信号与系统4电子课件

第4章离散时间傅里叶分析4.1周期序列的傅里叶级数分析4.2非周期序列的傅里叶变换分析4.3离散傅里叶变换（DFT）4.4离散时间系统与连续时间系统*4.5数字滤波器——FIR滤波器4.1周期序列的傅里叶级数分析4.1.1离散傅里叶级数(DFS)DFS展开式任意一个连续周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。对于离散周期信号而言，这个结论仍然成立，即任意一个离散周期信号都可以分解成离散正弦信号的叠加，这就是离散傅里叶级数。先看一个具体例子，图4.1(a)是由两个单位样值和零样值构成的周期为4的离散周期方波信号4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/142/994.1周期序列的傅里叶级数分析不难验证该周期序列可以由图4.1(b)(c)(d)所示的三个序列叠加而成，即有4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/143/994.1周期序列的傅里叶级数分析为了便于理论分析，通常将离散周期信号展开成复指数序列形式。为此，利用欧拉公式可将该例的展开式改写为复指数序列的形式：

一般情况，任一周期为N的离散周期序列xN[n]可展开为有限项复指数序列的和，即上式即为DFS展开式。其中ck是展开式系数，求和下标k=<N>表示求和范围可取任意一个周期。

4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/144/994.1周期序列的傅里叶级数分析展开式系数的确定为了确定DFS展开式系数ck，将展开式两边同乘，并在一个周期内对n求和稍后将证明当k≠m时,当k=m时。

4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.4[交换求和顺序]

2025/1/145/994.1周期序列的傅里叶级数分析因此，上式对k的求和只有k=m一项非零，其余各项均为零。将该结论带入上式中可得移项并将变量m换用k表示，则有上式即为DFS展开式系数的确定公式。通常情况下，系数ck是复数，可以表示为模和幅角的形式

|ck|随k的变化规律称为幅频特性，θk随k的变化规律称为相频特性。

4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.42025/1/146/994.1周期序列的傅里叶级数分析

【例4-1】用前面的系数确定公式求解图4.1(a)所示周期方波序列的DFS展开式。

【解】周期N=4，求和范围取[0,3]，可得分别令k=0,1,2,…，可计算出可以看到，DFS展开式系数呈周期变化规律。取任意一个周期进行叠加4.14.24.34.44.54.1.14.1.24.1.34.1.4[欧拉公式]

2025/1/147/994.1周期序列的傅里叶级数分析4.1.2DFS的性质

周期序列频谱ck的特点性质1.周期序列的DFS展开式系数是的周期函数且周期为N

（l为整数）

【证明】根据ck的计算公式有

正是因为的周期性导致DFS的一个重要概念：离散周期序列的傅里叶级数只含有有限项频率分量。4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/148/994.1周期序列的傅里叶级数分析性质2.若xN[n]为实数周期序列，则ck具有共轭对称性，即

性质3.

若xN[n]为实数周期序列，则ck的模为k的偶函数，ck的相位（幅角）为k的奇函数，即

性质4.

周期序列xN[n]若为实偶函数，则ck为k的实偶函数。

4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/149/994.1周期序列的傅里叶级数分析4.1.3复指数谐波序列

及其性质性质1.是k的周期函数，且周期为N。

性质2.

是n的周期函数，且周期为N。

性质3.

在任一周期内对n的求和满足

性质4.当m

≠k

时，和相互正交，即4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/1410/994.1周期序列的傅里叶级数分析4.1.4周期序列的频谱及其特征这里以方波序列为例，讨论周期序列频谱的基本特征。

【例4-2】求图4.2(a)所示对称周期方波序列的傅里叶级数系数。【解】主值区间设为对称区间，主值区间内的xN[n]可表示为

4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.5图4.2(a)离散周期方波序列(b)离散周期方波序列傅里叶级数系数2025/1/1411/994.1周期序列的傅里叶级数分析

