2025年北师大版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册阶段测试试卷112考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、2和8的等比中项是（）

A.5

B.4

C.-4

D.±4

2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA+bsinB=csinC；则△ABC的形状是（）

A.等腰三角形。

B.直角三角形。

C.等腰直角三角形。

D.等腰或直角三角形。

3、设=（1,-2），=（a,-1），=（-b，0），a>0,b>0,O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是（）A．2B．4C．6D．84、【题文】如图，在中，是上的一点，若则实数的值为（）

5、已知z=2x+y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）A.B.C.D.6、设x∈R，则“1﹣x﹣2x2＜0”是“|2﹣x|＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、已知p1（2，-1），p2（0，5）且点p在p1p2的延长线上，|p1p|=2|pp2|，则p的坐标（）A.（2，-7）B.（3）C.（3）D.（-2，11）评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)8、已知x＞1，则函数的最小值是____．9、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC的面积等于____．10、设则函数的最大值是__________11、已知集合则=____.12、【题文】一个正方体玩具的6个面分别标有数字1，2，2，3，3，3．若连续抛掷该玩具两次，则向上一面数字之和为5的概率为____．13、已知函数且则m的值为____14、已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记若直线l的斜率k≥则λ的取值范围为____．15、命题“∀x∈R，x2-ax+1＞0”为真命题，则a的取值范围为______．16、在△ABC中，若A=60°，b=8，S△ABC=12则a=______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共10分)24、已知函数f（x）=x2-2lnx+a（a为实常数）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间上的最大值与最小值．

25、已知圆O：x2+y2=4；动点P（t，0）（-2≤t≤2），曲线C：y=3|x-t|．曲线C与圆O相交于两个不同的点M，N

（1）若t=1；求线段MN的中点P的坐标；

（2）求证：线段MN的长度为定值；

（3）若m，n，s，p均为正整数．试问：曲线C上是否存在两点A（m，n），B（s，p）（11），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值k（k＞1）？若存在请求出所有的点A，B；若不存在请说明理由．

评卷人得分五、计算题(共3题，共15分)26、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。27、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．28、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共3题，共21分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．31、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

设2与8的等比中项为b，则由等比中项的定义可知，b2=2×8=16

∴b=±4

故选D

【解析】【答案】直接利用等比中项的定义即可求解。

2、B【分析】

由正弦定理==化简已知的等式得：a2+b2=c2；

则△ABC为直角三角形．

故选B

【解析】【答案】利用正弦定理化简已知的等式，得到a2+b2=c2；利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形．

3、D【分析】因为A、B、C三点共线,所以因为所以应选D.【解析】【答案】D4、C【分析】【解析】

考点：平面向量的基本定理及其意义．

分析：由已知中△ABC中，P是BN上的一点，设=λ后，我们易将表示为(1-λ)+的形式；根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值。

解：∵P是BN上的一点；

设=λ由

则=+

=+λ

=+λ(-)

