2021年全国中考数学压轴题好题难题提优题集锦

2021年全国中考数学压轴题好题难题提优题集锦

一.选择题（共3小题）

1.如图，已知。。的半径为1,是直径，分别以点A、8为圆心，以的长为半径画

弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（）

A.--2>/3B.—C.—-73D.—-2>/3

3633

2.设O为坐标原点，点A、8为效物线了=炉上的两个动点，且04_08.连接点A、B,

过。作OC_LAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A.-B.—C.—D.1

222

3.如图，用绳子围成周长为10帆的矩形，记矩形的一边长为X”?，它的邻边长为ym,矩

形的面积为5〃5.当工在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化，则y与％,S与

x满足的函数关系分别是（）

y

x

A.一次函数关系，二次函数关系

B.反比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，反比例函数关系

D.反比例函数关系，一次函数关系

二.填空题（共5小题）

4.如图，在oABCD中，AD=5,AB=\2,sinA=-.过点。作垂足为E,

MsinZBCE=

第1页（共195页）

5.在AABC中，NABC=90°,AB=2,BC=3.点。为平面上一个动点，ZAD8=45。，

则线段8长度的最小值为一.

6.某企业有A,8两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工。吨原材料,

加工时间为（4々+1）小时；在一天内，8生产线共加工6吨原材料，加工时间为（助+3）小

时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A,5两条生产线，两条生产线都在一天内完成

了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比

为—.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线

分配了〃，吨原材料，给8生产线分配了〃吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各

自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则”的值为一.

n

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任

意长为半径作弧，分别交AC,AB于点“，N；②分别以M,N为圆心，以大于的

2

长为半径作弧，两弧在NWC内交于点O；③作射线AO,交8c于点。.若点。到的

距离为1,则3c的长为

8.如图，将oABC。绕点A逆时针旋转到oA9的位置，使点方落在上，B'C与CD

交于点E.若AB=3,BC=4,BB=1,则CE的长为

三.解答题（共51小题）

第2页（共195页）

a

9.如图，已知直线)，=奴+3与x轴的正半轴交于点A,与)，轴交于点8,sinZOAB=~.

(1)求攵的值；

(2)D,E两点同时从坐标原点O出发，其中点。以每秒1个单位长度的速度，沿

OfAiB的路线运动，点E以每秒2个单位长度的速度，沿。14TA的路线运动.当O,

E两点相遇时，它们都停止运动，设运动时间为/秒.

①在。、E两点运动过程中，是否存在力£7/。8?若存在，求出f的值，若不存在，请说

明理由；

②若设的面积为S,求S关于f的函数关系式，并求出，为多少时，S的值最大？

(爵川图)

10.在平面直角坐标系中，抛物线y=-丁+加+c与x轴交于A,B两点.与)，轴交于点C,且

点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,5).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图(甲).若点夕是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时,

求点尸的坐标；

(3)图(乙)中，若点用是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使

得以8,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

第3页(共195页)

15.在平面直角坐标系中，0。的半径为1.对于点A和线段6C,给出如下定义：若

将线段8C绕点A旋转可以得到°。的弦次「（方，C分别是A,C的对应点），则称线段以T

是O。的以点A为中心的“关联线段

（1）如图，点A,用，G，B2,C2,4,C3的横、纵坐标都是整数.在线段8C，B2c2,

员C3中，。。的以点A为中心的“关联线段”是；

（2）AABC是边长为1的等边三角形，点40"）,其中，=0.若BC是OO的以点A为中

心的“关联线段”，求/的值；

（3）在AABC中，AB=\,AC=2.若是的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出04的最小值和最大值，以及相应的8c长.

16.如图，在平面直角坐标系X©中，抛物线丁=。*-〃）2+攵与x轴相交于O,A两点，

顶点尸的坐标为（2,-1）.点8为抛物线上一动点，连接AP,AB,过点8的直线与抛物线

交于另一点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点8的横坐标与纵坐标相等，NABC=NQ4P,且点C位于k轴上方，求点C的坐

标；

（3）若点3的横坐标为ZABC=90°,请用含/的代数式表示点C的横坐标，并求出当

ivO时，点。的横坐标的取值范围.

