匀质、载荷估计不十分准确以及应力计算的近似性。在计算中，认为构件的材料组织是均匀的，而且其力学性能也与试件完全相同，而实际构件与这种理想情况总是有差别的。

作用在构件上的载荷有时难于精确估计，尤其是机械上的动载荷，如机床的切削力、内燃机曲轴承受的爆发载荷等。这样，设计时所取的载荷与构件实际承受的有差异。第1章轴向拉压与剪切此外，构件在工作时也会遭受偶然性的超载。设计计算中应用的公式，是将实际情况加以简化，并在比较理想的情况下得出的。如果实际结构比较复杂而与理想情况有一定出入，则应力计算的准确程度也受影响。设计计算时，材料组织愈均匀，载荷估计得愈准确，计算方法愈精确，则安全因数就可取得小些；否则，安全因数应取得大些。第1章轴向拉压与剪切2.给构件以一定的强度储备

即使载荷的估计、应力的计算等都比较准确，在强度方面也还是要留有一定的储备。这种强度储备要考虑到构件的工作条件及构件的重要性等。如构件在腐蚀条件下工作时，或构件的破坏要引起严重的后果时，均应给予较多的强度储备。所以安全因数的选择必须考虑构件的具体工作条件。一般在静载荷下，对塑性材料取n=1.5～2.5，对脆性材料取n＝3.0～5.0。第1章轴向拉压与剪切

塑性材料的抗拉与抗压是等强度的，所以塑性材料的拉伸与压缩的许用应力是相同的。对脆性材料，由于

bt<

bc，所以脆性材料的许用应力[

t]小于许用应力[

c]。

合理地选择安全因数是一个比较复杂的问题，安全因数偏大会造成材料的浪费，偏小则造成构件破坏的机会变大。所以安全因数的确定是关系到安全与经济的大问题，一般在规范中给出。第1章轴向拉压与剪切1.5.2强度条件

在拉压问题中为了满足安全工作的要求，杆件必须符合如下的强度条件：杆内的最大工作应力

max

不得超过材料的许用应力[

]，即(1-14)

第1章轴向拉压与剪切

应用强度条件(1-14)式可以解决以下三类问题：1．强度校核——已知构件横截面面积A、材料的许用应力[

]以及所受载荷，校核(1-14)式是否满足，从而检验构件是否安全。2．设计截面——已知载荷及许用应力[

]，根据强度条件设计截面尺寸。3．确定许可载荷——已知横截面面积A和许用应力[

]，根据强度条件确定许可载荷。第1章轴向拉压与剪切例1-3

某冲压机的曲柄滑块机构如图1-22a。冲压时连杆AB接近水平位置，冲压力F＝3.78MN。连杆横截面为矩形，高与宽之比h/b＝1.4，材料为45钢。许用应力[

]＝90MPa，试设计截面尺寸。图1-22第1章轴向拉压与剪切解：由已知冲压力可求得连杆的轴力FN＝3.78MN。由强度条件(1-14)式有

＝3.78×106/90＝42000mm2在运算中力的单位用牛（N），应力的单位为兆帕（即N/mm2或MPa），故得到的面积单位就是平方毫米（mm2）。A＝bh＝1.4b2＝4.2×104mm2，从而求得b＝173.2mm，h＝1.4b＝242mm第1章轴向拉压与剪切

在强度计算中，原始数据多为三位有效数字，故计算结果一般也取三位有效数字。在实际中求得的尺寸应圆整为整数，如上例取b＝175mm，h＝245mm。又本例的许用应力较低，这主要是考虑工作时有比较强烈的冲击作用。第1章轴向拉压与剪切例1-4某张紧器（图1-23）承受的最大张力F＝30kN，套筒和拉杆的材料均为Q235钢，[

