2016文科高考数学复习等差数列及其前n项和

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正本清源——

第29讲等差数列及其前n项和返回目录基础自主梳理

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►易错易混

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►通性通法

►探究点一等差数列的基本运算第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究

►探究点二等差数列的判定及其证明

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►探究点三等差数列的性质和最值第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究第29讲等差数列及其前n项和返回目录考点互动探究►思想方法10.利用等差数列的性质求前n项和数学思想方法第29讲等差数列及其前n项和返回目录数学思想方法第29讲等差数列及其前n项和返回目录第29讲等差数列及其前n项和返回目录数学思想方法第29讲等差数列及其前n项和返回目录数学思想方法第29讲等差数列及其前n项和返回目录——

教师备用例题——

第29讲等差数列及其前n项和返回目录第29讲等差数列及其前n项和返回目录第29讲等差数列及其前n项和返回目录第29讲等差数列及其前n项和返回目录(3)(2015·温州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a6+a10为一个确定的常数,则下列各数中也可以为确定常数的是(

)A.S6 B.S11 C.S12 D.S13【解析】选B.根据题意,a2+a6+a10=(a2+a10)+a6=2a6+a6=3a6为一个确定的常数,即a6为确定常数,而S11=所以S11也为确定常数.(4)(2014·江西高考)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为

.【解析】由题意得a8>0且a9<0,所以7+7d>0且7+8d<0,解得-1<d<-.答案:

考点1等差数列的基本运算【典例1】(1)(2015·唐山模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则数列{an}的公差d是(

)A.B.4C.-4D.-3(2)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.①求数列{an}的通项公式;②若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.【解题提示】(1)利用等差数列的前n项和公式及通项公式,联立解方程组,消去a1,解得d.(2)①先求出基本量a1和d,再利用通项公式求解;②利用前n项和公式解方程即可.【规范解答】(1)选B.由已知得即消去a1,解得d=4.【一题多解】解答本题,你知道几种解法?解答本题,还可用下面的解法:选B.因为{an}是等差数列,则S5==55,因此a1+a5=22,从而2a3=22,即a3=11,又已知a4=15,所以公差d=a4-a3=15-11=4,故选B.(2)①设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.②由①可知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.进而由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7为所求.【互动探究】若例题(1)中的已知条件不变,求通项an.【解析】由本例(1)可知d=4,从而再解出a1=11-2d=3,所以an=3+(n-1)×4=4n-1.【规律方法】1.等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想.2.等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.【变式训练】(2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差d>0,设{an}的前n项和为Sn,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及Sn.(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65.【解析】(1)由题意知，(2a1+d)(3a1+3d)=36,解得d=2或d=－5(舍去).所以(2)由(1)知，am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k－1)(k+1)，所以(2m+k－1)(k+1)=65，由m,k∈N*知，2m+k－1>k+1>1，故所以【加固训练】1.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(

)A.3B.4C.5D.6【解析】选C.方法一：由已知得，am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3，因为数列{an}为等差数列，所以d=am+1-am=1，又因为所以m(a1+2)=0，因为m≠0，所以a1=-2，又am=a1+(m-1)d=2，解得m=5.方法二：因为Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，所以am=Sm-Sm-1=2，am+1=Sm+1-Sm=3，所以公差d=am+1-am=1,由由①得代入②可得m=5.方法三：因为数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn,所以数列也为等差数列.所以解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.2.数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N*).(1)若{an}是等差数列,求其通项公式.(2)若{an}满足a1=2,Sn为{an}的前n项和,求S2n+1.【解析】(1)因为an+1+an=4n-3,所以an+2+an+1=4n+1,两式相减得an+2-an=4.因为{an}是等差数列,设公差为d,所以d=2.又因为a1+a2=1,即a1+a1+d=1,所以所以(2)因为a1=2,a1+a2=1,所以a2=-1.又因为an+2-an=4,所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为4,所以a2n-1=4n-2,a2n=4n-5.所以S2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(a2+a4+…+a2n)考点2等差数列的判定与证明【典例2】(1)(2015·防城港模拟)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是(