第5页（共195页）

备用图

17.在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,8C=3,将A4BC绕点8顺时针旋转得到△46。，

其中点A,。的对应点分别为点女，C.

（1）如图1,当点W落在AC的延长线上时，求A4”的长；

（2）如图2,当点C落在川?的延长线卜时.连接CC,交4n于点求AM的长：

（3）如图3,连接A/V,CC,直线CC交回于点。，点E为AC的中点，连接DE.在

旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出小的最小值；若不存在，请说明理由.

轴于点C,P是直线下方抛物线上的一个动点.过点尸作垂足为。，PE//X

轴，交于点E.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的周长取得最大值时，求点P的坐标和47）七周长的最大值；

（3）把抛物线y=d+法+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点

的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

第6页（共195页）

备用图

19.在AABC中，AB=AC,。是边8c上一动点，连接4）,将4?绕点A逆时针旋转至AE

的位置，使得NZME+4%C=180。.

（1）如图1,当N】MC=90°时，连接BE,交AC于点尸.若8E平分N4BC,BD=2,

求A"的长：

（2）如图2,连接BE,取%:的中点G,连接AG.猜想AG与8存在的数量关系，并

证明你的猜想；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接OG,CE.若N84C=120°,当BD>CD,ZAEC=150°

时，请直接写出处二史的值.

CE

20.如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A,O,N三个点，且AO=2,

在ON上方有五个台阶7；~7；（各拐角均为90。），每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶7；

到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出一个带光的点P.

（1）求点A的横坐标，且在图中补画出），轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；

（2）当点尸落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高

度为11,求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶7；有交点；

（3）在x轴上从左到右有两点O，E,且叱=1,从点石向上作EBJLx轴，且鸵=2.在

反5£）石沿工轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线。下落的点P能落在边比>（包括端

第7页（共195页）

点）上，则点8横坐标的最大值比最小值大多少？

［注：（2）中不必写r的取值范围］

21.在一平面内，线段AB=20,线段8c=8=04=10,将这四条线段顺次首尾相接.把

固定，让AD绕点A从A5开始逆时针旋转角a（a>0。）到某一位置时，BC,C£）将会跟

随出现到相应的位置.

论证：如图1,当AD//3。时，设与8交于点O,求证：AO=10；

发现：当旋转角。=60。时，NADC的度数可能是多少？

尝试：取线段8的中点M,当点时与点8距离最大时，求点M到的距离；

拓展：①如图2,设点。与3的距离为d,若4a>的平分线所在直线交AB于点P,直接

写出族的长（用含d的式子表示）；

②当点C在AB下方，且4）与CD垂直时，直接写出a的余弦值.

第8页（共195页）

DC

B

备用图2

22.在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为12cm,8为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长

为4亢cm.在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并

标出它的长（结果保留根号）.

①②

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成.O是圆锥的顶点，点A在圆柱的

底面圆周上，设圆锥的母线长为/,圆柱的高为力.

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为（用含/,力的代数式表示）.

②设的长为。，点3在母线0C上，OB=b.圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画

出蚂蚁从点A爬行到点8的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路.

第9页（共195页）

o

23.已知二次函数y=ad+b%+c的图象经过(一2,1),(2,-3)两点.

(1)求力的值；

(2)当时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是.

(3)设(皿0)是该函数的图象与“轴的一个公共点.当-lv,〃v3时，结合函数的图象，直

接写出。的取值范围.

24.在等边AABC中，AB=6,BDLAC,垂足为。，点E为45边上一点，点尸为直线8D

上一点，连接斯.

(1)将线段所绕点E逆时针旋转60。得到线段EG,连接AG.

