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文档简介

分部积分法分部积分法前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如∫xexdx,∫xcosxdx等，利用换元积分法就无法求解.本节要介绍另一种基本积分法——分部积分法.

设函数u=ux,v=vx具有连续导数,则两个函数乘积的微分公式为

duv=udv+vdu,

移项，得udv=duv－vdu.

两边积分，得

∫udv=uv－∫vdu(5-16)

或

∫uv′dx=uv－∫u′vdx.(5-17)

分部积分法公式(5-16)或公式(5-17)称为分部积分公式.利用分部积分公式可以把比较难求的∫udv转化为比较易求的∫vdu来计算，达到化难为易的目的.用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法.当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，往往需要用分部积分法来解决.

下面通过例子说明如何运用这个重要公式.

分部积分法【例42】分部积分法由此可见，如果u和dv选取不当，就求不出结果，所以应用分部积分法时，恰当选取u和dv是关键.通常选择顺序是：对反幂三指(对数函数、反三角函数、幂函数、三角函数和指数函数)，两者之间排在前面的设为u.

分部积分法求∫xsinxdx.解由于幂函数在“前”,三角函数在“后”,故设u=x,dv=sinxdx，所以∫xsin

xdx

=∫xd－cosx

=－xcos

x+∫cos

xdx=－xcos

x+sin

x+C.【例43】分部积分法【例44】分部积分法【例45】例45说明，如果被积函数只有一个函数，且不能用基本积分公式直接求出，可以考虑设被积函数为u,此时dv=dx，利用分部积分法求解.分部积分法【例46】求∫x2cosxdx.解∫x2cosxdx=∫x2dsinx=sinx•x2－∫sinxdx2=x2sinx－2∫xsinxdx=x2sinx－2∫xd(－cosx)=x2sinx－2(－cosx•x+∫cosxdx)=x2sinx+2xcosx－2sinx+C.例46说明，有些不定积分用一次分部积分法不能解出来，可以多次使用分部积分法.分部积分法【例47】分部积分法【例48】求∫e3xdx.解设3x=t,x=t3,dx=3t2dt,于是∫e3xdx=3∫t2etdt=3∫t2det=3t2et－6∫tetdt=3t2et－6∫tdet=3t2et－6tet+6∫etdt=3t2et－6tet+6et+C=3e3x(3x2－23x+2)+C.到目前为止，前面介绍了求不定积分的三种最基本的方法，记住方法本身固然重要，但更重要的是能够灵活地运用它们求解不同类型的题目.同时，还应当注意到某些不定积分的求解需要将几种方法

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