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交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其审敛法所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错的，从而它可以写成下面的形式：或

例如是一个交错级数.下面给出一个关于交错级数的审敛法.一、交错级数及其审敛法

（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件则级数收敛,且其和,其余项rn的绝对值

证因为

，由定理1一、交错级数及其审敛法知数列s2n是单调增加的；由知数列s2n

是有界的，故因为故一、交错级数及其审敛法所以级数收敛于和s，且余项满足收敛的两个条件，故一、交错级数及其审敛法判别级数

的敛散性

解因为故函数

单调递减，所以

又则由莱布尼茨定理知原级数收敛.【例1】一、交错级数及其审敛法思考莱布尼茨定理中的两个条件是级数收敛的充分必要条件吗？二、绝对收敛与条件收敛设有级数且其中un（n=1,2,3,…）为任意实数，这个级数称为任意项级数.二、绝对收敛与条件收敛定义对任意项级数

，若

收敛,则称级数为绝对收敛；若

发散,而

收敛，则称级数

为条件收敛例如，级数

绝对收敛，而级数是条件收敛级数.级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：二、绝对收敛与条件收敛若级数

绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.证令显然

，且

，所以

收敛又由定理2二、绝对收敛与条件收敛故

收敛由这个定理可以知道，对于一般的级数

，如果用正项级数的审敛法判定级数

收敛，则此级数收敛.这就使得很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题.二、绝对收敛与条件收敛判别级数

的敛散性由于

，而

收敛，所以

收敛，故该级数绝对收敛，则由定理2知级数

收敛.【例2】二、绝对收敛与条件收敛判别级数

是否收敛.如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

解由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.【例3】二、绝对收敛与条件收敛判别级数是否收敛.如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解由于

【例4】二、绝对收敛与条件收敛故由比较审敛法知级数发散.又显然二、绝对收敛与条件收敛递减.

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