①如图1,当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG,求线段OG的长；

②如图2,点E不与点A,B重合，G厂的延长线交边于点，，连接E”，求证：

BE+BH=6BF；

(2)如图3,当点石为中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN=2NC,点、

户从中点Q沿射线以＞运动，将线段反绕点E顺时针旋转60°得到线段EP,连接尸尸,

当NP+’MP最小时，直接写出AD/W的面积.

2

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ox:+瓜-4(。工0)与A-轴交于点A(-1,0),8(4,0),

第10页(共195页)

与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点。关于直线/对称，点P为直线4)下方抛物线

上一动点，连接抬，PD,求AMD面积的最大值.

(3)在⑵的条件下，将抛物线产加+历:-4("0)沿射线4)平移4&个单位，得到

新的抛物线必，点E为点尸的对应点，点尸为弘的对称轴上任意一点，在凹上确定一点G,

使得以点。，E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标,

并任选其中•个点的坐标，写出求解过程.

备用图

26.如图，抛物线)，=—/+辰+。与1轴交于4一3,0)、8(1,0)两点，与y轴交于点C,对

称轴/与x轴交于点尸，直线机〃AC,点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作

EH±rnt垂足为H,交AC于点G,连接AE、EC、CH、AH.

(1)抛物线的解析式为—;

(2)当四边形4/CE面积最大时，求点E的坐标；

<3)在(2)的条件下，连接所，点尸是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使得

以尸、E,尸、。为顶点，以防为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q

的坐标；若不存在，说明理由.

第11页(共195页)

27.已知抛物线y=f+bx+c与上轴交于点4(-5,0)和点3,与)，轴交于点。(0,5),它的对

称轴为直线/.

(1)求该抛物线的表达式及点R的坐标：

(2)若点尸(见2)在/上，点尸与点P过关于x轴对称.在该抛物线上，是否存在点。、E、

F,使四边形尸£)底户与四边形产BQ4位似，且位似中心是尸？若存在，求点0、石、尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

28.如图，开口向上的抛物线与x轴交于4(内，0)、B(X2,0)两点，与y轴交于点C,且

ACA.BC,其中X，々是方程丁+3%一4=0的两个根.

(1)求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；

(2)垂直于线段8C的直线/交x轴于点。，交线段于点E,连接CD,求ACDE的面

积的最大值及此时点。的坐标；

(3)在(2)的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点〃，使得△/么比是等腰二角形？若存

在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

第12页(共195页)

29.如图1,直线y=-gx+b与抛物线丁=仆2交于A,8两点，与)，轴于点C,其中点A的

坐标为(T,8).

(1)求a,b的值；

(2)将点A绕点C逆时针旋转90°得到点。.

①试说明点O在抛物线上；

②如图2,将直线向下平移，交抛物线于石，尸两点(点E在点尸的左侧)，点G在线

段OC上.若AGEFSM)BA(点G,E,尸分别与点O,B,A对应)，求点G的坐标.

30.如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)图象交坐标轴于点A,B(0,-2),点P为元轴上一

动点.

(1)求二次函数y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点P作PQJ_x轴分别交线段AB,抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时，求

AACQ的面积；

(3)如图2,将线段尸8绕点尸逆时针旋转90。得到线段?£).当点。在抛物线上时，求点。

图1图2

31.如图，抛物线y=a?+法+c与x轴交于A(—2,0)、8(6,0)两点，与)，轴交于点C.直

第13页(共195页)

线/与抛物线交于A、。两点，与y轴交于点E,点。的坐标为(4,3).

(1)求抛物线的解析式与直级/的解析式；

(2)若点P是抛物线上的点且在直线/上方，连接孙、PD,求当ARM)面积最大时点产

的坐标及该面积的最大值；

(3)若点。是y轴上的点，且NADQ=45。，求点。的坐标.

32.如图，直线/:y=2x+l与抛物线C:y=2f+版+。相交于点A(o,/〃)，.

(1)填空：m=—,〃=—,抛物线的解析式为—.

(2)将直线/向下移a(a>0)个单位长度后，直线/与抛物线C仍有公共点，求a的取值范

围.

