2021年数学八年级上册难点突破32份 北师大版

专题01勾股定理巧解几何图形折叠问题

【专题说明】

折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠向题就

是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步

骤：

(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角.；

(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形为三

边长用数或含有x的代数式表示出来；

(3)利用勾股定理列方程求出招

(4)进行相关计算解决问题.

一、巧用全等法求折叠中线段的长

1、如图①是一直角三角形纸片，N4=30°,BC=4cm,将其折叠，使点，落在斜边上.的

点。处，折痕为乐,如图②，再将图②沿丝折叠，使点力落在ZT的延长线上的点4

处，如图③，则折痕龙的长为()

A.|cmB.2yf3cmC.2^2cmD.3cm

J

【答案】A

二、巧用对称法求折叠中图形的面积

1、如图，将长方形力版沿直线切折叠，使点。落在点6"处，BC交49于左加=8,AI3

=4,求△班力的面积.

c

1^

N

解：由题意易知力〃〃a；AZ2=Z3.

〃与48切关于直线被对称，AZ1=Z2.

AZ1=Z3.：.EB=ED.

设EB=x,贝lj£Z=x,AE=AD-ED=8—x.

在Rt△儿跖中，Ag+AC=BB,

A42+(8-X)2=V..,.X=5.

八11

:・DE=3.：.Sde*E・J^=-X5X4=10.

解题策略：解决此题的关键是证得浙的，然后在Rt△力庞中，由掂=—,利用勾

股定理列出方程即可求解..

三、巧用方程思想求折叠中线段的长

1、如图，在边长为6的正方形力犯9中，£是边切的中点，将△力应沿力£对折连△力阳

延长〃交9于点G,连接施

(1)求证：△46%△川若；

⑵求阳的长.

(1)证明：在正方形力幽9中，AD=AB,N〃=NQ90°.

•・,将△力沿力〃对折至△力/在，

：.AD=AF,ND=NAFE=g0：

：.AB=AF,ZB=ZAFG=90°.

又•：AG=AG,

・・・Rt△力优竺Rt△力(次).

(2)解：*：XABG^XAFG,：.BG=FG.

设BG=FG=x,则GC=6—x,.

・"为⑺的中点，

:・CE=DE=EF=3,・••阳=3+x.

・••在Rl△酸7中，3〉+(6—X)2=(3+X)2,解得X=2.・・.8G=2.

四、巧用折叠探究线段之间的数量关系

1、如图，将长方形力灰力沿直线产折叠，使点C与点4重合，折痕交力。于点£,交回于

点E连接废

(1)求证：AE=AF=CE=CF\

(2)设ED=b,DC=c,请写出一个a,b,。三者之间.的数量关系式.

(1)证明：由题意知，加』阴力£=四，/AFE=4CFE,又四边形力腼是长方形，故49〃笈。,

:./AEF=4CFE.:.NAFE=ZAEF.

：.AE=AF=EC=CF.

(2)解：由题意知，AE=EC=a,EJ)=b,I)C=c,由N〃=90°知，EI)+DC=C百,即b?

+?=Z

专题02勾股定理求最短路径长度问题

【专题说明】

求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条

件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将

立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点.间的距离，然后借助直角三角

形利川勾股定理求出最短路程（距离）.

一、通过计算比较解最短问题

1、如图，学校有一块长方形花阚，有极少数人从力走到8,为了避免拐角C走“捷径”，

在花圃内走出了一条“路”，他一们仅仅少走了________步路（假设2步为1勿），却踩伤了花

草.

（第1题）

【答案】4［来

2、小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石力坐客车

到武昌客运站〃，现在可以在黄石力坐“武黄城际列车”到武汉青山站G再从青山站C坐

市内公共汽车到武昌.客运站B.设福=8。km,8。=20km,44C=120°.请你帮助小明解

决以下问题：

（1）求力，C之间的距离.（参考数据：©比4.6）

（2）若客车的平均速度是60力，市内的公共汽车的平均速度为40h//力，“武黄城际

列车”的平均速度为180km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车

方案？请说明理由.（不计候车时间）

解：⑴如图，过点C作"的垂线，交团的延■长线于点“

•・,//!磨=120°,"BCES

在Rt△物'中，•:BC=20km,

:・BE=10km.