由ck的定义式可知即4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/1412/994.1周期序列的傅里叶级数分析由上例和前面介绍的相关性质可以得到以下基本概念。(1)ck随k的变化描述的是离散时间周期信号的频域特性(2)离散时间周期信号的频谱为离散谱(3)离散时间周期信号的频谱是频率的周期函数4.1.14.1.24.1.34.1.44.14.24.34.44.52025/1/1413/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.1离散时间傅里叶变换(DTFT)DTFT正变换任意一个离散时间非周期信号也可以分解为正弦信号的叠加。与连续时间情况类似，一个周期序列xN[n]在周期N→∞时，将变成非周期序列x[n]，如图4.3所示。同时xN[n]的谱线间隔(2π/N)→0，即离散谱将趋于连续谱。4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.3(a)周期序列xN[n](b)非周期序列x[n]

2025/1/1414/994.2非周期序列的傅里叶变换分析当N→∞时，ck趋于零(但不等于零)。因而对于非周期序列定义考虑到N→∞时，kΩ1(k2π/N)趋于连续变量Ω，xN[n]→x

[n]，所以上式变为

此式即为非周期序列的离散时间傅里叶变换。它对应于连续时间信号的傅里叶变换，是离散时间信号的频域描述，即离散时间信号的频谱。上式可简记为4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1415/994.2非周期序列的傅里叶变换分析DTFT逆变换将周期序列傅里叶级数展开式配

Ω1N

/

2π以（乘积为1）：当N→∞时，k2π/N=kΩ1→

Ω，kΩ1→

dΩ，Nck→

X(ejΩ)

，xN[n]→x[n]。同时，由于k的取值周期为N，k2π/N(Ω)的取值周期为2π，上式的求和变为在2π区间上对Ω的积分。因此，当时上式变为此式即为非周期序列的离散时间傅里叶逆变换，简记为

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1416/994.2非周期序列的傅里叶变换分析DTFT的收敛条件DTFT正变换是无穷区间上的求和，存在求和是否收敛的问题。由于因此，如果满足则求和一定收敛，即x[n]绝对可和是DTFT收敛的充分条件。与连续时间傅里叶变换的收敛性类似，DTFT的收敛一般有三种情况：(1)当是能量有限信号时，满足绝对可和条件，DTFT一定收敛。(2)当为功率有限信号时，不满足绝对可和条件，DTFT不收敛，但引入冲激函数后，存在用冲激函数表示的DTFT。(3)当为增长过快的信号时，DTFT不收敛且也无法表示。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1417/994.2非周期序列的傅里叶变换分析【例4-4】单个对称方波序列x[n]=u[n+N1]-

u[n

-(N1+1)]的DTFT。

【解】前面求解过周期方波序列的DFS，这里考察单个方波序列的DTFT。是一个实偶函数，当取时其幅相特性曲线如下图所示。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.4方波序列的DTFT2025/1/1418/994.2非周期序列的傅里叶变换分析【例4-5】单边指数衰减序列x1[n]=anu[n](|a|<1)的DTFT。【解】该衰减序列是绝对可和的，因此可直接利用DTFT定义式求解。其模和相位分别为

图4.5绘出了a>0和a<0时的幅频特性示意图

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.5单边指数衰减序列的幅频特性2025/1/1419/994.2非周期序列的傅里叶变换分析【例4-6】频域周期冲激函数的DTFT逆变换。【解】该频域周期冲激序列如图4.6所示。由逆变换定义式可得

即，直流序列和频域周期冲激函数是一对DTFT变换对

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.6频域周期单位冲激函数δ2π(Ω)

2025/1/1420/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.2DTFT的性质

频谱函数X(ejΩ)的特点

性质1.周期性

X(ejΩ)是的周期函数，周期为2π，即【证明】在X(ejΩ)的定义式中用Ω±2πl替换Ω可得4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1421/994.2非周期序列的傅里叶变换分析

性质2.共轭对称性若x[n]为实数序列，则X(ejΩ)具有共轭对称性，即【证明】在X(ejΩ)的定义式两边取共轭可得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1422/994.2非周期序列的傅里叶变换分析

性质3.

若x[n]是实数序列，则

(1)|X(ejΩ)|为Ω

的偶函数，φ(Ω)是Ω

的奇函数，即

(2)XR(ejΩ)为Ω

的偶函数，XI(ejΩ)是Ω

的奇函数，即

性质4.

若x[n]为n的实偶函数，则X

(ejΩ)为Ω

的实偶函数。

性质5.