(3)。是抛物线上的一个动点，是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点尸？若存在，

请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

33.如图1,二次函数y=a(x+3)(x-4)的图象交坐标轴于点A,8(0,-2),点尸为x轴上

一动点.

第14页(共195页)

(1)求二次函数.y=a(x+3)(x-4)的表达式；

(2)过点尸作尸Qlx轴分别交线段45,抛物线于点Q,C,连接AC.当OP=1时，求

AACQ的面积；

(3)如图2,将线段尸8绕点P逆时针旋转90。得到线段包＞.

①当点。在抛物线上时，求点。的坐标；

②点£(2,-*)在抛物线上，连接正，当PE平分N8PQ时、直接写出点P的坐标.

3

34.如图，在平面直角坐标系xQy中，一次函数y=-gx+3的图象与x轴交于点4,与y轴

交于点B,点C的坐标为(-2,0),抛物线经过A,B,C三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AD与)，轴负半轴交于点O,且NH4O=N/MO,求证：OB=ODx

(3)在(2)的条件下，若直线与抛物线的对称轴/交于点E,连接跖，在第一象限

内的抛物线上是否存在一点P,使四边形班”的面积最大？若存在，请求出点尸的坐标及

四边形比"面积的最大值；若不存在，请说明理由.

35.小刚在用描点法画抛物线G：y=〃2+阮+c时，列出了下面的表格:

X•••01234・・・

第15页(共195页)

y,..36763・・・

（I）请根据表格中的信息，写出勉物线C1的一条性质：—;

（2）求抛物线C1的解析式；

（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线G；

①若直线），=^^+人与两抛物线G，C2共有两个公共点，求b的取值范围；

②抛物线q的顶点为A，与％轴交点为点4,C（点8在点C左侧），点尸（不与点A重

合）在第二象限内，且为上任意一点，过点P作9_Lx轴，垂足为。，直线AP交y轴

于点Q,连接AB，DQ.求证：AB//DQ.

备用图1备用图2

36.抛物线y=o?+加+3过点A（T,O）,点3（3,0）,顶点为C.

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标：

（2）如图1,点尸在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点。，连接AC,若AD4C是以AC

为底的等腰三角形，求点。的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A,C不重合）的动点，连接尸E,

作NP律=NC4B,边所交x轴于点尸，设点尸的横坐标为打，求,，〃的取值范围.

第16页（共195页）

图1图2

37.如图，二次函数)，=-丁-2x+4-M的图象与一次函数),=_2x的图象交于点A、B(点

B在右侧)，与y轴交于点C,点A的横坐标恰好为〃.动点尸、。同时从原点O出发，沿

射线06分别以每秒行和2行个单位K度运动，经过，秒后，以尸。为对角线作矩形

PMQN,且矩形四边与坐标轴平行.

(1)求。的值及，=1秒时点P的坐标；

(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间r的取值范围；

(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R,作关于原点(0,0)的对称点为R,当点M

恰在抛物线上时，求RM长度的最小值，并求此时点R的坐标.

38.已知：抛物线)，="2+加+。经过4一1,0),B(3,0),C(0,3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸为直线3C上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO,PO交直线3c于

点E,设四=3求当上取最大值时点尸的坐标，并求此时女的值.

OE

第17页(共195页)

（3）如图2,点。为抛物线对称地与x轴的交点，点。关于工轴的对称点为点O.

①求\RDQ的周长及tan/RDQ的值；

②点M是），轴负半轴上的点，且满足tanN8MQ=；（f为大于0的常数），求点M的坐标.

39.如图，平面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线y=-炉+6x+c与x轴交于A、8两

点（点A在点8的左侧），点8坐标是（3,0）.抛物线与y轴交于点C（0,3）,点P是抛物线

的顶点，连接PC.

（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标.

（2）直线8C与抛物线对称轴交于点。，点Q为直线8C上一动点.