由勾股定理可得支=10日km.

在Rl△力龙中，♦:AC=AE+CE=(AB+BR2+Cg=8100+300=8400,

：.AC=2(y\[2i^20X4.6=92

oni

⑵选择乘“武黄城际列车”.理由如下：乘客车所需时间为法=右（力），乘“武黄城际

OU6

列车”所需时间约为恶+黑=1右（力）.

iousuyj

，选择乘“武黄城际列车”.

二、用平移法求平面中最短问题

1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm,30cm,10cm,4和8

是这个台阶的两个相对的端点，4点上有一只壁虎，它想到6点去吃可口的食物，请你想一

想，这只壁虎从4点出发，沿着台阶面爬到8点，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

【答案】C

点拨：将台阶面展开，连接力8,如图，线段4?即为壁虎所爬的最短路线.因为80=30X3

+10X3=120(cm),47=50cm,在Rt△力4。中，根据勾股定理，得而="+配=16900,

所以18=130cm.所以壁虎至少爬行130

2、如图，已知NQNZ^NZ?=N£=90°,且46=勿=3,BC=*DE=EF=2,则"的长

是.

A

【答案】10

三、用对称法求平面中最短问题

1、如图，正方形力及力的边长为8,点"在"'上且〃Q2,A,是芯上的一动点，求〃V+J理

的最小值.

AD

NM

BC

解：如图所示,

•・•正方形是轴对称图形，点5与点〃是关于直线力。为对称轴的对称点,

，连接8%BD,则直线片。即为切的垂直平分线，・•・/-MZ

:.D汁MN=BN+MN.

连接43交力C于点P,

•・•点川为力C上的动点，

:,由三角形两边之和大于第三边，

知当点N运动到点尸时，

DN+MN=BP+PM=B\Lm+而V的最小值为阴的长度.

•・•四边形力腼为正方形，

:.BC=CD=8,CM=8-2=6,

Z^CM=90°,

/卅=邓^+Ck『=4外+6?=10.

即以吐J邠的最小值为10.

2、高速公路的同一侧有4"两城镇，如图，它们到高速公路所在直线极V的距离分别为AA1

=2km,BB'=4km,A1B'=8m.要在高速公路上1,B1之间建一个出口只使4B

两城镇到产的距离之和最小.求这个最短距离.

B

「I

MA，B，N（第6题）

解；如图，作点夕关于直线JW的对称点C,连接力6'交脉于点R则点夕即为所建的出口.此

时44两城镇到出口〃的距离之和最小,最短距离为力。的长.作用力_做'于点〃，在RI△4%'

中，AD=Af£=8km,DC=6km.

彳至=10km,

・•・这个最短距离为10km.

f

MAP'："N

、I

C

四、用展开法求立体图形中最短问题

类型一、圆柱中的最短问题

2

如图，已知圆柱体底面圆的半径为：，高为2,AB,⑺分别是两底面的直径..若一只小虫

从月点出发，沿圆柱侧面爬行到，点，则小虫爬行的最短路线的长度是(结果保留

根号).

【答案】2*

点拨：将圆柱体的侧面沿力〃剪开并铺平得长方形力/!'"D,连接4G如图.线段4。就是

21

小虫爬行的最短路线.根据题意得力Q：X2"X2=2.在R.t△械冲，由勾股定理，得初

=/1^+^=22+22=8,：.AC=y[s=2y[2.

✓

✓

Z

✓

Z

ABA'

类型二、圆锥中的最短问题

已知：如图，观察图形回答下面的问题：

(1)此图形的名称为.