="(1-λ)"+λ

="(1-λ)"+

=m+

∴m=1-λ，=

解得λ=m=

故选C【解析】【答案】C5、A【分析】【解答】题中所给约束条件所得的可行域如下图：

则在点和处分别取最大值和最小值，所以所以故选A.6、B【分析】【解答】解：1﹣x﹣2x2＜0，化为：2x2+x﹣1＞0，解得x或x＜﹣1．

|2﹣x|＜1化为：1＜x＜3．

∴“1﹣x﹣2x2＜0”是“|2﹣x|＜1”的必要不充分条件．

故选：B．

【分析】利用不等式的解法分别解出1﹣x﹣2x2＜0，|2﹣x|＜1，即可判断出结论．7、D【分析】解：设P（x，y），由题意P2为PP1的中点；则。

∵P1（2，-1）、P2（0；5）；

∴0=x+2；10=y-1

∴x=-2；y=11

∴P（-2；11）．

故选：D．

点P2是线段P1P的中点；利用中点坐标公式即可得出．

熟练掌握中点坐标公式等是解题的关键．【解析】【答案】D二、填空题(共9题，共18分)8、略

【分析】

∵x＞1；

∴x-1＞0；

∴f（x）=x+=（x-1）++1≥2+1=5，（当且仅当x-1=即x=3时取“=”）．

故答案为：5．

【解析】【答案】利用基本不等式；凑“积”为定值．

9、略

【分析】

由题意；∵△ABC的三个内角A；B、C成等差数列。

∴B=60°

∴S=ac×sinB=

故答案为

【解析】【答案】先由△ABC的三个内角A；B、C成等差数列；得B=60°，再利用面积公式可求．

10、略

【分析】【解析】试题分析：根据题设则函数故可知等号成立的条件是故答案为考点：均值不等式【解析】【答案】11、略

【分析】因为所以【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：连续抛掷两次共有种基本事件，向上一面数字之和为5的事件包含2+3与3+2两种情形，共种基本事件，所以概率为

考点：古典概型概率【解析】【答案】13、2【分析】【解答】所以m=2【分析】则有这就是复合函数的求导法则14、【分析】【解答】解：∵椭圆C：的短轴长为2，离心率为∴解得a=b=c=1；

∴椭圆C：

∵过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A；B；

∴设直线l的方程为y=k（x﹣1）；

联立得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0；

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞y2；

则x1x2=

∴=

=

=

=

=

=

∵k

∴当k=时，λmax==

当k→+∞时，λmin→

∴λ的取值范围是．

故答案为：．

【分析】根据已知条件求出椭圆C的方程，再由直线l过椭圆C的右焦点，设出直线l的方程，联系椭圆C和直线l的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系能求出λ的取值范围．15、略

【分析】解：若“∀x∈R，x2-ax+1＞0”为真命题；

则△=a2-4＜0；

即-2＜a＜2；

故答案为：-2＜a＜2．

根据全称命题的定义以及不等式的性质即可得到结论．

本题主要考查不等式恒成立的问题，利用判别式即可得到结论，比较基础．【解析】-2＜a＜216、略

【分析】解：∵A=60°，b=8，S△ABC=12=bcsinA=

∴解得：c=6；

∴利用余弦定理可得：a===2．

故答案为：2．

由已知利用三角形面积公式可求c的值；进而利用余弦定理即可解得a的值．

本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解析】2三、作图题(共9题，共18分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共10分)24、略

【分析】

（1）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=2x-

令f′（x）＞0，有解之得x＞1；

令f′（x）＜0，有得0＜x＜1；

所以函数f（x）的单调减区间为（0；1），f（x）的单调增区间为（1，+∞）．

（2）当x在上变化时；f'（x），f（x）的变化情况如下表：

由表知，函数f（x）min=1-a；

又f（2）=22-2ln2+a=4-2ln2+a；

所以f（x）max=4-2ln2+a．

【解析】【答案】（1）求出函数定义域；导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；

（2）列出当x在上变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，则其唯一的极小值即为最小值，求出端点处函数值f（）；f（2），通过作差比较可得最大值；

25、略

【分析】

（1）设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜1＜x2），P（x，y）

由

所以=

所以（6分）

（2）

=

为定值．（4分）

（3）设

消去m，n得

所以s=p=1，此时m=n=2，又A（2，2），B（1，1）在曲线C上。

所以仅有A（2；2），B（1，1）符合．（6分）

【解析】【答案】（1）将曲线C的方程代入圆的方程；消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式即可求得P的坐标；

（2）利用将曲线C的方程代入圆的方程；消去y得到的方程，结合根与系数的关系，利用两点间的距离公式即可求出线段MN的长度为定值；

（3）对于存在性问题；可先假设存在，即假设存在两点A（m，n），B（s，p）（11），使得圆O上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，再建立等式求出A，B的坐标，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

五、计算题(共3题，共15分)26、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。27、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．28、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共3题，共21分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）