①当AQAB的面积等于APCO面积的2倍时，求点Q的坐标；

②在①的条件下，当点。在工轴上方时，过点。作直线/垂直于AQ,直线y=交直

40.如下列图形所示，在平面直角坐标系中，•个三角板的直角顶点与原点。重合，在其

第18页（共195页）

绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y=相交于点A、B（点A在

点8的左侧）.

（1）如图1,若点A、8的横坐标分别为-3、求线段■中点P的坐标；

3

（2）如图2,若点8的横坐标为4,求线段45中点尸的坐标；

（3）如图3,若线段中点P的坐标为（x,y）,求y关于x的函数解析式；

（4）若线段48中点P的纵坐标为6,求线段A4的长.

41.如图，抛物线y=-gf+2x+6与x轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与y轴

交于点C,直线y=x-2与y轴交于点O,与元轴交于点E,与直线BC交于点尸.

（1）点尸的坐标为一；

（2）如图1,点尸为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交03于点Q,PMLBC于

PM11

点、M,QNJ.BC于点、N,若——=—,求点P的坐标：

QN4

（3）如图2,点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线£陀上方，动点G从点上出

发，沿射线。石方向以每秒4a个单位长度的速度运动，当SE=SG,且tan/SEG=，时，

2

求点G的运动时间/.

第19页（共195页）

42.在平面直角坐标系中，抛物线)，=-(1-1)2+4与x轴交于A8两点(A在8的右侧),

与)，轴交于点C.

(1)求直线C4的解析式;

(2)如图，直线”=用与抛物线在第一象限交于点。，交C4于点E,交汇轴于点产，

DG_LC4于点G,若石为G4的中点，求m的值.

(3)直线y=nr+〃与抛物线交于M(X[,y),N(x2,y?)两点，其中百V马.若勺一寸＞3

且%-y＞。，结合函数图象，探究〃的取值范围.

43.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=-/+加+。与％轴分别交于点A(TO)和点8,

与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式及对称轴；

(2)如图1,点。与点。关于对称轴对称，点尸在对称轴上，若NW〉D=90°,求点P的坐

标；

(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当ABMN为等边

三角形时，请直接写出点M的横坐标.

第20页(共195页)

44.将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（-6,0）,点3（0,2）,

点C（T,8）,二次函数），=0^+公+以。=0）的图象经过点A,B,该抛物线的对称轴经过

点C,顶点为Q.

（1）求该二次函数的表达式及点。的坐标；

（2）点M在边AC上（异于点A,C）,将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线45上,

且点M落在边AC上，点M的对应点记为点N,折痕所在直线/交抛物线的对称轴于点P,

然后将纸片展开.

①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线/；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹）

②连接MP,NP,在下列选项中：A.折痕与垂直，B.折痕与的交点可以落在

抛物线的对称轴上，C—=-,D.—=72,所有正确选项的序号是

MP2MP------

③点Q在二次函数丁=奴2+云+44工0）的图象上，当APE）e~A/>MN时，求点。的坐标.

a

45.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=2x+l分别与A■轴、），相交于点A,C,经过

4.

点C的抛物线y二』%2+bx+c与直线y=3x+1的另一个交点为点。，点。的横坐标为6.

（1）求抛物线的表达式.

（2）M为抛物线上的动点.

第21页（共195页）

①N为x轴上一点，当四边形CQMN为平行四边形时，求点M的坐标；

②如图2,点M在直线e下方，直线的情况除外）交直线m于点区，作

直线双）关于直线OM对称的直线8。，当直线8。与坐标轴平行时，直接写出点M的横

坐标.

图1图2

46.如图，直线y=x+2与抛物线丁=加1+法+6（。/0）相交于点A（g,m和点3（4,相）.抛

物线与大轴的交点分别为“、K（点〃在点K的左侧）.点尸在线段上运动（不与点A、

8重合），过点尸作直线/CJ_x轴于点P,交抛物线于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接AC,是否存在点尸，使AE4C是直角三角形？若存在，求出点尸的坐

标；若不存在，说明理由；

（3）如图2,过点。作CEJ_A8于点E,当△CE厂的周长最大时，过点尸作任意直线/,

把ACM沿直线/翻折180。，翻折后点C的对应点记为点Q,求出当ACE尸的周长最大时，

点尸的坐标，并直接写出翻折过程中线段KQ的最大值和最小值.