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿力S剪开，铺在桌面上，则它的侧面展

开图是一个.

(3)如果点C是弘的中点，在力处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又

不能直接沿力。爬到。处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬

行的最短路线吗？

(4)弘的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程.

解：(1)圆锥(2)扇形

(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，为蜗牛爬行的最短路线.

(4)在RI△力SC中，由勾股定理，得4d=102+52=125,

：.AC=y[125=5y[5.

故蜗牛爬行的最短潞程为八a

s

c

类型三、正方体中的最短问题

如图“一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角力处沿

着木柜表面爬到柜角G处.

(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当正方体木柜的楼长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.

解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的力C।和NG.

(2)如图，AC尸力如=寸(4+4)?+4?=4乖.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4m.

类型四、长方体中的最短问题

如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12朋，8cm,30c/n,在47的中点。处有一滴蜜糖,

一只小虫从后处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

解：分为三种情况：

(1)如图①，连接比;

在Rt△戚中，所=12+8=20(cm),a'=)X3O=15(cm).

由勾股定理，得夕0=720"+15?=25(cm).

⑵如图②，连接星

根据勾股定理同理可求6=啊5cm>25cm.

⑶如图③，连接

根据勾股定理同理可求但、12?+(30+8+15)」=、2953(cm)>25cm.

综上可知，小虫爬行的最短路程是25cm.

专题03二次根式性质解决相关问题

【专题说明】

对于二次根式重,有两个“非负”：第一个是a20,第二个是这两个“非负”在

解二次根式的有关题目中经常用到.二次根式的被开方数和值均为非负数，是常见的隐含条

件.

一、利用被开方数a20及二次根式的性质解决有关问题

1.若式子产I在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

【答案】x2一1

2.若，荻7—肝友=(x—1y)2,则3x—1y的值为.

、14

【答案】2点拨：由题意知3x—4=0,x—宠=0,所以x=g,y=4,代入求值即可.

3.【中考•黔南州】实数a在数轴上对应点的位置如图，化简M(a—1)?+a=.

--2a-10—(第3题)

【答案】1

4.若尸尸岁三T,求(x+y),的直,

解：Vx—4^0,4—xNO,

；・工=4,Ay=-2.

A(x+y)z=(4—2)~2=1.

5.已知x,y为实数，且十一5十、5—x=(x+y)2,求x—y的值.

x—520,x25,

解：.由题意，得＜

5—x20,xW5.

・・・x=5.・・・(x+y)2=0,即(5+y)2=Q,/.y=-5./.x-y=5-(-5)=10..

二、利用求代数式的值或平方根

6.^\/a+b+54-12a—b+11=0,则(b—a)20nl=()

A.-1B.1C.52'"D.-5:018

【答案】B

7.若，口与，木互为相反数，求6x+y的平方根.

解:由题意，得旷5+，用=0,

Ax—3=0,y+2=0,解得〉:=3,y=—2,则6x+j=16,，6x+y的平方根为±4.

三、利用/20求最值

8.当x取何值时，'9x+l+3的值最小,最小值是多少？

解：•・,啊有20,上当9x+l=0,即x=-g时，式子/9x+1+3.的值最小,最小值

为3.

方法点拨：涉及二次根式的最小（大）值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方

法.一般情况下利用二次根式的丰负性求解.

四、利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题

9.设等式*\/a(x—a)4-^a(y—a)=-\/x—a—yja—y=0成立，且x,y,a互不相等，求

3x±+xy-y'

的值.

x2—xy+y2

解：因为Ra(x—a)+#a(y—a)=0,

所以a(x—a)=0且a(y—a)=0.

又因为x,y,a互不相等，

所以x-&•/■(),y—avtO,

所以a=0.

代入有/一，三=0，所以小=，三•所以x=-yWO.