]＝160MPa，试校核其强度。图1-23解：此张紧器的套筒与拉杆均受拉伸，轴力FN＝F＝30kN。先比较套筒与拉杆的横截面面积。拉杆按M20螺纹内径d1＝19.29mm计算，A1＝292mm2。套筒按内径d2＝30mm，外径D2＝40mm计算，A2＝550mm2。第1章轴向拉压与剪切故最大拉应力故强度足够。注意在计算应力时，力的单位用N，尺寸单位用mm，算得的应力单位是MPa。本书在计算应力时均采用这种办法，以后就不再说明。例1-5

一个简单桁架（图1-24a），

＝30

，斜杆由二根80×80×7等边角钢组成，横杆由二根10号槽钢组成，材料均为Q235钢，许用应力[

]＝120MPa，求许可载荷F。图1-24第1章轴向拉压与剪切解：1．受力分析围绕A点将AB、AC两杆截开得分离体，如图1-24b。在这里假设FN1为拉力，FN2为压力。由平衡条件，(a)(b)第1章轴向拉压与剪切2．计算许可轴力[FN]

由书末附录的型钢表查得斜杆横截面面积A1＝10.86×2×102＝2172mm2，横杆横截面面积A2＝12.74×2×102＝2548mm2，由(1-14)式得许可轴力FN＝A[

]，于是[FN1]＝2.172×103×120＝260.6×103N＝260.6kN[FN2]＝2.548×103×120＝305.8×103N＝305.8kN第1章轴向拉压与剪切3．计算许可载荷[F]

将[FN1]、[FN2]分别代入式(a)、(b)，得到分别按斜杆和横杆强度计算的许可载荷[F1]＝[FN

1]/2＝260.6/2＝130.3kN[F2]＝[FN

2]/1.732＝305.8/1.732＝176.6kN取[F1]和[F2]中的较小者，故此构架的许用载荷应取[F]＝130.3kN。第1章轴向拉压与剪切

§1.6简单桁架的结点位移计算

杆件的拉伸或压缩问题中，通常不讨论其刚度问题。对于桁架结构，工程中更加关注其结点的位移。以图1-25所示结构为例说明简单静定桁架结构结点位移的计算方法。例1-6图1-25所示简单架AB和AC杆的弹性模量E＝200GPa，在结点A处作用的铅垂力F＝130kN，杆AB、AC的长度和横截面面积与例1-5相同，试求结点A的位移。第1章轴向拉压与剪切1230

uvu30

AA1A2A3(c)A4第1章轴向拉压与剪切解：例1-5已求得两杆的轴力FN

1＝2F（拉），FN2＝1.732F（压）。为求A点的位移，先假想取消A处铰链，在A点沿AB方向加拉力FN1和沿AC方向加压力FN

2来代替铰链的作用。这时AB杆在FN1作用下伸长，其A点沿BA移到A1，AC杆在FN

2作用下缩短，其A点沿AC移到A2，见图1-25a（图中将变形量放大画出）。第1章轴向拉压与剪切然后再将变形后的A1B与A2C重新安装在一起。为此，以B为圆心，以A1B为半径作一圆弧；再以C为圆心，以A2C为半径作一圆弧。这两圆弧的交点A3，就是桁架变形后A点的位置。因变形甚小，微小圆弧可用其切线即垂线近似代替，画A1A3⊥A1B，A2A3⊥A2C，此两垂线交点即为A3。图1-25b为按比例放大画出的A点位移图，可量得A点位移AA3＝3.8mm。

也可用解析法求A点位移AA3。作A1A3和AA2的延线相交于A

点，则A2A

＝A2A+AA

＝。由直角三角形A2A3A

（注意∠A2A3A

＝300），得到A点的铅垂直位移第1章轴向拉压与剪切由

AA2A3得到A点的总位移AA3＝。

通过此例可看出，变形指的是杆的伸长或缩短量，而位移是结构或杆上某一点的位置改变量。此题也可用另一解法。自己课后学习！第1章轴向拉压与剪切§1.7应力集中受轴向拉伸或压缩的构件中，只有在离加力处较远、且横截面尺寸又无剧烈改变的区域，横截面上的应力才是均匀分布。但是，工程上有些零件因有切口、切槽、螺纹等，以致截面尺寸剧烈改变。图1-27第1章轴向拉压与剪切

