专题2-常见的圆周运动模型及其临界问题(考点精讲)(人教版2019必修第二册)

专题二常见的圆周运动模型及其临界问题考点01圆锥摆模型及水平面内圆周运动的临界问题【核心方法】1．圆锥摆模型(1)常见的圆锥摆模型物体受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆模型。常见的圆锥摆模型如下表：运动模型向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆物体在光滑半圆形碗内做匀速圆周运动(2)圆锥摆问题的分析思路①对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。②确定圆心和半径。③应用相关规律列方程求解。在竖直方向根据平衡条件列式，在水平方向根据向心力公式和牛顿第二定律列式。2．两类常见模型的临界情况分析(1)水平转盘模型①如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，方向指向圆心。②如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。(2)圆锥摆模型①绳上拉力的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力或绳上的拉力恰好达到最大值。②接触或脱离的临界条件是：物体与物体间的弹力恰好为零。(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：摩擦力的方向发生改变；发生相对滑动。【典例1】如图所示，A和B两物块(可视为质点)放在转盘上，A的质量为m，B的质量为2m，两者用长为l的细绳连接，A距转轴距离为l，两物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，细绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，重力加速度为g，求：(1)角速度ω为何值时，绳上刚好出现拉力；(2)角速度ω为何值时，A、B开始与转盘发生相对滑动。【答案】(1)eq\r(\f(μg,2l))；(2)eq\r(\f(3μg,5l))【解析】(1)开始时两物块都靠静摩擦力提供向心力，转动半径更大的B先达到最大静摩擦力，此时绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有μ·2mg＝2mωeq\o\al(2,1)·2l解得ω1＝eq\r(\f(μg,2l))故角速度为eq\r(\f(μg,2l))时，绳上刚好出现拉力。(2)当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B开始相对于转盘滑动，根据牛顿第二定律，对A有μmg－T＝mωeq\o\al(2,2)l对B有μ·2mg＋T＝2mωeq\o\al(2,2)·2l联立解得ω2＝eq\r(\f(3μg,5l))故角速度为eq\r(\f(3μg,5l))时，A、B开始与转盘发生相对滑动。【强化训练1】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长L＝2m的细绳悬挂一质量m＝1kg的小球，圆锥顶角2θ＝74°(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：(1)当小球以ω＝1rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小；(2)当小球以ω＝5rad/s的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力大小。【答案】(1)8.72N；(2)50N【解析】(1)设小球刚要离开锥面时的角速度为ω0，此时锥面对它的支持力为零，根据牛顿第二定律，得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)Lsinθ代入数据解得ω0＝2.5rad/s当ω＝1rad/s<2.5rad/s时，小球没有离开锥面，如图1，水平方向根据牛顿第二定律，得FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ竖直方向根据平衡条件，得FTcosθ＋FNsinθ＝mg联立并代入数据解得FT＝8.72N。(2)当ω＝5rad/s>2.5rad/s时，小球离开锥面，设细绳与竖直方向的夹角为β，如图2，根据牛顿第二定律，得FT1sinβ＝mω2Lsinβ解得FT1＝mω2L＝1×25×2N＝50N。模型规律总结水平面内圆周运动的临界问题，常常要分析物体所处的状态的受力特点，然后结合圆周运动的知识，列方程求解，一般会涉及临界速度、临界角速度等。通常有下面两种情况：(1)与绳(或面等)的弹力有关的临界问题：此类问题要分析出恰好无弹力或弹力达到最大这一临界状态下的角速度(或线速度)。(2)因静摩擦力而产生的临界问题：此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)，或静摩擦力方向恰好发生改变时的角速度(或线速度)。考点02竖直面内的圆周运动模型及其临界问题【核心方法】1．竖直平面内的圆周运动模型在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况，可分为三种模型：一是只有拉(压)力，如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等，称为“轻绳模型”；二是只有推(支撑)力，称为“拱桥模型”；三是可拉(压)可推(支撑)，如球与杆连接、小球在弯管内运动等，称为“轻杆模型”。2．三种模型对比轻绳模型拱桥模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力向下(也可能等于零)弹力向上(也可能等于零)弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg－FN＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)临界特征FT＝0时，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)FN＝0时，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此时FN＝mg，方向向上对速度eq\r(gr)的理解①v>eq\r(gr)时，小球能过最高点；②v＝eq\r(gr)时，小球刚好过最高点；③v<eq\r(gr)时小球不能过最高点①v≥eq\r(gr)时，车(物体)离开拱桥最高点做平抛运动；②v<eq\r(gr)时车(物体)能过最高点且不离开拱桥①v>eq\r(gr)时，杆或管道的外侧对球产生向下的拉力或弹力；②v＝eq\r(gr)时，球在最高点只受重力，不受杆或管道的作用力；③v<eq\r(gr)时，杆或管道的内侧对球产生向上的弹力模型拓展——斜面内的圆周运动1．概述在斜面上做圆周运动的物体，根据受力情况的不同，可分为以下三类：(1)物体在静摩擦力作用下做圆周运动。(2)物体在绳的拉力作用下做圆周运动。(3)物体在杆的作用下做圆周运动。这类问题的特点是重力的分力和其他力的合力提供向心力，运动和受力情况比较复杂。2．分析方法与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况，列牛顿运动定律方程来解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。【典例2】长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到()A．6.0N的拉力 B．6.0N的压力C．24N的拉力 D．24N的压力【答案】B【解析】设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，得v0＝eq\r(gL)＝eq\r(10×0.50)m/s＝eq\r(5)m/s。由于v＝2.0m/s<eq\r(5)m/s，可知过最高点时，球对细杆产生压力，细杆对小球有支持力，如图所示，为小球的受力情况图。由牛顿第二定律有mg－FN＝meq\f(v2,L)，得FN＝mg－meq\f(v2,L)＝3.0×10N－3.0×eq\f(2.02,0.50)N＝6.0N，由牛顿第三定律知，细杆OA受到6.0N的压力，B正确。【强化训练2-1】杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g＝10m/s2)()A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N【答案】B【解析】水流星”在最高点的速度v＝4m/s＝eq\r(gL)，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，处于完全失重状态，容器底部受到的压力为零，故只有B正确。【强化训练2-2】如图所示，一个半径为R的实心圆盘，其中心轴与竖直方向的夹角为θ。开始时，圆盘静止，其上表面覆盖着一层灰尘，没有掉落。现使圆盘绕其中心轴旋转，其角速度从零缓慢增大至ω，此时圆盘表面上的灰尘有75%被甩掉，设灰尘与圆盘面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则ω的值为____________________。【答案】eq\r(\f(2gμcosθ－sinθ,R))【解析】由于灰尘随圆盘做圆周运动，其向心力由灰尘受到的指向圆心的合力提供，灰尘在最下端时指向圆心的摩擦力最大。当75%的灰尘被甩掉时，剩余灰尘所在圆的半径r＝eq\f(R,2)，如图所示。根据牛顿第二定律，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(2gμcosθ－sinθ,R))。模型规律总结竖直面内圆周运动的求解思路(1)确