巧用“等时圆”解物理问题(龚)

龙文教育让您的孩子学会学习PAGE5上海龙文教学管理部龙文教育学科导学案教师:肖武培学生:年级:日期:2014.星期:时段:::00—:00学情分析课题巧用“等时圆”解物理问题学习目标与考点分析学习目标：考点分析：学习重点学习方法讲练说相结合学习内容与过程[知识提要]“等时圆”模型的基本规律及应用图2图1如图1所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3图2图1A.t1<t2<t3B.t1>t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R，由牛顿第二定律得，①再由几何关系，细杆长度②设下滑时间为，则③由以上三式得，可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。(1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点时间均相等，且为t＝2eq\r(\f(R,g))(如图甲所示)．(2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止下滑，到达圆周低端时间相等为t＝2eq\r(\f(R,g))(如图乙所示)．象这样的竖直圆我们简称为“等时圆”。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子：图a图b等时圆模型（如图所示）图a图b二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（）自由落体的时间，即（式中R为圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为，位移为，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。规律：AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，A点为圆周的最高点，D点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出），三个滑环分别从A处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角大小都无关.推导：设圆环沿细杆AB滑下，过B点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为θ，如图2所示，连接BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsinθ，由几何关系有AB=x=2Rsinθ，由运动学公式有x=12at2，解得：环的运动时间t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同细杆下滑的时间是相等的.说明1如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，由运动学公式有2Rsinθ=12（gsinθ—μgcosθ）t2，图7例3：如图7，一质点自倾角为的斜面上方的定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为使质点从O点滑到斜面的时间最短，则斜槽与竖直方向的夹角应为多大？图7例4：如图7，AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？M•Pθα图7【例4】如图7所示，在同一竖直平面内，从定点P到固定斜面(倾角为θ)搭建一条光滑轨道PMM•Pθα图7图1“形似质异”问题的区分图1【例1】还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？AθB图7PcbadOefg图4aObcd图3【例2】如图3所示，Oa、Ob、Oc是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c四点位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，cAθB图7PcbadOefg图4aObcd图3A．B．C．D.C图5D例3：如图5所示，在竖直面内有一圆，圆内OD为水平线，圆周上有三根互成的光滑杆、、，每根杆上套着一个小球（图中未画出）。现让一个小球分别沿三根杆顶端无初速下滑到O,所用的时间分别为、、，则（）C图5DABCD无法确定四、比较应用等时圆模型解典型例题图9例题1：如图9，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端由静止滑到底端，至少需要多少时间？图92.有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是600，450和300，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是（）A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后θaObc3、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则θaObcA、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点图3例3：如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2l）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？图3OOPMdαθ图13【例6】在竖直平面内，固定一个半径为R的大圆环，其圆心为O，在圆内与圆心O同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图13所示，=d＜R。欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用OM与水平面的夹角α的三角函数表达）。。【例5】如图10所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点P，到半径为R的定圆的水平距离为L，从P搭建一条光滑轨道到定圆的圆周上。现使物体从P点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短，该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。••PHL图10本次课后作业学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：教师评定：1.学生上次作业评价：○