图2备用图

47.如图，在平面直角坐标系中，二次函数），='f+bx+c的图象与x轴交于点A（-3,0）和

■4

点B（5,0）,顶点为点。，动点M、。在x轴上（点”在点。的左侧），在x轴下方作矩形

MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速

第22页（共195页）

运动，运动开始时，点用的坐标为（-6,0）,当点M与点8重合时停止运动，设运动的时间

为，秒（f>0）.

（1）b=,c=.

（2）连接班），求直线班>的函数表达式.

（3）在矩形MNPQ运动的过程中，所在直线与该二次函数的图象交于点G,PQ所在

直线与直线交于点〃，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是

面积小于10的平行四边形？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

（4）连接尸过点夕作尸。的垂线交y轴于点R,直接写出在矩形MNP。整个运动过程

中点R运动的路径长.

48.如图，抛物线"底+云-3交x轴于点A（T,0）,8（3,0）,。是抛物线的顶点，。是

抛物线上的动点，点尸的横坐标为皿喷加3）,AE//PD交直线/:y=；x+2于点E,AP

交DE于点F,交y轴于点Q.

（1）求抛物线的表达式；

（2）设APD厂的面积为5,AAEF的面积为S2，当£=$2时，求点尸的坐标；

（3）连接BQ,点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且/BMQ=45。，在点P从

点3运动到点C的过程中，点M也随之运动，宜接写出点M的纵坐标，的取值范围.

第23页（共195页）

49.如图，己知：抛物线y=f+以+c与直线/交于点A（-1,O）,C（2-3）,与x轴另一交点

为B.

（1）求抛物线的解析式：

（2）在抛物线上找一点P,使&ACP的内心在1轴上，求点尸的坐标：

（3）〃是抛物线上一动点，过点”作x轴的垂线，垂足为N,连接8M.在（2）的条件

下，是否存在点M,使ZMBN=ZAPC?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明

理由.

50.直线y=-X+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=a?+2x+c经过点A,

B,与x轴的另一个交点为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点。是第一象限内效物线上的一个动点，过点。作轴交于点E,

于点尸，尸G_Lx轴于点G.当。£=AG时，求点D的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，直线CD与相交于点点”在抛物线上，过”作

轴，交直线CD于点K.P是平面内一点，当以点M,H,K,P为顶点的四边形是正方

形时，请直接写出点P的坐标.

第24页（共195页）

51.将抛物线y="2(。/0)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线

H:y=a(x-h)2+k.抛物线”与x轴交于点A,B,与)，轴交于点C.已知A(-3,0),点、P

是抛物线”上的一个动点.

(1)求抛物线H的表达式：

(2)如图1,点尸在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合〕，过点尸作

垂足为。，叨交AC于点上.作尸FJLAC,垂足为F,求尸的面积的最大值；

(3)如图2,点。是抛物线”的对称轴，上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P,

使得以点A,P,C,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P

的坐标；若不存在，说明理由.

直线y=2%-2交抛物线于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是直线5c下方抛物线上的一个动点(P不与点B,C重合)，求AP3C面积的

最大值；

第25页(共195页)

(3)若点M在抛物线上，将线段绕点O旋转90°,得到线段QV,是否存在点M,使

点N恰好落在直线8c上？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由.

53.定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值

点”.例如，点(1,1)是函数y=的图象的“等值点”.

22

(1)分别判断函数,=八十2,y-Y-k的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等

值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

(2)设函数y=3(x>0),y=+b的图象的“等值点”分别为点A,8,过点3作3C_Lx

x

轴，垂足为C.当A4BC的面积为3时，求b的值；

(3)若函数y=V-2(x.m)的图象记为明，将其沿直线工=机翻折后的图象记为当州，

W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出机的取值范围.

