【八年级下册数学北师大版】期末必刷 期末仿真模拟卷（学霸）

（学霸卷）北师大版八年级下册数学期末仿真模拟考试卷一、单选题(每小题3分，共30分)1．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．你爱数学 B．你爱学 C．爱邓州 D．邓州爱你2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，，AC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边A．4 B．2 C．3 D．（第2题图）（第5题图）3．下列命题不正确的是

（

）A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等B．两边分别相等的两个直角三角形全等C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等．D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．4．将不等式组x+8>4x−1x≤16−3x的解集在数轴上表示出来，正确的是（

A． B．C． D．5．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（

）A．8<x<22 B．8≤x<22 C．22<x≤64 D．8<x≤646．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（

）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对7．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，则S3＞SA．①③ B．②④ C．②③ D．①④（第7题图） （第10题图）8．若关于x的不等式组x2+1≤x+43x+1≥a+x2有解，且关于yA．2 B．5 C．6 D．99．关于x的方程x+1x=a+1a的两个解为x1=a，x2=1a，x+2x=a+2A．x1=a， B．x1C．x1=a，x2=1010．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤AD+AE=3AP，其中正确的个数是（A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在锐角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BMMN有最小值时，∠ABM=（第11题图） （第12题图）12．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2022的坐标是________．13．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为S1，S2．则S1与S2的大小关系为：S1___________S2；（用“＞”、“＜”、“=”填空）14．已知：一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图像过点(－1，0)，则不等式k(x－1)＋b＞0的解集是_______．15．已知，点A(a，1)和点B(3，b)关于点(5，0)成中心对称，则a+b的值为___．16．当时，1−(1+a)217．若关于x的一元一次不等式组3x−2≥2x+2a−2x<−5的解集为x≥6，且关于y的分式方程y+2ay−118．已知A，C两点坐标分别为−3,0和2,2，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在x轴上，则点D的坐标为__________．三、解答题(共46分)19．《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．(1)第一批头盔进货单价多少元？(2)若两次购进头盔按同一价格销售，批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？20．先阅读下面的材料，然后回答问题方程的解为x1＝2，x2=方程x+1x=3+13的解为方程x+1x=4+14的解为……(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=2019+(2)猜想关于x的方程x−1(3)请仿照上述方程的解法，对方程y+121．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．(1)求图1中空白部分的面积S1（用含ab(2)图1，图2中空白部分面积S1、分别为19、68，求ab值．(3)图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：①S3②S322．综合与实践某兴趣小组为研究特殊三角形旋转时“点、线、面”在特殊位置时的特殊结论，小组成员选取了两个完全相同的含30°角的三角尺如图①摆放，其中∠ACB=∠A'CB'=90°,∠B=∠B'=30°,AC=A'C=2．保持△ABC不动，将②）．(1)如图②，当α=30°时，B'C与AB的位置关系是__________，判断此时(2)如图③，当α=__________时，△B(3)如图④，当△A'B'C继续旋转至点B'、A'23．新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①2x−1=0，②13x+1=0，③x−(3x+1)=−5中，不等式组(2)若不等式组x−2<11+x>−3x+6(3)若方程6−x=2x,7+x=3x+13都是关于x的不等式组的取值范围．24．如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．(1)经过3秒时，△BPQ的面积为多少？(2)当t为何值时，BP=1(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？25．已知▱ABCD中，，AC=BC．(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作AF⊥BE交直线CD于点F，垂足为点M，连接①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．②当点E在边DC的延长线上时，若∠BEC>45∘，判断线段BH、AF

（学霸卷）北师大版八年级下册数学期末仿真模拟考试卷（解析版）一、单选题(每小题3分，共30分)1．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．你爱数学 B．你爱学 C．爱邓州 D．邓州爱你【答案】D【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案．【详解】解：3a(x=3x=3(x+1)(x−1)(a−b)，∵a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：你，爱，邓，数，学，州，∴结果呈现的密码信息可能是：邓州爱你，故选：D．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和套用平方差公式．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，，AC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在边ABA．4 B．2 C．3 D．【答案】B【分析】由旋转的性质，可证△ACA'、都是等边三角形，由勾股定理求出【详解】解：如图，连接BB∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A∴∠BCB'=∠ACA'∵∠A=60°，∴△AC∴∠AC∴∠BC∴是等边三角形，∴BB'=BC，在Rt△ABC中，AB∴BC=AB∴BB故选：B．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．3．下列命题不正确的是