在图1-27a所示的带孔板条上，未受力前在表面画出许多细小方格。加轴向拉力后，可以看到1-1截面上，孔边方格比起离孔较远的方格，其变形程度严重得多，如图(1-27b)，这表明1-1截面上孔边应力比同截面上其他处应力大得多，见图(1-27c)。这种由于试件截面尺寸急剧改变而引起的应力局部增大现象称为应力集中。第1章轴向拉压与剪切

应力增大只发生在孔边附近，在1-1截面上离孔稍远处应力急剧下降而趋于平缓，所以应力集中表现出局部性质。对于有孔板条的拉伸，把1-1截面上孔边最大应力

max与同一截面上认为应力均匀分布时的应力值

n（称为名义应力）之比叫应力集中系数K，即K＝

max/

n。对于板宽超过孔径四倍的板条，其应力集中系数K≈3。第1章轴向拉压与剪切§1.8超静定问题及解法

如图1-28的杆系，在力F作用下两杆轴力由静力平衡方程即可求得，这类问题称为静定问题。为提高图1-28所示结构的强度和刚度，可在中间增加一杆，如图1-29a。这时，未知轴力有三图1-28个，而此结构承受的是力平面汇交力系，其平衡方程只有两个，未知力的数目超过独立的平衡方程的数目，因此只由平衡方程不能求出全部未知力，这类问题称为超静定问题。第1章轴向拉压与剪切

未知轴力与平衡方程数目之差称为超静定次数。图1-29a为一次超静定。从静力平衡角度讲，超静定结构也可以说具有多余约束。图1-29第1章轴向拉压与剪切

设图1-29a中1、2两杆的长度、横截面面积及材料均相同，即l1＝l2，A1＝A2，E1＝E2；3杆的长度为l，横截面面积为A3，弹性模量为E3，试讨论如何求出三根杆的轴力。设FN1、FN2、FN3为三根杆的轴力。在结点A附近截出分离体如图1-29b。写出平衡条件(a)

(b)第1章轴向拉压与剪切

在力F的作用下，三根杆的伸长量之间必定保持互相协调的几何关系。在图1-29c中，三根杆受力之后，由于1、2两杆抗拉（压）刚度相同且左、右对称，故A点必沿铅垂方向移到A

点，则AA

即3杆的伸长

l3。从A

作AB的垂线A

E，如前所述，在小变形条件下，垂线A

E可代替以B为圆心，以BE为半径所画的圆弧。这样，AE即为1杆的伸长量

l1。同理，亦可定出2杆的伸长

l2。于是，根据变形协调关系，得到下面的变形几何方程(c)

第1章轴向拉压与剪切

另一方面，杆的伸长与轴力之间存在着物理关系，即胡克定律式(1-3)(d)

将式(d)代入式(c)，即得到所需的补充方程(e)

将(a)、(b)、(e)三式联立求解，得到(f)第1章轴向拉压与剪切

上述的求解方法对一般超静定问题都适用，可归纳如下：（1）根据静力学平衡条件列出应有的平衡方程；（2）根据变形协调条件列出变形几何方程；（3）根据力与变形间的物理关系将变形几何方程改写成所需的补充方程。

综上所述，求解超静定问题时，必须综合考虑静力学、几何与物理三方面。这一分析思路在后面的章节中还将采用。第1章轴向拉压与剪切例1-8

图1-30a所示平行杆系，杆1、2、3悬吊着刚性横梁AB。在横梁上作用着载荷F。如杆1、2、3的横截面面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、l、E。试求杆1、2、3的轴力FN1、FN2、FN3。变形协调条件找的不好！第1章轴向拉压与剪切解：设在载荷F作用下，横梁移动到A