若x[n]为n的实奇函数，则X

(ejΩ)为Ω

的虚奇函数。*性质6.若x[n]为n的纯虚函数且为奇函数，则

(1)|

X(ejΩ)|仍为Ω

的偶函数，φ(Ω)仍为Ω

的奇函数(2)XR(ejΩ)是Ω的奇函数，XI(ejΩ)是Ω

的偶函数。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1423/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.3DTFT的性质

变换的性质

性质1.线性若DTFT{x1[n]}=X1(ejΩ),DTFT{x2[n]}=X2(ejΩ)，则

性质2.时移特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则

*性质3.时域差分特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则*性质4.时域求和特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1424/994.2非周期序列的傅里叶变换分析*性质5.时域反转特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则

性质6.时域卷积定理若DTFT{x1[n]}=X1(ejΩ),DTFT{x2[n]}=X2(ejΩ)，则【证明】由DTFT和卷积和的定义可得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1425/994.2非周期序列的傅里叶变换分析性质7.频移特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则*性质8.频域微分特性若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则*性质9.频域卷积定理若DTFT{x1[n]}=X1(ejΩ),DTFT{x2[n]}=X2(ejΩ)，则*性质10.帕斯瓦尔定理若DTFT{x[n]}=X(ejΩ)，则4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1426/994.2非周期序列的傅里叶变换分析*【例4-7】求下列指数序列的DTFT。(1)x2[n]=anu[n-1],|a|<1, (2)x3[n]=x2[n]-x2[-n](3)

x4[n]=x3[n]+δ[n]【解】将例4-5的单边指数衰减序列和该例的各序列波形绘制于图4.7中，以便比较它们之间的区别和相互关系。4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.7单边和双边指数衰减序列2025/1/1427/994.2非周期序列的傅里叶变换分析(1)比较图4.7(a)和(b)的序列波形可知x2[n]=x1[n]-δ[n]，因此

(2)由于x3[n]=x2[n]-x2[-n]，利用线性和时域反转特性可得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1428/994.2非周期序列的傅里叶变换分析(3)由于x4[n]=x3[n]+δ[n]，两边取DTFT变换得4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1429/994.2非周期序列的傅里叶变换分析*【例4-8】求离散时间符号函数的DTFT。【解】因符号函数不是绝对可和序列，直接由定义求解会有困难。考查例4-7中双边指数衰减序列。可以看到当a→1时，x4[n]→sgn[n],因此

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1430/994.2非周期序列的傅里叶变换分析*【例4-9】求单位阶跃序列u[n]的DTFT。

【解】单位阶跃序列可以用直流信号和符号函数表示，即上式两边取DTFT4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1431/994.2非周期序列的傅里叶变换分析*【例4-10】DTFT时域求和特性的证明，即证明【解】序列求和等于序列与阶跃函数的卷积，即上式两边取DTFT，并注意代入例4-9结果，则有4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1432/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.4非周期序列的频谱及其特征

(1)离散时间非周期信号的频谱X(ejΩ)为连续谱“时域的非周期性对应于频域的连续性”

(2)离散时间非周期信号的频谱X(ejΩ)为周期函数，周期为2π“时域的离散性对应于频域的周期性”

(3)离散非周期信号为实信号时，其频谱X(ejΩ)具有共轭对称性“时域的某种对称性对应于频域的某种对称性”

(4)|X(ejΩ)|值的大小不反映频率分量的幅度大小的绝对值，只反映相对大小。各个频率分量的实际幅度为无穷小，除非该频点上出现冲激函数δ(Ω-Ω0)

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1433/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.8方波序列分解为无穷多个幅度无穷小的正弦序列的叠加2025/1/1434/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.5周期序列的傅里叶变换周期复指数序列ejΩ0n的傅里叶变换由例4-6可知，单位直流信号的傅里叶变换为

根据离散傅里叶变换的频移性质得

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1435/994.2非周期序列的傅里叶变换分析一般周期序列的傅里叶变换任意周期序列可以展开为傅里叶级数。上式两边同取傅里叶变换得令则4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1436/994.2非周期序列的傅里叶变换分析将上式和连续时间周期信号的傅里叶变换式比较，可以看见两式非常相似，但需注意以下几点。(1)X0(ejΩ)不是离散周期序列的DTFT频谱，而是其频谱在[0,π]主值区间内的函数值。将进行的周期延拓，才构成离散周期序列的频谱X