由3x2+xy—y23x2—x2—x2x21

所以x2—xy+y2=x2+x2+x2=薮=于

五、利用被开方数的非负性解与三角形有关的问题.___________________

10.已知实数x,y,a满足：＜x+y-8+48-x-y=q3x-y-a+〈x-2y+a+3,试问长

度分别为x,y,a的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的周长；如果

不能，请说明理由.

x+y-8>0,

解.能.根据二次根式的被开方数的非负性，得解得x+y=8,

8—x—y20,

'x+y=8,

・・••\/3x-y—a+Nx-2y+a+3=0.根据非负数的性质,得，3x-y-a=0,解得

,x—2y+a+3=0,

x=3,

,y=5,

.a=4.

，可以组成三角形，■它的周长为3+5+4=12.

专题04二次根式比较大小的八种方法

【专题说明】

含二次根式的数（或式）的大小比较，是教与学的一个难点，如能根据二次根式的特征,

灵活地、有针对性地采用不同的方法，将会得到一简捷的解法.较常见的比较方法有：平方

法、作商法、分子有理化法、分国有理化法、作差法,、倒数法、特殊值法等.

・、平方法

1.比较+JTT与江+小的大小.

解：因为（、1+/）2=17+2幅“（/+/）2=17+2正，

17.+2诉>17+2迎，所以（祈+布）2>（/+小了.又因为乖+41>0,JR+

木》0,所以#+迎>/+，1

二、作商法

2・比帚与蚌的大小•

走±2.必+2（g+1）（狙+3）a+4必+3Va+l

解:因“2飞百=3/一=不附<1'易知、「+2〉°

■>。，所以铛〈钙.

5+3'a+24a+3

方法总结：作商比较两个二次根式的大小的.方法：当两个二次根式（均为正数）均由分

母和分子两部分组成时，常通过作商.比较它们的大小，先计算两个二次根式的商，然后比

较商与1的大小关系.已知a>0,b>0,若2>1，则a>«b；若：=匕则心=也琮则

a<b.

三、分子有理化法

3.比较而一亦与四一1记的大小•

解：

（标-/）（逝+yn）

y[T5+y/14

一标+

/一/

_（迎一行）（迎+仃）

V14+V^

1

一标+行，

•••梅+虫＞标+小，A/15+V14＞0,虫+限＞0,

.-1-＜—!—

・•梅+枷/+仃，

即匹-yfl4＜y/14

四、分母有理化法

4.比小与点「的大小.

解”小=2+/，启祥/+蜴

2+/＞仰蜴二点＞/^

五、作差法

5.比较弯二^与|^大小.

解：因为用一%亚手，9一3〉。，所以吁＞。，所以与与

JJJMJJ

六、倒数法

6.已知x=[n+3—[n+1,y=^n+2—yfn,.试比较x,y的大小.

1_______1_______—n+3+{n+l

解：x一折记一而不―2

1______1______.n+2+/

1斤f_2>0>

Vyjn+34-^n+l>^n+2+->0,.*.A>->0,x.<y.

xy

七、特殊值法

7.用连接x,%x2,5（0〈x<l）..

解：取特殊值X=J,贝A=4,X2=f^,^/X=1,AX2<X<J\/X<-.

X1UNX

八、定义法

8.比较小一a与*a—6的大小.

解：V5-aNO,，aW5.；・a—6Vo.

3/——：

，a—6Vo.

又yj5—a20,.5-a>5/a—6.

专题05二次根式化简求值的九种技巧

【专题说明】

在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意

结果要化成最简形式.在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题

目的特点，选取适当的解题方法.

一、估算法

1.若将三个数一小，巾，何表示在数轴上，则淇中被如图所示的墨汁覆盖的数是

~2—j—0—~4—L（第1题）

【答案】77点拨：因为一小<0,2</<3,3Vg<4,所以被墨汁覆盖的数为木.

二、公式法

2.计算：(5+^6)X(5^2-2^31.