B

位置（图1-30b），则杆1的缩短量为

l1，而杆2、3的伸长量分别为

l2、

l3。取横梁AB为分离体，如图1-30c，其上除载荷F外，还有轴力FN1、FN2、FN3以及FX。由于假设1杆缩短，2、3杆伸长，故应将FN1设为压力，而FN2、FN3设为拉力。1．平衡方程(g)第1章轴向拉压与剪切

三个平衡方程中包含四个未知力，故为一次超静定问题。2．变形几何方程由变形关系（图1-30b）可看出B1B

＝2C1C

，即，或。3．物理方程(h)(i)

将式(i)代入式(h)，然后与式(g)联立求解，可得第1章轴向拉压与剪切

由此例题可以看出：假定各杆的轴力是拉力、还是压力，要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正值，说明正如变形关系图中所设，杆2、3伸长，而杆1缩短。§1.9连接构件的实用计算

安全销剪切焊缝剪切冲压剪切第1章轴向拉压与剪切

工程构件之间的联接多用销钉、螺钉等，如图1-31示一吊钩，链环与拉杆之间用销钉联接。

图1-32a是销钉的受力简图，其受力长度2δ与其直径d相比并不很大，因而销钉的弯曲变形很小，其主要变形是沿受剪面mm和nn发生错动(图1-32b)，相邻截面间的相互错动即是剪切变形。图1–31第1章轴向拉压与剪切图1-32利用截面法将销钉假想沿mm切开，考虑左部的平衡(图1-32c)，可知mm截面上作用着与截面切向平行的内力，该切内力称为剪力。剪力FS＝F/2。销钉是一种短粗零件，受剪面附近的变形很复杂，切应力

在截面上的分布规律不易确定，因此工程上假设切应力

在受剪面上均匀分布。第1章轴向拉压与剪切以A表示受剪面的面积，则

＝，这里A＝

d2/4，d为销钉直径。为保证销钉不剪断，切应力不应超过材料的许用切应力[

]。于是剪切强度条件为：

＝≤[

](1－15)式中的许用切应力[

]是通过实验得到的。使销钉在类似于图1-32a的受力下作剪切试验，直至破坏。由破坏载荷计算受剪面上的平均切应力，即剪切强度极限

b，除以安全因数即得该种材料的许用切应力[

]。对于钢材，工程上常取[

]＝(0.75～0.8)[

]，[

]是钢材的许用应力。第1章轴向拉压与剪切图1-32c画出的销钉左段，它的上半个圆柱面同拉杆圆孔表面互相挤压，这部分表面就叫挤压面。挤压力Fbs=F/2。挤压力过大会使销钉被压扁或者使钢板的孔边被压皱，导致连接失效。为校核挤压强度，定义名义挤压应力为（a）

式中Abs为计算挤压面面积，对于圆柱状的销钉，计算挤压面面积Abs为实际挤压面在直径平面上的投影，Abs=δd/2

（b）第1章轴向拉压与剪切

对挤压应力进行较严密的分析，可以得到Fbs作用下销钉半圆周实际挤压应力的分布大致如图1-32d。最大的挤压应力发生在该表面的中部，最大的挤压应力与式（a）所示的名义挤压应力相近。为保证构件在挤压面处不产生显著的塑性变形，要求最大挤压应力不超过许用挤压应力[

bs]。于是挤压强度条件为(1－16)第1章轴向拉压与剪切

许用挤压应力[

bs]确定方法与许用切应力[

]相同，也是通过实验确定的。对于钢材，[

bs]＝(1.7～2.0)[

]，这里[

]是钢材的拉压许用应力。如果销钉与被联接件的材料不同，[

bs]应按挤压能力较弱者选取。第1章轴向拉压与剪切例1-9

图1-33示一传动轴，直径d＝50mm，用平键将传动轴与轮毂连接在一起，传递力偶矩M＝720Nm。已知键的许用切应力[

]＝110MPa，许用挤压应力[

bs]＝250MPa。平键宽度b＝16mm，高度h＝10mm，长度l＝45mm。试校核其强度。

(a)