(ejΩ)

。ck,X0(ejΩ)和X

(ejΩ)之间的关系参见图4.9。(2)若要考察周期序列的傅里叶变换频谱，可以先按照式(4-57)获得其主值区间内的频谱X0(ejΩ)，再进行的周期延拓（即式(4-56)）。(3)X0(ejΩ)的周期延拓事实上就是将主值区间的ck进行周期延拓。ck本身就是周期的，因此式(4-56)可以用单重求和表达式等价地写为

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1437/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.9周期序列傅里叶级数系数和傅里叶变换2025/1/1438/994.2非周期序列的傅里叶变换分析傅里叶级数和傅里叶变换之间的关系设x[n]为非周期序列，其傅里叶变换为X

(ejΩ)。将x[n]作周期延拓，则可得一个周期序列xN[n]，重复周期为N，参见图4.10。周期序列的傅里叶级数系数为非周期序列的傅里叶变换为比较上面两式知

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.10(a)非周期序列(b)延拓后构成的周期序列2025/1/1439/994.2非周期序列的傅里叶变换分析【例4-11】求图4.11(a)所示周期单位样值序列的DTFT。【解】首先求其傅里叶级数展开式系数根据前面的结论有4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.11(a)周期单位样值序列(b)周期单位样值序列的傅里叶变换2025/1/1440/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.6序列内插零和序列抽取的频谱分析序列内插零和抽取的定义内插零对于给定序列x[n]，M倍内插零后构成的新序列xi[n]定义为

(2)抽取对于给定序列x[n]，M倍抽取后构成的新序列xd[n]定义为x[n]，xi[n]和xd[n]分别如图4.12(a)，(b)和(c)所示x[n]={…,3,2,1,3,2,1,3,2,1,…}

（M=3）4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1441/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.12序列内插和抽取(a)原序列(b)内插零后序列(c)抽取后序列2025/1/1442/994.2非周期序列的傅里叶变换分析序列内插零后的频谱由DTFT的定义有

即上式表明，倍内插零后序列的频谱是原序列频谱的倍压缩

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1443/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.13(a)原序列及其频谱(b)2倍内插零后序列及其频谱(c)3倍内插零后序列及其频谱2025/1/1444/994.2非周期序列的傅里叶变换分析序列丢弃零后的频谱如果将图4.12(b)中的xi[n]看作原序列，则图4.12(a)中的x[n]是将xi[n]每丢弃(M-1)个零后取一个样点而形成的序列。按习惯将原序列记为x[n]，丢弃零后的序列可记为x1[n]

，即有此时x[n]是x1[n]

的M倍内插零，不难由M倍内插零的频谱可知即倍丢弃零后序列的频谱是原序列频谱的倍扩展。4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1445/994.2非周期序列的傅里叶变换分析序列“抽样”后的频谱定义周期冲激序列p[n]

作为离散时间系统中的理想抽样函数则抽样后的信号可以表示为xs[n]=x[n]p[n]

，根据DTFT的频域卷积定理，抽样后信号的频谱为其中p[n]

的DTFT为，由于卷积积分仅包含[0,2π]区间，因此其求和限可改写为

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1446/994.2非周期序列的傅里叶变换分析

将P

(Ω)代入频域卷积式中可得即信号抽样后频谱Xs(ejΩ)和抽样前频谱X

(ejΩ)之间的关系为原信号x[n]，理想抽样信号p[n]，抽样后信号xs[n]，以及抽取去零信号xd[n]的时域及频域波形如图4.15所示。如果抽样间隔M过大，或者x[n]非带限信号，抽样后频谱会发生混叠。

4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.52025/1/1447/994.2非周期序列的傅里叶变换分析4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5图4.15离散序列的“理想抽样”(a)原序列x[n]及其频谱(b)抽样信号及其频谱(M=5)(c)抽样后序列及其频谱

(d)抽取后序列及其频谱2025/1/1448/994.2非周期序列的傅里叶变换分析序列抽取后的频谱序列抽取可以视为分两步实现的：第一步是序列的“理想抽样”，即由图4.15(a)中x[n]的得到图(c)中的xs[n]；此时的频谱为：第二步将抽样后序列xs[n]中介于两次抽样之间的零值丢弃，即由图(c)中xs[n]的得到图(d)中的抽取序列xd[n]。此时频谱为：4.2.14.2.24.2.34.2.44.2.54.2.64.14.24.34.44.5频谱以间隔2π/M作(M-1)次周期延拓频谱作M倍的拉伸2025/1/1449/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.1序列频谱的离散化和DFT的定义长度为N的有限长序列x[n]的频谱X