解：原式=(5+,)X［5去一(的2乂曲

=(5+#)乂［隹乂(5-而］

=V2X(5+^6)X(5-^6)

=^2X(25-6)=19^/2.

三、拆项法

3.计算：（灌款得^）.［提示:#+4巾+3*=（乖+木）+3（小+木）］

M丐.（―+镉）+3（#+事）

解：原式=（舟如（舟仍

乖+*______+

(m+镜)(#+巾)

3(#+也)

(m+@(m+如

=1+3

也+小乖十小

=4-S+J-4

=/一亚

四、换元法

,_1./-.,4n+2+A/——4n+2-』一一

4.已A知n=72+1,求FT—~；+।益।V7■^的值•

vn+2—\/n-4n+24-\/n2-4

解：设x—n十2十.产一白,

y=n+2—、r?—4,

则x+y=2n+4,xy=4n+8.

r—x,yx2+y2(x+y)2xy(x+y).(2n+4)"-

原式=—+—=-------------------------------2=\~।-2=n.

yxxy4n+8o

当n=4+l时，原式=/-1.

五、整体代入法

VV

5.已知'=『‘丫=呵’求亍+彳一4的值.

解：由己知得：x=3+2?^,y=3—2m，所以x+y=6,xy=b

所以原式=止士*=4垃^=30.

xyxy

六、因式分解法

由十木

‘.计算：2+/+标+标

也+福

解:

2+y/6-by/i0+y/15~

也十小

=1

A/2（木+木）+乖（蛆+小）

由+#_______=]=m_*_______=小一书

（9+#）（隹+小）一小+小~（邓+蛆）（十一班）-5-2

5一/

3,

七、配方法

7.若a,b为实数，且b=\/3—5a+N5a-3+15,♦试求\^,+：+2-2的值.,

(3—5a20,3

.解.：由二次根式的定义，得彳A3—5a=0,.*.a=-

5a—320,5

/.b=15,/.a+b>0.,a—b<0.

(喏-啧雨=刖

当a=2b=15时，

□

原H—式=2量4/[135=§.2

方法点拨：对于形婷+/2或/卜的代.数式一般要变为.弋捍或弋挥的

形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意a+b和a—b以及ab的符号.

八、辅元法

A/x+y

8.已矢口x：y：z=l:2:3(x>0,y>,0,z>0)>求的值.

、x+z+、x+2y

解：设x=k(k>0),则y=2k,z=3k,

如X/3

*,•原式==A/15—2^/3,

何+啊-2+南

九、先判后算法

9.己知a+b=.-6,ab=5,

解：Va+b=—6.,ab=5,

Aa<0,b<0.

(a+b)2-2ab36-10

•••峨+a耒=-2-酒=3*(融)

26_26^5

~V5="5'

点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整

体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解.

专题06平面直角坐标系中图形面积的求法

一、有一边.在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形直接求面积

1、如图，平面直角坐标系中勿的面积是（）

A.2B.4C.8D.6

【答案】B

2、如图，在平面直角坐标系x0中，已知/（一1,5）,6（—1,0）,<7（-4,3）,则△48C

的面积为.

【答案】7.5

二、利用补形法或分割法求图形的面积

3、如图，四边形力跑的面积为（）

A.16.5B.21C.17D.18

【答案】B

解析：由图可知，四边形力腼的面积为1个长方形加3个三角形的面积，即S四边形皿=3X4

+|xiX3+|xiX3+^X3X4=21.

乙乙乙

4、如图所示，在平面直角坐标系中，点力(4,0),8(3.,4),(7(0,2),则四边形/I8Q7的面

解析：过点8作皮?_Lx轴于。，则S四边形丽=S悌彩ow+S：角彩的=^X(4+2)X3+：XJX4=9

4乙

+2=11.

5、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,三角形力a'的三个顶点恰好

是正方形网格的格点.

(1)写出三角形力回各顶点的坐标；

(2)求出此三角形的面积.

