初高中数学(新人教版)衔接点09-从换元法-数形结合思想到函数的值域(解析版)

衔接点09从换元法，数形结合思想到函数的值域【基础内容与方法】1.换元法：就是将函数解析式中的部分代数式视为整体，换成新元，从而简化函数结构来求值域的方法．形如的函数，常用换元法求解．2.数形结合思想：画出函数的图形，找图形的最高点和最低点，对应的函数值即为函数的最值．类型一：换元法求形如的函数的值域例1：求函数的值域．【解析】令，则．∴原函数可化为．∵当，即时，；且原函数无最小值．故原函数的值域为．考点练习一1.求函数y＝2x－eq\r(x－1)的值域．【解析】(换元法)设t＝eq\r(x－1)，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－eq\f(1,4))2＋eq\f(15,8)，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[eq\f(15,8)，＋∞)．类型二：数形结合思想求值域例2：作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域．（1）；（2）．【答案】（1）减区间：和，值域：；（2）减区间：和，增区间：和，值域：．【解析】分别画出函数的图象，根据图象即可得到函数的单调区间和值域．（1），图象如图所示：函数在和为减函数.因为，所以，故值域为：；（2），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，当时，取得最小值，故值域：；【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题.考点练习二2．作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域．（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）增区间：，值域：R；（2）增区间：和，减区间：，值域：；（3）减区间：和，增区间：和，值域：；（4）减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析【解析】（1）函数的图象如图所示：函数在上为增函数，值域：.（2），图象如图所示：函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.（3），图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数.值域为：；（4），函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.【点睛】本题主要考查函数的图象，同时考查函数的单调区间和值域，属于中档题.课后作业：1.函数的值域是（）A．B．C．D．R【解析】，值域为【答案】B2.函数y=x+的值域是()A．(－∞,1 B．(－∞,－1C．R D．［1,+∞【解析】令=t(t≥0),则x=∵y=+t=－(t－1)2+1≤1∴值域为(－∞,1【答案】A3．已知f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，则f(3)＝______.【解析】∵f(x－eq\f(1,x))＝(x－eq\f(1,x))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.4．求函数的定义域与值域.【解析】要使函数有意义，则，解得.所以原函数的定义域是.，所以值域为.5.已知的定义域与值域.【解析】要使函数有意义，则x+2≠0，解得x≠－2.所以原函数的定义域是.∵，∴值域为.6.求下列函数的值域.(1)(2)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5].【解析】(1)(换元法)设eq\r(3x－2)＝t，t≥0，则y＝eq\f(1,3)(t2＋2)－t＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,12)，当t＝eq\f(3,2)时，y有最小值－eq\f(1,12)，故所求函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)，＋∞)).(2)(分离常数法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)＝2－eq\f(3,x＋1)，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax＝e