(b)

(c)

图1-33第1章轴向拉压与剪切解：键与轴的受力如图1-33b，写出平衡方程∑M0=0，认为F力的力臂长度近似等于，所以F＝＝2×720×103/50＝28800N。键的受剪面面积A＝bl(图1-33c)，该面上的剪力FS＝F＝28800N，于是挤压力Fbs＝F，挤压面面积Abs＝lh/2（图1-33c），第1章轴向拉压与剪切例1-10

两轴以凸缘相联接(图1-34a)，沿直径D＝150mm的圆周上用四个螺栓来传递力偶矩M。已知M＝2500Nm，凸缘厚度h＝10mm，螺栓材料为Q235钢，许用切应力[

]＝80MPa，许用挤压应力[

bs]＝200MPa。试设计螺栓直径。图1-34第1章轴向拉压与剪切解：因螺栓对称排列，故可假设每个螺栓受力相同。假想沿凸缘接触面切开，考虑右边部分的平衡（图1-34b），由

M0＝0。 M－4＝0FS为螺栓受剪面nn（图1-34c）的剪力。切应力求得第1章轴向拉压与剪切螺栓承受的挤压力Fbs＝FS＝8330N，挤压面面积Abs＝hd，挤压应力求得应根据较大的d

11.5mm来选择螺栓。第1章轴向拉压与剪切例1-11一接头用四个铆钉来联接两块钢板如图1-35所示。钢板与铆钉的材料相同。铆钉直径d＝16mm，钢板的尺寸为b＝100mm，δ＝10mm，F＝90kN，铆钉的许用应力[

]＝120MPa，[

bs]＝300MPa，钢板的许用拉应力[

]＝160MPa。试校核铆钉接头的强度。图1-35第1章轴向拉压与剪切解：铆接头的破坏方式有三种可能：（1）铆钉被剪断；（2）铆钉或钢板被挤压坏；（3）钢板被拉断。（1）铆钉的剪切强度因为铆钉是对称布置，故可假定每一铆钉承受F/4力，即铆钉受剪面上的剪力为FS＝90/4＝22.5kN，切应力112MPa<[

]第1章轴向拉压与剪切（2）铆钉的挤压强度因为铆钉与钢板的材料相同，故只需校核铆钉或钢板的挤压强度。＝141MPa<[

bs]第1章轴向拉压与剪切（3）钢板的拉伸强度钢板的受力及其轴力图如图1-35c和d。显然对1-1截面应进行强度校核，截面2-2的轴力虽比截面1-1的小，但2-2截面被两个钉孔所削弱，所以对2-2截面也应作强度校核。＝107MPa<[

]＝99.3MPa<[

]可见整个接头强度是安全的。第1章轴向拉压与剪切§1.10问题与研究1.10.1

超静定结构的装配应力

杆件制成后，其尺寸难免有微小误差。在静定结构中，这种误差只是引起结构的几何形状有微小改变，而不会在杆内引起内力。如图1-36所示结构中，AB杆的长度虽比设计尺寸稍短，但只要将二杆稍作旋转就可装配在一起。但在超静定结构中，情况就不一样了。图1-36第1章轴向拉压与剪切例如在图1-37的杆系中，若杆3比应有的长度短

（

和正确长度l相比，是一极小量），那么将杆系强行装在一起（结点为图1-37中的A

点），杆3将产生拉应力，而1、2两杆将产生压应力。这种由于装配而引起的应力称为装配应力。图1-37第1章轴向拉压与剪切

装配应力是在载荷作用之前已经有的应力，因而是一种初应力。装配应力的计算方法与解超静定问题相同。设1、2两杆的抗拉刚度相同，并设杆1、2的压力为FN1、FN2，杆3的拉力为FN3，作出受力图如图1-37b所示。1．平衡方程(a)(b)第1章轴向拉压与剪切2．变形几何方程

