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文档简介

中国人民大学附属中学1.1.1函数的平均变化率微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。例子:假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系。A是出发点，H是山顶。爬山路线用函数y=f(x)表示。H假设向量对x轴的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，容易看出于是此人从点A爬到点B的位移可以用向量来表示，显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如，山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可以用比值近似地刻画。注意各小段的是不尽相同的。但不管是哪一小段山坡，高度的平均变化都可以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来度量。由此我们引出函数平均变化率的概念。平均变化率的概念：一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).则当△x≠0时，商称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。进一步理解：1.式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y的值可以为0；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0；

3.变式:例1．求函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率。解：函数y=x2在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率为由上式可以看出，当x0取定值时，△x取不同的值，函数的平均变化率不同，当△x取定值，x0取不同的值时，该函数的平均变化率也不一样。例如，x0取正值，并不断增大时，该函数的平均变化率也不断地增大，曲线变得越来越陡峭。例2．求函数在区间[x0，x0+△x](或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且x0+△x≠0).解：函数的平均变化率为例3．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一点A(－1,－2)及临近一点B(－1+△x,－2+△y),则

．3－△x练习题1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量为（）A．f(x0+△x)B．f(x0)+△x

C．f(x0

)·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D2.一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一段时间[1，2]内的平均速度为（）A．－4B．－8

C．－6D．6C3.将半径为R的球加热，若球的半径增加△R，则球的表面积增加△S等于（）A．B．

C．D．B4.在曲线y=x2+1的图象上取一

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