（

）A．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等B．两边分别相等的两个直角三角形全等C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等．D．中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分．【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理可判断A和B选项，根据旋转的性质可判断C选项，根据中心对称图形的性质可判断D选项，综上得出答案．【详解】解：A、一个锐角和一条边分别相等再加上两个直角是相等角，用ASA或AAS可证明两三角形全等，故A正确；B、若是一条直角边一条斜边分别相等，则用HL证明全等；若是两条直角边分别相等，则用SAS证明全等，因此两边分别相等的两个直角三角形全等，故B正确；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，故C错误；D、中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分是中心对称图形的性质，故D正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了命题、全等三角形的判定、旋转的性质和中心对称图形的性质等，牢固掌握以上知识点是解出本题的关键．4．将不等式组x+8>4x−1x≤16−3x的解集在数轴上表示出来，正确的是（

A． B．C． D．【答案】A【分析】分别把两个不等式解出来，求出不等式组的解集，然后即可判断哪个选项正确．【详解】解：解不等式x+8>4x−1，得x＜3，解不等式x≤16−3x，得x≤4，∴不等式组的解集为：x＜3，在数轴上表示为：故选：A．【点睛】本题考查1.解一元一次不等式组；2.在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法以及会表示不等式的解集．5．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（

）A．8<x<22 B．8≤x<22 C．22<x≤64 D．8<x≤64【答案】C【分析】根据“操作恰好进行两次就停止了”可得第一次运行的结果小于等于190，第二次运行的结果大于190，由此建立不等式组，再解不等式组即可得．【详解】由题意得：3x−2≤190①解不等式①得：x≤64，解不等式②得：x>22，则不等式组的解集为22<x≤64，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行的次数，正确建立不等式组是解题关键．6．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（