(ejΩ)是一个连续函数，难以用计算机计算，为此可对其进行抽样。X

(ejΩ)是以2

为周期的周期函数，因此将[0,2

)区间进行N等分，则实现了间隔为2

/N的等间隔频域抽样，参见图4.16。从而形成如下的离散傅里叶变换（DFT，DiscreteFourierTransform）定义。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.16DTFT的离散化2025/1/1450/994.3离散傅里叶变换(DFT)DFT正变换假定x[n]是仅在[0,N-1]区间有非零值的有限长序列，其频谱为X

(ejΩ)。根据前面的思路对其进行离散化，得到的离散抽样值为：由于对X

(ejΩ)的离散化只产生N个样点，因此明确的取值范围后的DFT正变换表达式如下，可简记为X[k]=DFT{x[n]}

。4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1451/994.3离散傅里叶变换(DFT)注意到N点x[n]的DFT结果X[k]也为N点，几点说明如下

(1)

谱线间隔为2

/N。去除后X[0]的其余谱线关于Ω=

点对称。(2)X[0]是有限长序列的直流分量，X[1]是基波分量，X[2]是二次谐波分量，依次类推。(3)x[n]含有的最高频率分量是最靠近但不超过的

谱线X[k]。(4)(

,2

)开区间内的X[k]是(-

,0)开区间内负频率分量平移2

所得。(5)x[n]频谱的主值区间不包括Ω=2

处的谱线，因为Ω=2

就是直流分量X[0]。(6)如果x[n]是由连续时间信号x(t)抽样而得，抽样频率为fs=1/Ts。X(ω)中的模拟频率ω和X

(ejΩ)中数字频率Ω之间的关系为Ω=

ωTs，两条谱线X[k]之间对应的模拟信号频率间隔为Δf

=fs

/N

。4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1452/994.3离散傅里叶变换(DFT)DFT逆变换

将DFT正变换定义式两边同乘，并对k值在[0,N-1]区间内求和，则有变量符号m换为n，并考虑到x[n]只在[0,N-1]区间取值，可得DFT逆变换表达式如下，可简记为x[n]=IDFT{X[k]}

。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1453/994.3离散傅里叶变换(DFT)【例4-12】求x[n]=u[n]-u[n-2]的4点DFT。【解】该序列在n=0和n=1处等于1，其余为0。因此是一个含有两个样值的方波序列。根据DFT定义并注意到这里N=4，于是有代入k值得将本例和例4-1比较，可以看到：(1)例4-1中的周期方波序列就是本例单个方波序列作周期为4的周期延拓。注意也恰好是这里计算DFT的点数。(2)本例和例4-1中DFS系数有如下关系DFT和DFS关系的讨论将给出上述结论的解释。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1454/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.2DFT和DFS的关系在DFS性质1的讨论中曾给出下式将xN[n]在求和区间[0,N-1]内的序列记为x[n]，则DFT的定义式为比较上面两式，可以看到

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1455/994.3离散傅里叶变换(DFT)几点重要概念和结论

(1)DFT本质上就是DFS（定义式具有相同的形式，只差一个系数）。(2)DFT是利用周期延拓序列xN[n]在[0,2

)区间内的DFS系数表征连续频谱X

(ejΩ)，只是在幅度上相差一个系数。(3)X[k]表面上与非周期序列x[n]构成一对变换对（DFT和IDFT），事实上直接关联的是周期序列xN[n]。（DFT的隐含周期性）(4)X[k],X

(ejΩ)和ck之间的关系归纳如下。

DFT和DFTF:

DFT和DFS:DFS和DTFT:

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1456/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.18DFT,DFS及DTFT之间的关系2025/1/1457/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.3周期卷积与圆周卷积引入频域分析的一个重要成果是将时域的卷积转变为频域的乘积，即当采用计算机实现数字信号和系统时，自然也希望对DFT也有相应的定理成立。