)A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列(2)(2015·太原模拟)已知数列{an}中,(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).①求证:数列{bn}是等差数列;②求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.【解题提示】(1)构造新数列{cn},使得cn=a2n-1+2a2n,根据cn+1-cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断.(2)①证明bn+1-bn=常数;②根据①的结论,求得{bn}的通项公式,再求得{an}的通项公式,结合单调性求解.【规范解答】(1)选C.设{an}的公差为d,则d=1.设cn=a2n-1+2a2n,则cn+1=a2n+1+2a2n+2,所以cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6,故选C.(2)①因为an=(n≥2,n∈N*),bn=(n∈N*),所以

又所以数列{bn}是以为首项,以1为公差的等差数列.②由①知bn=n-,则an=设f(x)=则f(x)在区间和上为减函数,所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.【规律方法】等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.提醒:等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断.【变式训练】(2015·厦门模拟)数列{an}的前n项和为Sn=2n2-n+m(m∈R),则“m=0”是“数列{an}为等差数列”的(

)A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=0时,Sn=2n2-n.当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.对n=1也成立,所以an=4n-3,即{an}是等差数列.反之若{an}是等差数列,当n=1时,a1=S1=1+m,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-3对n=1必需成立,所以1=1+m,即m=0.故选A.【加固训练】已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值.(2)设数列{bn}的通项bn=证明数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.【解析】(1)设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去)，故a=2,k=10.(2)由(1)得则故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列,所以考点3等差数列性质的应用知·考情对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及,有时以选择题、填空题出现,难度中等偏下,有时在解答题中出现,常与求通项an及前n项和Sn结合命题,题目难度中等.明·角度命题角度1:根据等差数列的性质求基本量【典例3】(2015·贵阳模拟)已知递减的等差数列{an}满足a12=a92,则a5=

(

)A.-1 B.0 C.-1或0 D.4或5【解题提示】判断出等差数列的单调性,再根据性质求解.【规范解答】选B.由题意可知a12-a92=0,即(a1+a9)(a1-a9)=0,又{an}为递减的等差数列,所以a1>a9,得a1+a9=0,所以a5=0,故选B.命题角度2:根据等差数列的性质求前n项和的最值【典例4】(2015·乌鲁木齐模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围.(2)S1,S2,…,S12中哪一个值最大?并说明理由.【解题提示】(1)由S12>0,S13<0可得出关于a1与d的不等式,结合a3=12可求d的范围.(2)由S12>0,S13<0,确定出正负变化的相邻的两项,从而确定最值.【规范解答】(1)因为S12>0,S13<0,所以即又a3=a1+2d=12,所以解得(2)由题意及等差数列的性质可得所以a7<0,a6>0.所以在数列{an}中，前6项为正，从第7项起，以后各项为负，故S6最大.【一题多解】解答本题，你知道几种解法？解答本题还有以下解法.(n=1,2,3,…,12).所以=因为所以所以当n=6时，Sn有最大值，所以S1,S2,…,S12中值最大的为S6.悟·技法求等差数列的前n项和Sn最大(小)值的常用方法1.邻项变号法：(1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm.(2)当a1<0,d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.2.函数法：利用等差数列的前n项和(d≠0),Sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0,借助二次函数的图象或配方法解决最值问题，注意n∈N*.通·一类1.(2015·重庆模拟)已知等差数列{an}的前13项之和为,则tan(a6+a7+a8)等于(

)A.B.C.1D.-1【解析】选D.因为等差数列{an}的前13项之和为=13a7,所以a7=,则tan(a6+a7+a8)=tan(3a7)=tan=-1,选D.2.(2015·济南模拟)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn是{an}前n项和,则使得Sn达到最大值的n是(

)A.21 B.20 C.19 D.18【解析】选B.由a1+d+a3+d+a5+d=105+3d,则a2+a4+a6=105+3d=99,得d=-2,a1=39,所以an=41-2n,由an=41-2n>0,得n<所以使得Sn达到最大值的n是20.3.(2015·西安模拟)在等差数列{an}中,公差d>0,前n项和为Sn,a2a3=45,a1+a5=18.(1)求数列{an}的通项公式.(2)令bn=(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题设,知{an}是等差数列,且公差d>0,则由得解得所以an=4n-3(n∈N*).(2)方法一:由(1)知所以所以令2b2=b1+b3,解得c=-.当c=-时,bn=当n≥2时,bn-bn-1=2.故当c=-时,数列{bn}为等差数列.方法二:由因为c≠0,所以可令c=-,得到bn=2n.因为bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),所以数列{bn}是公差为2的等差数列.即存在一个非零常数c=-,使数列{bn