）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【答案】C【分析】分5cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．【详解】解：当长是5cm的边是底边时，腰为cm，三边为4cm，4cm，5cm，等腰三角形成立；当长是5cm的边是腰时，底边长是：13-5-5=3cm，三边为5cm，5cm，3cm，等腰三角形成立．故另两边的长是：3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．7．如图，点P是▱ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、、S3、S4，给出如下结论：①S1+S3=S2+S4；②如果S4＞S2，则S3A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出①正确；根据三角形的面积公式即可判断②③错误；根据已知进行变形，求出S1+S4＝S2+S3＝S△ABD＝S△BDC＝12S平行四边形ABCD，即可判断④【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，设点P到AB、BC、CD、DA的距离分别为h1、h2、h3、h4，则S1＝12ABh1，S2＝12BCh2，S3＝12CDh3，S4＝1∵12ABh1+CDh3＝12AB•hAB，12BCh2+12ADh4＝12又∵S平行四边形ABCD＝AB•hAB＝BC•hBC∴S2+S4＝S1+S3，故①正确；根据S4＞S2只能判断h4＞h2，不能判断h3＞h1，即不能得出S3＞S1，故②错误；根据S3＝2S1，能得出h3＝2h1，不能推出h4＝2h2，即不能推出S4＝2S2，故③错误；∵S1﹣S2＝S3﹣S4，∴S1+S4＝S2+S3＝12S平行四边形ABCD此时S1+S4＝S2+S3＝S△ABD＝S△BDC＝12S平行四边形ABCD即P点一定在对角线BD上，∴④正确；故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．8．若关于x的不等式组x2+1≤x+43x+1≥a+x2有解，且关于yA．2 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】先解一元一次不等式组，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定a的值，然后进行计算即可解答．【详解】x解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x≥a−2，∵不等式组有解，∴a−2≤2，∴a≤4，解分式方程3−ay3−y−1=解得：∵分式方程有正整数解，且y−3≠0∴a−1=1、3∴满足条件的所有整数a为2、4∴满足条件的所有整数a的和为2+4=6故选：C【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．需要随时考虑分式的分母不为0，易错点是a−1=2．9．关于x的方程x+1x=a+1a的两个解为x1=a，x2=1a，x+2x=a+2A．x1=a， B．x1C．x1=a，x2=10【答案】D【分析】由于x+10x−1=a+10a−1可化为(x−1)+10x−1=(a−1)+10【详解】∵x+∴(x−1)+∴上述方程有解及x−1=10即x=a及x=所以原方程的解为x1=a故选：D【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、a−1看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．10．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD＋CE＝BC；⑤AD+AE=3AP，其中正确的个数是（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】①利用角平分线的性质与三角形内角和等于180°进行求解；②利用三角形三条角平分线交于一点进行判断；③过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，利用ASA证明△PDF≌△PEG，则PD=PG；④过点P作PH⊥BC于，易证BF=BH，CG=CH，结合DF=EG可证BD+CE=BC；⑤利用“直角三角形中30°所对的边是斜边的一半”可得AP=2PF，再由勾股定理得AF=32AP，同理，AG=32AP，故【详解】解：①∵，∴∠ABC+∵平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC∴∠∴∠BPC=180°−(∠②∵三角形的三条角平分线交于一点，∴AP平分∠BAC，②③过点P作PF⊥AB于F，PG⊥AC于G，∵，，∴，又∵∠∴∠∴∠即∠DPF=∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PG⊥∴PF=PG．在△PDF与△PEG中，∠∴△PDF≌△PEG(ASA)，∴PD=PE，③正确；④过点P作PH⊥BC于∵BP平分∠ABC∴∠在△BPF与△BPH中，∠∴△BPF≌△同理，△CPH∴BH=BF，，∴BH+CH=BF+CG，即BC=BF+CG．∵△∴DF=EG，∴BC=BD+CE，④正确；⑤∵AP平分∠BAC∴∠在Rt△APF中，∴AF=A同理，AG=3∴AF+AG=3又∵DF=EG，∴AD+AE=3AP，综上，正确的结论有5个．故选：D．【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的三边关系，解决本题的关键是熟练掌握相关性质定理，并作出正确的辅助线．二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，在锐角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BMMN有最小值时，∠ABM=【答案】50【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BMMN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．12．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2022的坐标是____．【答案】（22021，22021）【分析】由OA1=1得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点A2的坐标，进而得到点B2的坐标，然后再一次类推得到点B2021的坐标．