2025年粤教版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教版高一数学上册阶段测试试卷289考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、某公司一年购买某种货物600吨；每次都购买x吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买（）吨．

A.60

B.120

C.30

D.50

2、数列{an}满足an+1-an=n（n∈N*），a1=1，则a10=（）

A.45

B.46

C.55

D.56

3、已知a＞0，且a≠1，则函数y=a-x与y=logax的图象可能是（）

A.

B.

C.

D.

4、在△ABC中，下列关系式不一定成立的是（）。A.B.C.D.5、【题文】如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.B.C.D.6、下列表示方法正确的是（）A.0∈∅B.∅∈{0}C.∅∉{0}D.0∈{O}7、已知f（x）=lnx-e-x，a=2e，b=ln2，c=log2e（其中e为自然对数的底数）则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A.f（a）＜f（b）＜f（c）B.f（a）＜f（c）＜f（b）C.f（b）＜f（c）＜f（a）D.f（c）＜f（b）＜f（a）评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、在空间中，经过一点和一直线垂直的直线有____条；经过平面外一点和平面平行的直线有____条．9、【题文】在△ABC中,B=AC=1,AB=则BC的长为____.10、【题文】一个正三棱柱的三视图如图所示,如果左视图的面积为则这个三棱柱的体积为________．

11、【题文】已知方程表示圆，则___________。12、【题文】过点P的圆的切线方程是_____________。13、已知集合A={x|x∈N，∈N}，则集合A用列举法表示为____14、已知O

是边长为2

的等边鈻�ABC

的重心，则(OA鈫�+OB鈫�)?(OA鈫�+OC鈫�)=

______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)15、设数列的前项和为对任意的正整数都有成立，记（1）（1）求数列与数列的通项公式；（2）设数列的前项和为是否存在正整数使得成立？若存在，找出一个正整数若不存在，请说明理由．（3）记设数列的前项和为求证：对于都有16、已知函数（Ⅰ）用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数的图像．（Ⅱ）写出的图象是由的图象经过怎样的变换得到的.17、（本题满分1４分）已知是定义在R上的偶函数，当时，（1）求的值；⑵求的解析式并画出简图；⑶讨论方程的根的情况。(只需写出结果，不要解答过程).18、【题文】求下列各式的值：

（1）

（2）19、【题文】（本小题满分12分）若函数满足：对定义域内任意两个不相等的实数都有则称函数为H函数.已知且为偶函数.

(1)求的值；

(2)求证:为H函数；

(3)试举出一个不为H函数的函数并说明理由.20、【题文】（9分）如图，的三个顶点分别为A（0；4），B（-2，6），C（-8，0）

（1）求边AC上的中线BD所在的直线方程；

（2）求与AB平行的中位线DE的直线方程．

21、已知函数f（x）=lgkx，g（x）=lg（x+1），h（x）=．

（1）当k=1时；求函数y=f（x）+g（x）的单调区间；

（2）若方程f（x）=2g（x）仅有一个实根；求实数k的取值集合；

（3）设p（x）=h（x）+在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．22、已知α是三角形的内角，且sinα+cosα=．

（1）求tanα的值；

（2）的值．23、数列{an}的前n项和Sn=33n-n2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：{an}是等差数列．评卷人得分四、证明题(共2题，共14分)24、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．25、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．评卷人得分五、综合题(共4题，共8分)26、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．27、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．28、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．29、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，则需要购买次；

运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，一年的总运费与总存储费用之和为•3+2x万元．

∵•3+2x≥当且仅当=2x；即x=30吨时，等号成立．

所以每次购买30吨时；一年的总运费与总存储费用之和最小．

故选C

【解析】【答案】由某公司每次都购买x吨；由于一年购买某种货物600吨，得出需要购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，最后利用基本不等式求得一年的总运费与总存储费用之和最小即可．

