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文档简介

线性方程组解的结构线性方程组解的结构首先讨论齐次线性方程组的解的结构.设m×n齐次线性方程组为则其向量形式为x1α1+x2α2+…+xnαn=0（4-6）首先，容易证明齐次线性方程组的解具有下列性质：性质4-1若x=x1，x=x2为齐次线性方程组（4-5）的解，则x=x1+x2也是齐次线性方程组（3-7）的解．性质4-2若x=x1是齐次线性方程组（4-5）的解，k是实数，则x=kx1也是齐次线性方程组（4-5）的解．定义

齐次线性方程组的一组解ξ1,ξ2,…,ξt，如果满足：（1）齐次线性方程组的任意一个解都能表示成ξ1,ξ2,…,ξt的线性组合.（2）ξ1,ξ2,…,ξt线性无关．那么称它为齐次线性方程组的一个基础解系．定理4-2若齐次线性方程组有非零解，则它有基础解系，且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩（n-r也就是自由未知量的个数）．可知，ξ1,ξ2,…,ξn－r是齐次线性方程组的基础解系，则齐次线性方程组的解可表示为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r

其中，k1,k2,…,kn－r为任意实数，称此式为齐次线性方程组的通解．性质4-3设x=η1与x=η2都是非齐次线性方程组（4-7）的解，则x=η2－η1为对应的齐次线性方程组Ax=0

的解．性质4-4设x=η是非齐次线性方程组的解，x=ε是对应的齐次线性方程组的解，则x=ε+η仍是该非齐次线性方程组的解．由性质4可知，若求得非齐次线性方程组的一个特解η*，则非齐次线性方程组的任一解都可表示为x=ε+η*

的形式，其中ε是齐次线性方程组的解．若齐次线性方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r，则非齐次线性方程组的任一解都可以表示为x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r+η*

的形式，其中k1,k2,…,kn－r为任意实数，称上式为非齐次线性方程组的通解，ξ1,ξ2,…,ξn－r

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