解：(1)4(3,3),解一2,-2),H4,-3)；

(2)如图，分别过点力，B,C作坐标蒯的平行线，交点分别为〃E,月S现形3=S正方形

防一S加形座LS油形3一S用形"r=6X6—；X6X1一：X5X5—Jx6Xl=朗.

乙乙乙乙

三、与图形面积相关的点的存在性问题

6、如图，平面直角坐标系中，力及力为长方形，其中点4C的坐标分别为(-4,2),(1,

-4),且力加彳轴交y轴于必点，力勿y轴交/轴于N点.

(1)求R〃两点的坐标和长方形4％〃的面积；

(2)一动点尸从力点出发，以T个单位/秒的速度沿4?向夕点运动，是否存在某一时刻t.

使郎的面积等于长方形力H力而枳的J?若存在，求出£的值，并求此时点尸的坐标；若

O

不存在，请说明理由.

解：(1)・・•点4。的坐标分别为(一4,2),(1,-4),而四边形秘匕9为长方形，AB//y

轴，力〃〃力轴，，点6的坐标为(-4,-4),点〃的坐标为(1,2),・・・S-(1+4)X(2

+4)=30；

/、y*11111

(2)存在.・・Fg=4,AP=-t,・・・£s”=5X4X5，=£.•・・5X”=wS长方形de,/.^=30X-=10,

：.AP=^XW=5.VAV=2,・・・P点坐标为(一4,一3).

7、如图，四边形而4c各个顶点的坐标分别是。(0,0),4(2,0),例4,2),。2,3),过

点C与才轴平行的直线EF与过点、B与y轴平行的直线面交于点E.

(1)求四边形制比的面积；

(2)在线段而上是否存在点只使四边形而尸。的面积为7?若不存在，说明理由；若

存在，求点夕的坐标.

解：(1)由题意，得OF=EH=3,OJi=EF=4、CF=OA=2,BH=2,则龙=川仁2,BE=

1.S四边形S长方彩“呼'—S-确心ABN—S-.他形CBE-SX3—~XX2—~X2X1,一~X3X2

=6：

⑵不存在.理由如下：若放P在EH上,设,PH=X,则%=3一居S四或形rm=S长方形“什

—S：角形加LS：角形%—5:角形如=4X3—)x2Xx-)x2X(3—A)—*3X2=6.此时四边形

勿尸。的面积为一定值6,不为7,故不存在.

专题07平面直角坐标系中的新定义与规律

一、新定义

1、在平面直角坐标系X勿中，对于点尸(a,b)和点0(a,B),给出下列定义：若Z/=

\b(心1),

,、则称点0为点〃的限变点.例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,3),点(一

—bz(aVl),

2,5)的限变点的坐标是(一2,

-5).如果一个点的限变点的坐标是(十，.-1),那么这个点的坐标是()

A.(—1,小)B.(—^3,—1)

C.(木,-1)D.(y/3,1)

【答案】C

2、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a,。)，若规定以下三种变换：①△(&6)=(-

&6)；②O(a,b)=(—a,—6)；③0(a,6)=(a,—8),按照以上变换，例如△(0(1,

2))=(1,-2),则0(0(3,4))=.

【答案】(3,4)解析：0(0(3,4))=0(3,4)=(3,4).

3、平面直角坐标系中有两点时(a,b),N(c,d),规定(46)〶(c,6=(a+c,力+中，则

称点0(a+c,方+而为点MN的“和点”.若以坐标原点0与任意两点及它们的“和点”

为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点42,5),8(—1,,3),

若以0,A,B,。四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是.

【答案】(1,8)或(-3,—2)或(3,2)解析：•・,以0,A,B,C四点为顶点的四边形是“和

点四边形"，①当C为/1,8的“和点”时，。点的坐标为(2—1,5+3),即C(l,8)：②当

—l=2+xi,

B为儿。的“和点”时，设。点的坐标为(汨，y),则.,解得。(一3,-2)；③

3=5r+/1,

2=-1+粉

当力为8,。的“和点”时，设C点的坐标为(如理),则L一解得。(3,2)；・••点

5=3+%

。的坐标为(1,8)或(一3,一的或(3,2).