DFT实质上对应的是x[n]的周期延拓序列xN[n]，并非有限长序列。可以预判X[k]H[k]不可能对应于xN[n]和hN[n]的卷积。因为按照第2章给出的卷积定义（线性卷积）当参与上式计算的两序列为周期序列时，该卷积是不收敛的。因此，需要重新定义卷积，使得DFT也有相应的时域卷积定理成立。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1458/994.3离散傅里叶变换(DFT)周期序列移位的主值区间表示当将一个周期序列向左或右平移时，会导致样值移出或移进DFT定义的[0,N-1]区间。为了表示主值区间内的样值，可用窗函数限定，即

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.24周期序列的移位和取主值2025/1/1459/994.3离散傅里叶变换(DFT)周期卷积如果将两个周期序列卷积的求和区间定义为[0,N-1]，显然求和是收敛的。因此，对于两个周期均为N的周期序列，可定义如下的卷积运算上述两个周期序列的卷积常简称为周期卷积，可以证明上两式计算结果相同（即满足交换律）。周期卷积和线性卷积计算过程相同（反转、平移、乘积、求和），只是将无穷长周期序列乘积后的求和区间限定为[0,N-1]，图4.26示意了周期卷积过程。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1460/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.26周期卷积的说明2025/1/1461/994.3离散傅里叶变换(DFT)周期卷积性质

性质1.周期性

周期卷积后序列仍为周期为N的周期序列，即

性质2.周期卷积与线性卷积的关系

周期卷积等于主值区间内有限长序列线性卷积的周期延拓，即上式中y[n]为xN[n]和hN[n]主值区间信号x[n]和h[n]的线性卷积，长度为2N-1，非零值区间为[0,2N-2]。这意味着，上式中的周期延拓通常都会产生混叠。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1462/994.3离散傅里叶变换(DFT)圆周卷积如果对周期卷积后的周期序列yN[n]取主值区间[0,N-1]内的样值，所构成的有限长序列记为yc[n]，即则称上式为圆周卷积，其中R[n]是前面定义的主值区间窗函数。性质3.圆周卷积等于线性卷积的条件

设有限长序列x[n]和h[n]的长度分别为Nx和Nh，通过补零构成长度为N且定义在区间[0,N-1]上的两个等长序列，则圆周卷积(xN[n]*hN[n])R[n]等于线性卷积x[n]*h[n]的条件为4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1463/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.4DFT的性质

X[k]的特性性质1.周期性X[k]是以N为周期的“周期函数”，即有性质2.共轭对称性设X[k]=DFT{x[n]}，x[n]若为实数序列，则x[n]若为复数序列，则

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1464/994.3离散傅里叶变换(DFT)性质3.奇偶性若x[n]为实数序列，则X[k]的模是k的偶函数，X[k]的相位是k的奇函数；X[k]的实部是的偶函数，X[k]的虚部是k的奇函数。性质4.帕斯瓦尔定理4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1465/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.5DFT的性质

变换的性质性质1.时域圆周卷积定理

若yc[n]

=

(xN[n]*hN[n])R[n]，则从圆周卷积与线性卷积相等条件的讨论可以知道，如果要用DFT求解系统响应，应该遵照下列步骤：(1)取N≥Nx+Nh-1，补零将x[n]和h[n]变成长度为的两个等长序列；(2)分别求补零后两个等长序列的N点DFT；(3)求乘积X[k]H[k]；(4)求yc[n]

=

IDFT{X[k]H[k]};(5)在yc[n]中取前Nx+Nh-1个样值，即为所求响应序列y[n]。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1466/994.3离散傅里叶变换(DFT)性质2.频移性质

设X[k]=DFT{x[n]}，则在对频域数据进行移位操作时，多采用上式进行分析。然而，当对时域数据进行形如x[n]ejΩ0n的序列乘法运算时，Ω0很可能小于2/N，即上式中m<1。显然不再适用，因m必须取整数。对此需重新考虑，即

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5频域周期位移2025/1/1467/994.3离散傅里叶变换(DFT)DFT的求和范围限定在[0,N-1]区间，参与求和计算的非零样值在平移前后就有可能发生变化，