【详解】解：∵OA1=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，∴△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1=1，∴B1（1，1），同理：△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2=1，B1A2=A1∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2B2=2，∴B2（2，2），同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…，Bn（2n-1，2n-1），∴B2022（22021，22021），故答案为：（22021，22021）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律．13．已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为S1，S2．则S1与S2的大小关系为：S1___________S2；（用“＞”、“＜”、“=”填空）【答案】【分析】利用多项式乘多项式求出长方形的面积，两者作差，即可比较S1与S2的大小．【详解】解：由题意可知：，∴S∵，∴，即S1＜S故答案为：＜【点睛】本题考查多项式乘多项式，以及不等式的性质，解题的关键是求出S1−S2=2m−114．已知：一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图像过点(－1，0)，则不等式k(x－1)＋b＞0的解集是_______．【答案】x＞0【分析】先把（−1，0）代入y＝kx＋b得b＝k，则k（x−1）＋b＞0化为k（x−1）＋k＞0，然后解关于x的不等式即可．【详解】解：把（−1，0）代入y＝kx＋b得−k＋b＝0，解b＝k，则k（x−1）＋b＞0化为k（x−1）＋k＞0，而k＞0，所以x−1＋1＞0，解得x＞0．故答案为：x＞0．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（−1，0）代入解析式求得k与b的关系是解题的关键．15．已知，点A(a，1)和点B(3，b)关于点(5，0)成中心对称，则a+b的值为___．【答案】6【分析】利用中心对称的性质，构建方程组解决问题即可．【详解】解：∵点A(a，1)和点B(3，b)关于点(5，0)成中心对称，∴a+32=51+b∴a+b＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了中心对称的性质及中点的坐标公式，根据中心对称的性质和中点坐标公式列出方程组是解决此题的关键．16．当时，1−(1+a)2【答案】【分析】先对绝对值内进行化简，然后根据，判断绝对值内部的正负性，从而去根据去绝对值法则去绝对值即可.【详解】1−(1+a)∵，∴a<0且a+2<0，∴−a(a+2)<0∴1−(1+a【点睛】本题考查去绝对值，对于任意一个数或式a都有a=17．若关于x的一元一次不等式组3x−2≥2x+2a−2x<−5的解集为x≥6，且关于y的分式方程y+2ay−1【答案】8【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．【详解】解：3x−2≥2x+2解不等式①得：x≥6，解不等式②得：x＞a+52∵不等式组的解集为x≥6，∴a+52∴a＜7；分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1），解得：y=a+52∵方程的解是正整数，∴a+52∴a＞-5；∵y-1≠0，∴a+52∴a≠-3，∴-5＜a＜7，且a≠-3，∴能使a+52是正整数的a∴和为8，故答案为：8．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组与解分式方程，掌握一元一次不等式组与分式方程的解法是解题的关键．18．已知A，C两点坐标分别为−3,0和2,2，平行四边形ABCD的一个内角为45°，点B在x轴上，则点D的坐标为__________．【答案】(-3，2)#(-5，2)【分析】本题分两种情况讨论，过点C作CE⊥x轴于点E，在直角△BCE中，∠CBE＝45°，根据三角函数得到BE＝2，AE＝5，求得CD的长即可．【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，∵A，C两点坐标分别为−3,0和2,2，∴CE=2，AE=2−−3分两种情况进行讨论：①如图1，当∠DAB＝45°时：∴∠CBE＝45°，∵CE＝2，∴BE＝CEtan45°＝2，∴CD=AB=AE−BE=5−2=3，∴点D的坐标为(2-5，2)，即(-3，2)；②如图2，当∠CBA＝45°时：∵CE＝2，∴BE＝CEtan45°＝2，∴CD=AB=AE+BE=5+2=7，∴点D的坐标为(2-7，2)，即(-5，2)；∴由①②可知点D的坐标为：(-3，2)或(-5，2)．故答案为：(-3，2)或(-5，2)【点睛】本题结合平面直角坐标系考查了平行四边形的性质，分两种情况进行讨论是正确解决本题的关键．三、解答题(共46分)19．《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．(1)第一批头盔进货单价多少元？(2)若两次购进头盔按同一价格销售，批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？【答案】(1)第一批头盔进货单价为80元；(2)销售单价至少为100元．【分析】（1）设第一批头盔进货单价为x元，根据“第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元”列出方程，即可求解；（2）设销售单价为y元，由“获利不少于1000元”列出不等式，即可求解．(1)解：设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，根据题意，得5400x+10解得：x＝80．经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，答：第一批头盔进货单价为80元；(2)解：第一批头盔进货数量为1600÷80＝20（个），第二批头盔进货数量为60个．设销售单价为y元，根据题意，得（20+60）y﹣（1600+5400）≥1000，∴y≥100．答：销售单价至少为100元【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的等量关系或不等关系是解题的关键．20．