2、B【分析】

由an+1-an=n；得。

a2-a1=1

a3-a2=2

a10-a9=9．

累加得，

所以a10=45+a1=45+1=46．

故选B．

【解析】【答案】在给出的递推式中分别取n=1；2，3，，9得到9个式子，累加后利用等差数列求出和即可得到答案．

3、B【分析】

∵a＞0；且a≠1；

∴函数y=a-x的图象在x轴上方，y=logax的图象在y轴右侧；

故排除C和D．

当0＜a＜1时，y=a-x=（）x是增函数，y=logax是减函数；A和B均不成立；

当a＞1时，y=a-x=（）x是减函数，y=logax是增函数；B成立．

故选B．

【解析】【答案】由a＞0，且a≠1，知函数y=a-x的图象在x轴上方，y=logax的图象在y轴右侧，故排除C和D．再分0＜a＜1和a＞1两种情况，分别讨论y=a-x和y=logax的单调性；能求出结果．

4、C【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于对于A,显然成立，对于B，根据投影的定义可知成立，对于C，由于正弦定理可知不一定成立，而对于D，符合投影的运用，故答案为C.考点：解三角形【解析】【答案】C5、B【分析】【解析】

试题分析：由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此故选B.

考点：三视图.【解析】【答案】B6、D【分析】解：∅表示不含有元素的集合；

∴A.0∈∅表示错误；

B．∅⊆{0}；∴B错误．

C..∅⊆{0}；∴C表示错误．

D.0∈{O}；∴D正确．

故选：D

根据元素和集合之间的关系进行判断即可．

本题主要考查元素和集合关系的表示，正确理解空集的意义是解决本题的关键，比较基础．【解析】【答案】D7、C【分析】解：∵f（x）=lnx-e-x在R上单调递增；

又a=2e＞2，b=ln2＜1，c=log2e∈（1；2）．

则f（a）＞f（c）＞f（b）；

故选：C．

f（x）=lnx-e-x在R上单调递增，又a=2e＞2，b=ln2＜1，c=log2e∈（1；2）．即可得出．

本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】【答案】C二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】

在空间中；过一点可做一个平面与一直线互相垂直，则这个平面内任意一条过该点的直线都与这条直线互相垂直．所以在空间中，经过一点和一直线垂直的直线有无数条；

经过平面外一点可做一个平面与已知平面互相平行；则由面面平行的性质定理知这个平面内的任意一条过该点的直线都与已知平面互相平行．所以经过平面外一点和平面平行的直线有无数条。

故答案为：无数；无数。

【解析】【答案】根据线面垂直的性质定理和面面平行的性质定理即可得解。

9、略

【分析】【解析】由已知B=AC=b=1,AB=c=

=得sinC==

∴sinC=

又0<π,

∴C=或

若C=则A=此时a==2;

若C=则A=π--=

此时A=B=故a=b=1.【解析】【答案】1或210、略

【分析】【解析】

试题分析：观察三视图知，该正三棱柱的底面三角形边长为4，三角形高为由左视图的面积为得此正三棱柱的高为所以其体积为答案为

考点：三视图，几何体的体积.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】方程表示圆，则首先满足a=解得或当a=-1时,即当a=2时；

即不表示任何图形，舍去。所以a=-1.【解析】【答案】或12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、{0，2，3，4，5}【分析】【解答】解：由题意可知6﹣x是12的正约数；当6﹣x=1，x=5；当6﹣x=2，x=4；

当6﹣x=3；x=3；

当6﹣x=4；x=2；当6﹣x=5，x=12；而x≥0；

∴x=0；2，3，4，5，即A={0，2，3，4，5}．

故答案为：{0；2，3，4，5}

【分析】由题意可知6﹣x是12的正约数，然后分别确定12的约数，从而得到x的值为0，2，3，4，5，即可求出A14、略

【分析】解：隆脽O

是边长为2

的等边鈻�ABC

的重心，

隆脿OAOBOC

两两夹角为120鈭�

|OA|=|OB|=|OC|=234鈭�1=233

OA鈫�鈰�OC鈫�=|OA鈫�|?|OC鈫�|?cos120鈭�=43鈰�(鈭�12)=鈭�23

同理，OA鈫�鈰�OB鈫�=OB鈫�鈰�OC鈫�=鈭�23

(OA鈫�+OB鈫�)?(OA鈫�+OC鈫�)