54.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=V+加+c经过点A(-l,0),B(0,3),顶点为。.平

移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点力(3,-1)为原抛物线上点4的对应点,

新抛物线顶点为E,它与y轴交于点G,连接CG,EG,CE.

(1)求原抛物线对应的函数表达式；

(2)在原抛物线或新抛物线上找一点尸，使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行

四边形，并求出点尸的坐标；

(3)若点K是)，轴上的一个动点，且在点3的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条

抛物线于点M，N,且点M,N分别在)，轴的两侧，当MN=CE时，请直接写出点K的

坐标.

第26页(共195页)

55.如图，已知点A(—8,0),点颈-5,-4),直线y=2x+w过点8交)，轴于点C,交x轴于

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断AABC的形状，并说明理由；

(3)E为直线AC上方的抛物线上一点，且tanNEC4=」，求点E的坐标；

2

(4)N为线段AC上的动点，动点尸从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运

动到点N,再以每秒6个单位长度的速度沿线段NC运动到点C,乂以每秒1个单位长度

的速度沿线段CO向点O运动，当点尸运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小

值及此时点N的坐标.

56.如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点8(-5,机)，与x轴的正半轴交于点

C.

(1)求，〃的值和点C的坐标;

第27页(共195页)

(2)若点P是x轴上的点，连接尸8,PA,当殁=2时，求点尸的坐标；

PA5

(3)在抛物线上是否存在点M,使A,3两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足

条件的点M的横坐标；若不存在：请说明理由.

57.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-•!■/+”二1.彳+巴(m>0)与工轴交于4(-1,0),

222

B(肛0)两点，与)，轴交于点C,连接8c.

(1)若OC=2Q4,求抛物线对应的函数表达式；

(2)在(I)的条件下，点?位于直线8C上方的抛物线上，当AP8C面积最大时，求点尸

的坐标；

(3)设直线y='x+b与抛物线交于B,G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点尸(在

抛物线的对称轴上)，使得以8,G,E,尸为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点

尸的坐标；若不存在，说明理由.

58.已知函数丫=「口+齐+巩“<加),记该函数图象为G.

x2-mx+m(x..m)

(1)当m=2时，

①已知M(4,〃)在该函数图象上，求〃的值；

第28页(共195页)

②当啖（k2时，求函数G的最大值.

（2）当〃z>0时，作直线x=与《釉交丁点P，与函数G交丁点Q,若NFOQ=45c时,

求〃？的值;

（3）当肛,3时，设图象与x轴交于点A,与），轴交于点8,过点8作BC_LKA交直线x=

于点C,设点A的横坐标为a,C点的纵坐标为c,若a=_3c,求m的值.

59.如图，已知抛物线丁=0¥2+及+4经过A（T,O）,8（4,0）两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的解析式:

（2）连接BC,求直线的解析式:

（3）请在抛物线的对称轴上找一点?，使AP+PC的值最小，求点尸的坐标，并求出此时

AP+PC的最小值;

（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用蜃

第29页（共195页）

2021年全国中考数学压轴题好题难题提优题集锦

参考答案与试题解析

一.选择题（共3小题）

1.如图，已知OO的半径为1,是直径，分别以点A、B为圆心.以AB的长为半径画

弧.两弧相交于C、。两点，则图中阴影部分的面积是（）

D.3

【解答】解:连接8C,如图，

由作法可知AC=8C=AB=2,

「.AACB为等边三角形，

Z^4C=6O°，

・•・图中阴影部分的面积=4S弓形8c+25.席_£^

4（§切形MC一帆.）+2sA48c-

=4s晌形me_2sM8c-SQO

60^-x22\/3

=4x-------------2x——x22-^-xT2

3604

=—7r—2\/3.

3

故选：A.

第30页（共195页）

B

2.设O为坐标原点，点A、8为效物线y=V上的两个动点，且Q4_O8.连接点A、B,

过。作OCJ.AB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）

A1