先阅读下面的材料，然后回答问题方程的解为x1＝2，x2=方程x+1x=3+13的解为方程x+1x=4+14的解为……(1)观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=2019+(2)猜想关于x的方程x−1(3)请仿照上述方程的解法，对方程y+1【答案】(1)，x2(2)x1=3，(3)y1=2020，【分析】（1）根据阅读部分的提示，可直接得到答案；（2）先猜想得到方程的解，再检验即可；（3）先把原方程化为：y+2+1(1)解：仿照阅读部分的提示解答可得：方程的解为：，x2=故答案为：，x2(2)解：x−1x=−猜想方程的解为：x1=3，验证：当x=3时，左边=x−1x=3−左边＝右边，∴x=3是原方程的解当x=−13时，左边=x−1左边＝右边∴x=−1(3)解：方程变形，得y+2+∴y+2=2022或y+2=解得y1=2020所以原方程的解是y1=2020，【点睛】本题考查的是分式方程的特殊解法，属于阅读理解题，理解题意，总结规律，检验规律，并运用规律解方程是解本题的关键．21．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题．(1)求图1中空白部分的面积S1（用含ab(2)图1，图2中空白部分面积S1、分别为19、68，求ab值．(3)图3中空白面积为S，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含a、b的整式乘积的形式：①S3②S3【答案】(1)S(2)ab=15；(3)①(3a+b)(a+2b)；(2a+b)(a+2b)；【分析】（1）结合图形，求图1中空白部分的面积S1（2）根据图形，列出关于a，b的方程组并解方程组即可；（3）结合图形，将S3+7ab及S3−a(1)∵图1小正方形的边长为a+b，其中阴影部分面积为3ab，，∴S1(2)∵图2小长方形的长为2a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为5ab，，∴S2∵S1、面积分别为19、68，∴a2−ab+b由②-①×2，得2ab=30，∴ab=15；(3)∵图3小长方形的长为3a+b，宽为a+2b，其中阴影部分面积为7ab，，∴S3∴①S3②S3故答案为：①(3a+b)(a+2b)；(2a+b)(a+2b)；【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．22．综合与实践某兴趣小组为研究特殊三角形旋转时“点、线、面”在特殊位置时的特殊结论，小组成员选取了两个完全相同的含30°角的三角尺如图①摆放，其中∠ACB=∠A'CB'=90°,∠B=∠B'=30°,AC=A'C=2．保持△ABC不动，将△A(1)如图②，当α=30°时，B'C与AB的位置关系是__________，判断此时(2)如图③，当α=__________时，△B(3)如图④，当△A'B'C继续旋转至点B'、A'【答案】(1)平行，△A(2)30∘或(3)2【分析】（1）根据旋转的性质可得∠BCB'=∠ACA'=30（2）分，B'D=（3）延长AC交BB'于点F，在Rt△B(1)平行，△A当α=30∘时，即∵∠∴∠B'∵∠ACB=9∴∠A在△A'CD∴∠A∴△A(2)∵∠B'=30°当时，则∠B'当B'D=B故答案为：30∘或(3)延长AC交BB'∵∠ACB=∠A'CB'∴∠AB，∴△，∵∠F∴∠FC∴∠A∴△A∴A∴A∵AC=∴∠FA∴∠A∵∠A∴A∵在Rt△B'A∴AB【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．23．新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．(1)在方程①2x−1=0，②13x+1=0，③x−(3x+1)=−5中，不等式组(2)若不等式组x−2<11+x>−3x+6(3)若方程6−x=2x,7+x=3x+13都是关于x的不等式组x<2x−m【答案】(1)③(2)2(3)1≤m<2【分析】（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．(1)解方程2x-1=0得x=12；解方程x+1=0得x=-3；解方程x-（3x+1）=-5得x=2；解不等式组−x+3>x−43x−1>−x+2得34∴不等式组−x+3>x−43x−1>−x+2的关联方程是③故答案为：③；(2)解不等式x−2<1，得：，解不等式1+x>−3x+6，得：x>5则不等式组的解集为54∴其整数解为2，则该不等式组的关联方程可以为2x−4=0．（答案不唯一）(3)解方程6−x=2x得，解方程7+x=3x+13解关于x的不等式组x<2x−m，x−2≤m，得m<x≤m+2∵方程6−x=2x、7+x=3x+13都是关于x∴1≤m<2【点睛】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．24．如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1cm的速度移动，点Q从点B沿边BC向点C以每秒2cm的速度移动．如果点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．(1)经过3秒时，△BPQ的面积为多少？(2)当t为何值时，BP=1(3)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？【答案】(1)18cm2(2)4.5(3)3【分析】（1）根据三角形的周长公式求出三边长，根据勾股定理的逆定理得出∠B＝90°，根据三角形的面积公式求出△BPQ的面积；（2）根据题意列出方程，解方程得到答案；（3）根据线段垂直平分线的性质得到BP＝BQ，进而列出方程，解方程即可得出答案．(1)解：设AB、BC、CA分别为3x、4x、5x，由题意得：3x＋4x＋5x＝36，解得：x＝3，则AB＝3x＝9，BC＝4x＝12，AC＝5x＝15，∵AB2＋BC2＝92＋122＝225，AC2＝152＝225，∴AB2＋BC2＝AC2，∴∠B＝90°，当t＝3时，AP＝3cm，BQ＝6cm，则BP＝9−3＝6cm，∴S△BPQ＝12×6×6＝18（cm2(2)解：由题意得：AP＝t，BQ＝2t，则BP＝9−t，当BP＝12BQ时，9−t＝12×2解得：t＝4.5；(3)解：当点B在PQ的垂直平分线上时，BP＝BQ，即9−t＝2t，解得：t＝3．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．25．已知▱ABCD中，，AC=BC．(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作AF⊥BE交直线CD于点F，垂足为点M，连接①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．②当点E在边DC的延长线上时，若∠BEC>45∘，判断线