=OA鈫�2+OA鈫�鈰�OC鈫�+OA鈫�鈰�OB鈫�+OB鈫�鈰�OC鈫�

=43鈭�23鈭�23鈭�23=鈭�23

．

故答案为：鈭�23

．

由已知得OAOBOC

两两夹角为120鈭�|OA|=|OB|=|OC|=233

从而OA鈫�鈰�OC鈫�=OA鈫�鈰�OB鈫�=OB鈫�鈰�OC鈫�=鈭�23

由此能求出(OA鈫�+OB鈫�)?(OA鈫�+OC鈫�)

的值．

本题考查平面向量数量积、三角形重心性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．【解析】鈭�23

三、解答题(共9题，共18分)15、略

【分析】试题分析：（1）根据题中给的an=5Sn+1，继而可得an-1=5sn-1+1，两式子相减得，an-an-1=5an，因此因而可得出an，bn的通项公式;（2）根据bn的通项公式，算出的前n项和为Rn，再计算出是否存在正整数k;（3）根据bn的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与的大小.（1）当时，又∴数列是首项为公比为的等比数列，∴（2）不存在正整数使得成立。证明：由（1）知∴当n为偶数时，设∴当n为奇数时，设∴∴对于一切的正整数n，都有∴不存在正整数使得成立;（3）由得又当时，当时，考点：数列递推式；数列的应用；数列的求和【解析】【答案】(1)(2)不存在，见解析；（3）见解析.16、略

【分析】（Ⅰ）直接利用五点法，令求出对应的x即可找到五个特殊点的坐标，即可得到函数图象．（Ⅱ）直接根据函数图象的平移变换和伸缩变换规律即可得到.【解析】

（Ⅰ）列表如下：。000103分作图如下：7分（2）将的图象上的所有点向右平移单位得的图象，10分再将的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得的图象13分【解析】【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析17、略

【分析】

（1）是定义在R上的偶函数3分（2）当时，于是5分是定义在R上的偶函数，6分7分画出简图列表.8分图.10分⑶当方程无实根当有2个根；当有3个根；当有4个根；..14分【解析】略【解析】【答案】18、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（1）原式

（2）原式19、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】20.（本小题满分14分）

解:(1)因为为偶函数,所以

=

即为H函数.

(3)例:(说明:底数大于1的对数函数或都可以)

理由:当时,

显然不满足

所以该函数不为H函数20、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（1）由中点坐标公式，设点得

由直线的两点式方程得BD所在的直线方程为即

（2）由题意知

得AB的中位线所在的直线方程为21、略

【分析】

（1）求出函数的表达式；根据x的范围以及对数函数的性质求出函数的单调区间即可；

（2）将方程f（x）=2g（x）等价转化为普通的一元二次不等式；然后对一元二次不等式的解进行研究，得到本题的答案；

（3）函数p（x）=h（x）+在区间（-1，1）上有且仅有两个不同的零点等价于方程mx2+x+m+1=0（*）在区间（-1；1）上有且仅有一个非零的实根．分类讨论，即可求实数m的取值范围．

本题考查的是复合函数单调性、函数的定义域、一元二次函数的图象和性质，还考查了分类讨论的数学思想．本题有一定的综合性，对学生能力要求较高．【解析】解：（1）当k=1时；y=f（x）+g（x）=lgx+lg（x+1）=lgx（x+1）（其中x＞0）