需要对不同情况进行讨论。x[n]在[0,N-1]区间内的非零样值集合表示为set{x[n]}。4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.32时域序列右移(a)周期序列，样值不变；(b)非周期序列，样值不变；(c)非周期序列，样值改变；2025/1/1468/994.3离散傅里叶变换(DFT)性质3.时移特性(1)若set{x[n-m]}=set{x[n]}(m>0)(参见图4.32(b))，则

(2)若set{x[n-m]}≠set{x[n]}(参见图4.32(c))，则(3)周期序列恒有

set{x[n±m]}≠set{x[n]}(参见图4.32(a))，则4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1469/994.3离散傅里叶变换(DFT)性质4.线性性质5.频域圆周卷积定理性质6.频域反转性质

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1470/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.6DFT的谱线间隔分析

X(ejΩ)的频域抽样有限长序列x[n]的N点DFT是将X(ejΩ)以间隔为2/N进行的频域抽样，本小节在此基础上对DFT的谱线间隔作一分析。假设对x[n]的频谱X(ejΩ)进行理想抽样，抽样间隔为Ωs，则频域理想抽样信号可表示为：则理想抽样后频谱Xs(ejΩ)为

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1471/994.3离散傅里叶变换(DFT)对上式两边进行DTFT逆变换，由DTFT的时域卷积定理得上式表明，对x[n]的频谱X(ejΩ)以间隔Ωs进行理想抽样，则时域将作周期为2/Ωs的周期延拓。欲使周期延拓后不发生时域重叠，Ωs应满足DFT是以刚好不产生时域混叠的抽样间隔对x[n]的频谱进行抽样。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1472/994.3离散傅里叶变换(DFT)4.3.7快速傅里叶变换(FFT)

如果直接按照DFT定义式计算N点的DFT，其运算量一般约需N2次复数乘和N(N-1)次复数加，计算量正比于N2。当N较大时，计算量很大。FFT算法的核心思想利用复指数序列的性质将DFT定义式进行并项和化简，从而将N点的DFT计算分解为两个N/2点的DFT计算，并且这种分解可以依次进行下去，直至分解为2点DFT。在阐述FFT算法时，习惯上将复指数序列用稍简单的符号表示，即令

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1473/994.3离散傅里叶变换(DFT)N点DFT计算分解为两个N/2点的DFT计算设N为偶数，所有为偶数的点构成一序列x1[n]，所有为奇数的点构成另一序列x2[n]，即根据DFT定义，并考虑到上述的分组，有

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1474/994.3离散傅里叶变换(DFT)即其中X1[k]和X2[k]分别是奇数点序列x1[n]和偶数点序列x2[n]的N/2点DFT。由于DFT的周期性，当k≥N/2时有因此上式将一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.52025/1/1475/994.3离散傅里叶变换(DFT)蝶形运算结构将这一周期性代入的后半段序列计算中，并进一步化简有因此，前面的式子可以改写为

将上式用下列图形表示，称之为蝶形运算符。

4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.33蝶形运算符2025/1/1476/994.3离散傅里叶变换(DFT)引入蝶形运算符后，可以将N点FFT的分解过程用图形进行描述。N/2点的DFT计算还可以进一步分解为两个N/4点的DFT，直至分解为2点DFT。可以证明N=2M点的FFT计算量为4.3.14.3.24.3.34.3.44.3.54.3.64.3.74.14.24.34.44.5图4.36按时间抽取8点FFT算法流程图2025/1/1477/994.4离散时间系统与连续时间系统4.4.1离散时间系统频率响应离散时间系统频率响应的定义离散时间系统的频率响应定义为系统冲激响应h[n]的DTFT,即由DTFT的时域卷积定理知因此H(ejΩ)是在频域中对离散时间LTI系统的充分描述。离散LTI系统在指数序列AejΩ0n激励下的响应仍然是指数序列，只是模和相角受到H(ejΩ0)的修正。因此H(ejΩ)称为离散时间系统的频率响应特性。将其写为极坐标形式则称|H(ejΩ)|为幅频特性，称φ

(Ω)为相频特性。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1478/994.4离散时间系统与连续时间系统理想传输特性和理想滤波特性理想传输是指系统输入-输出满足下列关系两边取DTFT有