二、规律探究

4、.一个质点尸在第一象限及坐标轴上运动“在第1秒钟，从原点运动到(0,1),然后按箭

头的方向运动[即：(0,0)-(0,l)f(1,1)71,0)—…],每秒移动一个单位，则点尸

运动到(7,7)位置时共运动了秒.

【答案】56解析：质点尸每秒移动一个单位，(0,0)-(0,1)-(1,0)用的秒数

分别是1秒，2秒，3秒，至4(1,1)用2秒，至IJ(2,2)用6秒，至4(3,3)用12秒，至1」(4,

4)用20秒，依此类推，点尸运动到：7,7)位置时共运动了2+4+6+8+10+12+14=56(秒).

5、如图，正方形444自，444晶，力…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺

时针方向顺序，依次记为4,4，4,4；4,4,4,4；4,4。，4”友；…)的中心均在

坐标原点。上，各边均与X轴或y轴平行，若它们的边长依次是2,4,6,…，则顶点也。

的坐标为.

X

【答案】(5,-5)解析：♦・•了=5,・•・晶在第四象限.・・・4所在方形的边长为2,

的坐标为(1,-1),同理可得4的坐标为(2,-2),人的坐标为(3,-3),・•・加的坐标为

(5,—5).

6、如图，在平面直角坐标系中，洛△力阳绕点川II页时针旋转到△力区G的位置，点8,。分别

落在点台，。处，点台在x轴上，再将△/狙G绕点笈顺时针旋转到△力毋C的位置，点G

在x轴上，将△45C绕点C顺时针旋转到氏C的位置，点4在x轴上，依次进行下去….

若点彳|，0),点8(0,2),则点笈的坐标为；点治g的坐标为.

【答案】(6,2)(6048,2)解析：•・•£,0),8(0,2),・・・RtZ\/l"中，AB=/：.OG

35

=勿+力区+区0=5+5+2=6,・••点员的横坐标为6,且员G=2,即点名的坐标是(6,2),

・••点4的横坐标为2X6=12,・・・点%6的横坐标为2016+2X6=6048,点星旗的纵坐标为

2,即点用H6的坐标是(6048,2).

7、如图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成△力山，第二次将△以山变换成

△OkB。,第三次将△觊必变换成△如3左，已知力(1,3),4(2,3),,%(4,3),4(8,3),

8(2,0),4(4,0),8(8,0),3(16,0).

(2)写出△OAB的各个顶点的坐标；

(3)按此图形变化规律，你能写出△如忘的面积与△如〃的面积的大小关系吗？

解：(1)S4(Mt=s()B•X2X3=3；

乙乙

(2)根据图示知。的坐标是(0,0)；已知力(1,3),4.(2,3),4(4,3),4(8,3),对

于4,4,…，4的坐标，找规律比较发现4的横坐标为21而纵坐标都是3；同理8,艮,…,

员也一样找规律，规律为反的横坐标为2小，纵坐标为0.由以上规律可知：4的坐标是(16,

3),4的坐标是(32,0).综上所述,0(0,0),4(16,3),4(32,0)；

(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是3,・•・照

=2小，S△力点=5乂2"+*3・=3乂2"=2应M即SZ\0t5=2"心刖.