从图1-37（a）可以看出，其中

l3为杆3的伸长，

为装配后A点的位移。此时，杆1、2的缩短

l1＝

cos

，故有

＝

l1/cos

，于是变形几何方程为(c)3．物理方程(d)

注意在计算

l3时，杆3的原长为l－

，但

<<l，故计算

l3时以l代替l－

。第1章轴向拉压与剪切将式(d)代入式(c)，再与式(a)、(b)联立求解，得到将FN1、FN2、FN3值分别除以该杆的横截面面积，即可得到三杆的装配应力。如三根杆的材料、横截面面积都相同。

/l＝1/1000，弹性模量E＝200GPa，角

＝30

，可算出

1＝

2＝65.3MPa（压），

3＝112.9MPa（拉）。第1章轴向拉压与剪切

从以上计算中可看出，制造误差

/l虽很小，但装配后可引起相当大的初应力。杆的工作应力是初应力与由外载荷引起的应力相叠加，因此，存在装配应力对结构往往是不利的，这就要求制作构件时有足够的加工精度以降低装配应力。但有时也可以利用它，机械上的紧配合就是根据需要使其产生适当的装配应力。第1章轴向拉压与剪切例1-12

如图1-38所示的汽缸，将缸盖与缸体的连接螺栓拧紧，使汽缸工作时不漏气。设螺栓的截面积为A1，弹性模量为E1。凸缘厚l＝2b，弹性模量为E2。当螺母拧进距离为

时，试求预紧螺栓内的装配应力。图1-38第1章轴向拉压与剪切解：当拧进螺母时，由于凸缘阻挡，使螺栓受拉伸，而在螺栓周围的凸缘部分受压缩。工程上通常把凸缘受压部分看成一个圆形套筒，螺栓装配体的简图如图1-39c所示。图1-39第1章轴向拉压与剪切套筒内径即孔的直径d2，套筒外径假设为D2＝2d2（图1-39a），此套筒的横截面面积将螺栓装配体沿任一横截面m–m截开，研究其上部（图1-39d），设螺栓受的拉力为FN1，套筒受的压力为FN2。第1章轴向拉压与剪切1．平衡方程

FN1＝FN2 (e)

平衡方程(e)中包含两个未知力FN1与FN2，故为超静定问题。因此，必须研究螺栓与套筒的变形关系。2．变形几何方程

为便于分析，假想在螺栓装配体中暂时取走套筒，并将螺母在螺栓上先“自由地”拧进

（图1-39b），然后再将套筒装入（图1-39c），装配后螺栓伸长

l1，套筒缩短

l2，由图可看出几何关系(f)第1章轴向拉压与剪切3．物理方程(g)将式(g)代入式(f)后与式(e)联立可解得(h)轴力FN1、FN2都得正值，说明正如变形关系图所设的那样：FN1为拉力，FN2为压力。第1章轴向拉压与剪切

如螺纹外径d＝22mm，内径d1＝18.75mm，螺距s＝1mm，凸缘厚l＝2b＝200mm，螺栓是钢，E1＝200GPa，凸缘是铸铁，E2＝110GPa。求当螺母拧进60

时螺栓内的预紧应力。假设套筒（即凸缘受压部分）内径d2＝22mm，外径D2＝2d2＝44mm，则套筒横截面面积A2＝

(442－222)/4＝1140mm2。螺栓横截面面积A1＝

d12/4＝

×18.752/4＝276mm2。螺母转动360

时，拧进一个螺距s，现螺母转动60

，则拧进距离

＝s/6＝1/6mm＝0.167mm。由(h)式求出螺栓受的预紧拉力为第1章轴向拉压与剪切这时，螺栓内的预紧装配应力为

1＝32×103/276＝116MPa第1章轴向拉压与剪切

1.10.2温度应力

在工程中，结构或其部分杆件会遇到温度变化（例如工作条件中温度的改