因此在理想传输要求下，系统幅频特性和相频特性应分别满足理想传输要求系统具有恒幅特性和线性相位特性（即相频特性是过原点的负斜率直线）。4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1479/994.4离散时间系统与连续时间系统理想滤波器当系统能够对一部分频段信号实现理想传输（即所谓通带），而对其他频段信号能彻底地阻断（即所谓阻带），则构成所谓的理想滤波器。4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5图4.38离散时间系统的理想特性2025/1/1480/994.4离散时间系统与连续时间系统4.4.2连续时间频率和离散时间频率连续时间信号的数字处理系统有三个主要环节：抽样、数字处理（广义数字滤波器）、模拟低通滤波（恢复模拟信号），如图4.43(a)所示。怎样理解图(a)中数字滤波能够实现与图(b)中模拟滤波完全等效的功能，包含三个关键问题：(1)连续时间频率和离散时间频率之间的关系；(2)连续时间信号频谱和离散时间信号频谱之间的关系；(3)连续时间系统频率响应和离散时间系统频率响应之间的关系。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5图4.43模拟系统的等效2025/1/1481/994.4离散时间系统与连续时间系统离散时间角频率的概念可从连续正弦信号的抽样过程直接获得。若以间隔Ts对连续时间正弦信号sinωt进行抽样，则抽样后离散正弦序列为sinωTsn=

sinΩn，因此有如果离散序列来源于对连续时间信号的抽样，离散时间频率的物理含义是连续时间频率和抽样频率之比。上式在连续信号频率和离散信号频率之间建立了一个映射。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1482/994.4离散时间系统与连续时间系统

根据最高信号频率fmax和抽样频率fs之间关系，这一映射会出现图4.44所示的三种情况，其中只有当Ωmax≤

（fmax

≤fs

/2）时（即图(a)和(b)）才满足模拟信号数字处理的必要条件：不失真抽样。4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5图4.44连续时间频率和离散时间频率之间的映射2025/1/1483/994.4离散时间系统与连续时间系统4.4.3连续时间和离散时间信号频谱之间的关系设连续时间信号x(t)带限于[-ωm,ωm]，理想抽样后信号xs(t)为两边取傅里叶变换得再考虑x(t)抽样点上样值构成的离散序列x[n]=x(nTs)（参见图4.46(a)(e)），其频谱为比较上面两式可以看出，序列x[n]的频谱与对应的连续时间抽样后信号xs(t)的频谱有如下关系4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1484/994.4离散时间系统与连续时间系统4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5图4.46连续信号频谱和对应的离散序列频谱之间的关系2025/1/1485/994.4离散时间系统与连续时间系统由前面3.5节分析可知理想抽样后信号xs(t)的频谱是x(t)频谱的周期延拓于是有上式即为x(t)频谱和其抽样后序列x[n]频谱之间的关系。由该关系式可以得出如下重要概念：(1)x[n]的频谱是x(t)频谱作周期为的周期延拓后，再进行ω=Ω/Ts变量代换构成的。(2)如果x(t)的抽样满足不失真抽样要求，则在x[n]的频谱中包含一个完整且不失真的频谱结构，如图4.46(b)和(f)所示。(3)频率映射关系ω=Ω/Ts即为连续时间频率和离散时间频率之间的关系。抽样角频率ωs映射到2

，最高模拟频率ωm映射到Ωm。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1486/994.4离散时间系统与连续时间系统4.4.4连续时间和离散时间频率响应函数之间的关系如果x(t)和x[n]分别用连续和离散系统的冲激响应h(t)和h[n]替换，结论同样成立，即其中H(ω)是连续系统的频率响应，Hs(ω)是对h(t)理想抽样后信号hs(t)的频谱，H(ejΩ)是h(t)的抽样点序列h[n]的频谱。

在实际应用中，若已知模拟滤波器的H(ω)，不宜用上式确定对应的数字滤波器的。可以按照下列过程可以从模拟滤波器得到对应的数字滤波器，这就是数字滤波器设计中的冲激响应不变法的基本原理。

4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.52025/1/1487/994.4离散时间系统与连续时间系统4.4.14.4.24.4.34.4.44.14.24.34.44.5图4.47连续时间系统频率响应和离散时间系统频率响应之间的关系2025/1/1488/994.5数字滤波

FIR滤波器4.5.1数字滤波的核心原理

脉冲响应不变法数字滤波器的频率响应函数是对应的模拟滤器频率响