函数的特性课件

函数的特性一、函数的单调性定义2设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果对于任意x1，x2∈I，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的，如图1-14(

a

)所示.

图1-14一、函数的单调性函数f(x)=x2在［0，＋∞)上为单调增加函数，函数f(x)=x2在(-∞，0］上为单调减少函数，但是，函数f(x)=x2在(-∞，＋∞)内却不是单调函数,如图1-15所示.【例10】图1-15一、函数的单调性函数f(x)=x3在区间(-∞，＋∞)内是单调增加的,如图1-16所示.【例11】图1-16一、函数的单调性【例12】二、函数的有界性定义3设函数f(x)的定义域为D.

(1)如果存在一个常数m，使得对于任意x∈D，恒有f(x)≥m，则称函数f(x)在D上有下界且m就是f(x)的一个下界；(2)如果存在一个常数M，使得对于任意x∈D，恒有f(x)≤M，则称函数f(x)在D上有上界且M就是f(x)的一个上界；(3)如果存在两个常数m与M，使得对于任意x∈D，恒有m≤f(x)≤M，则称函数f(x)在D上有界.

二、函数的有界性这个定义表明，函数f(x)在D上有界的充分必要条件是函数f(x)在D上既有上界又有下界.

如果记max{m，M}=K，那么可得到一个等价定义：如果存在一个常数K>0，使得对于任意x∈D，恒有f(x)≤K，则称函数f(x)在D上有界.如果这样的K不存在，就称函数f(x)在D上无界.换句话说，如果对于任何正数K，总存在一个x1∈D，使得f(x1)>K，则函数f(x)在D上无界.

例13y=

cos

x在区间(-∞，＋∞)上就是有界函数.因为对于任意x∈(-∞，＋∞)，恒有cosx≤1.

三、函数的奇偶性定义4设函数f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)

成立，则称f(x)为偶函数.如果对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)

成立，则称f(x)为奇函数.

偶函数的图形关于y轴是对称的，如图1-17所示；图1-17三、函数的奇偶性奇函数的图形关于原点是对称的，如图1-18所示.图1-18三、函数的奇偶性【例15】函数f(x)=cosx，g(x)=x2在(-∞，＋∞)都是偶函数，因为cos(-x)=cosx，(-x)2=x2.三、函数的奇偶性【例16】函数f(x)=sinx，g(x)=x3在(-∞，＋∞)都是奇函数，因为sin(-x)=-sinx，(-x)3=-x3.不能说函数f(x)不是奇函数就一定是偶函数,或者说不是偶函数就一定是奇函数.注三、函数的奇偶性【例17】函数f(x)=x＋1在区间(-∞，＋∞)上既不是奇函数，也不是偶函数.因为f(-1)=0，f(1)=2，既无f(-1)=-f(1)，也无f(-1)=f(1).【例18】函数f(x)=sinx＋cosx，g(x)=x2＋x3在区间(-∞，＋∞)上既不是奇函数也不是偶函数.因为f(-x)=sin(-x)＋cos(-x)=-sinx＋cosx≠-f(x)=-sinx-cosx，g(-x)=(-x)2＋(-x)3=x2-x3≠-g(x)=-x2-x3.三、函数的奇偶性判断函数的奇偶性，除用定义判断外，还可以利用奇函数和偶函数之间的运算性质来判别.例如，两个奇函数的代数和仍为奇函数；两个偶函数的代数和仍是偶函数，奇函数与偶函数的乘积是奇函数，两个奇函数的乘积或两个偶函数的乘积是偶函数等.注四、函数的周期性定义5设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T，使得对于任何x∈D，都有f(x±T)=f(x)且(x±T)∈D，则称函数f(x)为周期函数，其中T称为函数f(x)的周期.通常情况下，我们说的周期是指最小正周期，但并非每个周期函数都存在最小正周期.

四、函数的周期性函数sinx，cosx是周期函数，最小正周期都是2π；函数tanx，cotx是周期函数，最小正周期是π；函数y=Asin(ωx＋φ0

)与y=Acos(ωx＋φ0

)是周期函数，最小正周期是2πω.但是，函数f(x)=C(C为常数)，存在T>0，使得f(x±T)=f(x)，但这样的周期T无最小正值.【例21】四、函数的周期性通常情况下，判断一个函数是否是周期函数的步骤如下：(1)将函数分解成已知其周期的函数(比如三角函数等)的代数和，再求这些周期函数的周期的最小公倍数.

例如，函数y=2sin2x，因为2sin2x=1-cos2x，且cos2x是以π为周期的函数，所以y=2sin2x是以π为周期的函数.

(2)列出方程f(x＋T)-f(x)=0，以T为未知量解此方程.

若解出的T是与x无关的正数，则f(x)是周期函数；反之，如果利用一些已知的运算法则推出矛盾的结果，就可断定函数是非周期函数.

四、函数的周期性判断函数y=sinx2是否为周期函数.解假定它是周期函数，且存在正周期T，则

sin(x＋T)2=sinx2，

令x=0，得

sinT2=0，解方程，得T2=kπ，

即T=kπ.【例22】四、函数的周期性其中k∈N.再令x=2T，得

sin［(2＋1)