∴y=f（x）+g（x）的单调递增区间为（0；+∞），不存在单调递减区间．

（2）由f（x）=2g（x）；即lgkx=2lg（x+1）；

该方程可化为不等式组

①若k＞0时，则x＞0，原问题即为：方程kx=（x+1）2在（0；+∞）上有且仅有一个根；

即x2+（2-k）x+1=0在（0；+∞）上有且仅有一个根；

由x1•x2=1＞0知：△=0．

解得k=4；

②若k＜0时，则-1＜x＜0，原问题即为：方程kx=（x+1）2在（-1；0）上有且仅有一个根；

即x2+（2-k）x+1=0在（-1；0）上有且仅有一个根；

记h（x）=x2+（2-k）x+1；

由f（0）=1＞0知：f（-1）＜0；

解得k＜0．

综上可得k＜0或k=4．

（3）令p（x）=h（x）+=0，即+=0；

化简得x（mx2+x+m+1）=0，所以x=0或mx2+x+m+1=0；

若0是方程mx2+x+m+1=0的根；则m=-1；

此时方程为-x2+x=0的另一根为1；不满足g（x）在（-1，1）上有两个不同的零点；

所以函数p（x）=h（x）+在区间（-1；1）上有且仅有两个不同的零点；

等价于方程mx2+x+m+1=0（*）在区间（-1；1）上有且仅有一个非零的实根；

（i）当m=0时；得方程（*）的根为x=-1，不符合题意；

（ii）当m≠0时；则。

①当△=12-4m（m+1）=0时，得m=若m=

则方程（*）的根为x=-=-1∈（-1；1），符合题意；

若m=则方程（*）的根为x=-=--1∉（-1；1）；

不符合题意．所以m=

②当△＞0时，m＜或m＞

令ϕ（x）=mx2+x+m+1；由ϕ（-1）ϕ（1）＜0且ϕ（0）≠0，得-1＜m＜0；

综上所述，所求实数m的取值范围是（-1，0）∪{}．22、略

【分析】

（1）由同角三角函数的基本关系式可得由解可得sinα、cosα的值，由tanα=计算可得答案．

（2）利用诱导公式直接化简可得原式=tanα；由（1）的结论即可得答案．

本题考查三角函数的化简求值，关键是掌握常见的三角函数的恒等变形公式并熟练运用．【解析】解：（1）由得故．

（2）原式=．23、略

【分析】

（1）根据≥2时，an=Sn-Sn-1；即可求出通项公式；

（2）再利用定义证明即可．

本题考查了数列的递推关系式，以及等差数列的定义，属于基础题．【解析】解（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=34-2n；

又当n=1时，a1=S1=32=34-2×1满足an=34-2n．

故{an}的通项为an=34-2n．

（2）证明：an+1-an=34-2（n+1）-（34-2n）=-2．

故数列{an}是以32为首项，-2为公差的等差数列．四、证明题(共2题，共14分)24、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．25、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．五、综合题(共4题，共8分)26、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．【解析】【解答】解：（1）△HGA；△HAB；

理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形；AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°；

∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°；

∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°；∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°；

∴∠H=∠GAC；

∵∠AGC=∠AGC；

∴△AGC∽△HGA；

∵∠B=∠ACG=45°；∠GAC=∠H；

∴△AGC∽△HAB；

（2）①如图2；∵△AGC∽△HAB；

∴=；

∴=；

∴y=；

②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9；

∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9-x）；

∴z=+x-9；

（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的顶角；

如图；∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9；

由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9；

∴BG=HC；

∴CG=x=9；

即当x=9时；AG=AH．

故答案为：△HGA，△HAB．27、略

【分析】【分析】（1）把y=2代入反比例函数y=可得x=3；即可求得点A的坐标；

（2）把点A（3，2）、点B（2，0）代入一次函数y=kx+b；利用待定系数法即可求得函数解析式；

（3）根据与x轴平行的直线的特点线，可求得此直线为y=2，过点O作AB的平行线，则此直线为y=2x，从而可得点P的坐标为（1，2）．【解析】【解答】解：（1）把y=2代入反比例函数y=；得：x=3；

∴点A的坐标为（3；2）；

（2）∵点A（3，2），点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上；

∴；

解得；

∴一次函数y=kx+b的解析式为y=2x-4；