解：(1)8，%=5乂2X3.=3；

乙乙

(2)根据图示知。的坐标是(0,0)；已知力(1,3),4(2,3),J2(4,3),4(8,3),对

于4,4,…，4的坐标，找规律比较发现4的横坐标为2”,而纵坐标都是3；同理区，氏，

凡也一样找规律，规律为凡的横坐标为2Hl纵坐标为。.由以上规律可知：4的坐标是(16,

3),S的坐标是(32,0).综上所述,0(0,0),4(16,3),4(32,0)；

(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是3,・・・0七

=2小，S△/忘=/x2小.X3=3X2"=2"右网即SZk6L4志=2"必加

专题08一次函数中的有关图形面积问题

【模型展示】

一、如何求下列阴影部分三角形的面积

【例题精讲】

1、如阍，直线)=丘+6与x轴、y轴分别相交于点E,尸，点E的坐标为(—8,0),点A的

坐标为(-6,0).点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点。

(1)求％的值

(2)当点P运动过程中，试写出AO/%的面积S与1的函数关系式，并写出自变量x的取

值范围；

(3)求当「运动到什么位置(求P的坐标)时，四边形4。中的面积为二:，并说明理

3

解：(1),直线y二4产6与*轴相交于点£(-8,0)0=—Sk+6解得k=一

4

3

(2)对于直线y=巳*+6,•・•点，(1y)是第二象限内的直线上的一个动点，

4

・••可设尸仆」x+6)(-8<x<0),则〃点到x轴得距离为〃=3X+6,

14)4

又力(-6,0),・••的=|-6卜6

1|<3A9八

**•^AOPA=—AOh=-^6x—x+6jS=—x+18(-8VxV0)

4

3

(3)对于直线旷=^工+6,由x=O,得y=6A/7(0,6),贝IJ①二6

•••「卜,(1+6、(-8<^<0)到y轴的距i

得为国=-x

,SANP=g/°•凶=gx6*(一力二一3/

,,Syq边形八。尸〃-S&OPA+S^OFP

・苧+18+(一31)=胃

1337

解得x=—U,符合题意，此时巳％+6=」

248

2、如图，直线y=—jlr+4jj与上轴相交于点A,与直线>二后相交于点尸.

(1)求点尸的坐标.

(2)请判断AOP4的形状并说明理由.

(3)动点E从原点。出发，以每秒1个单位的速度沿着OfPT4的路线向点A匀速

运动(E不与点O,A重合)，过点E分别作M_Lx轴于尸,轴于5,设

运动f秒时，矩形E8。尸与A。/%重叠部分的面积为S,求：S与2之间的函数关

系式.

(2)△尸是等边三角形

(3)当0V1W4时，如图，在RiAEOF中,

■:NEOFWD°,OE=t,

・m-3,

••£/_--190F=-t,

22

：.S=-OFEF=—t2

28

当4V1V8时，如图，设防与沙相交于点C,

]3

：.AF=4-止一(8—f)

22

：.OF=OA-AF=-t

2

：.S=-(CE+OF)-EF=--t2+4y/3t-Sj3

28

【针对训练】

1、如图，一次函数y=A户。的图象与y轴交于点8(0,-6),与彳轴交于点C,且与正

比例函数的图象交于点力(1,-4).

(1)分别求出这两个函数的表达式及△力3的面积；

(2)将正比例函致尸上x的图象沿y轴向下平移3个单位长度后得到直线1,请写出直

线/对应的函数表达式.

解：(1)•・•一次函数经过点8(0,-6),A(1,-4),

b=-6

得到《

,

k1+b=-4

Jk=2

，，lb=-6,

•32x・6,

，C(3,0),

•.•正比例函数经过力（1,-4）,

：.k2=-4,

:.y=~4x；

，△力帆的面积=^X3X4=6；

（2）将y=-4x沿着y轴向下平移3个单位长度后得到y=-Ax-3.

2、如图，在平面直角坐标系中，把点力（-2,3）向右平移4个单位长度，再向下移2个

单位长度得到点8.

（1）求直线的解析式；

（2）直线四与*轴交于点C,将直线如沿阳方向从点4开始平移到点4停止，直线

如在平移过程中交力月于点发交》轴干点凡记△硒7的面积为£求S的取值范围.

、工

^F^\oc<5

解：（1）・.・把点］（-2,