2021年江苏省高考数学考前压轴冲刺03 函数与导数问题（解答题）（解析版）

专题03函数与导数问题

考点预测

考察函数的性质有单调性，极值，最值，函数的零点等，而研究这些问题的切入点通常要研究

函数的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，近几年常以压轴题型出现.常用的结论如

下：

1.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数y=/（x）在某个区间内可导，如果/'（x）＞0,则为增函数；如果

则y=/（x）为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数y=/（x）在区间/内恒有/（幻=0,则y=f（x）为常数.

注：①人%）＞0是"X）递增的充分条件，但不是必要条件，如y=2/在（YVH功上并不是都有小工）＞0,

有一个点例外即x=O时/（X）=0,同样/（X）V。是f（X）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么/（x）在该区间上仍

旧是单调增加（或单调减少）的.

2.极值的判别方法：（极值是在/附近所有的点，都有/（幻〈/（瓶），则/（两）是函数/（%）的极大值，极

小值同理）当函数f（x）在点/处连续时，

①如果在与附近的左侧/（幻＞0,右侧/（x）V0,那么〃与）是极大值；

②如果在.飞附近的左侧/‘（幻＜0,右侧f'（x）＞0,那么/（而）是极小值.

3.当无之0时，e'2+%+12％+1＞ex＞x2+1

4.当尤NO时，x-<ln(x+1)<x

5.当％>0时，W;当％=e时取等号，lnx<x2-x,当％=1时取等号.

e

典型例题：

例1.已知函数=jr+nvc-xbix(z/zeR).

(1)若函数，(x)在定义域内单调递增，求实数机的取值范围；

(2)若函数尸(工)=/(x)+6在(1,6)上有两个不同的零点，求实数机的取值范围.

【分析】(1)求出函数的导数，问题转化为小21-Ix+lnx.记g(x)=1-根据函数的单调性求出

〃，的范围即可；

(2)分离参数得：〃?=-%-旦+/nx,记〃(x)=-x-—+//u,(.r€[l,6]),根据函数的单调性

XX

求出，〃的范围即可.

【解答】解：(1)函数/(X)的定义域是(0,+8),

fr(x)=2x+m~1-Inx,

由f(x)20可得小21-2x+//tt,

记g(x)=1-2JI+//LV»

则g'(尤)=・2+2=上至，

XX

显然，当XW(0,时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

f

当XW(我，+8)时，gQ)<0,gG)单调递减，

故g(JC)Wg(―)=1-2X—+///--=-M2,

故m2■齿2,记实数机的取值范围是[-"2,+8)；

(2)由方程尸(x)=0得：F+MX-X阮i+6=0,

Vx>0»；•方程可化为x+m-lnx+—=0,

分离参数得：，〃=-X-@+/〃力

X

记力(x)=-x-(xG[l,6]),

x

则/(e=-(x+2)(x-3),

X乙

令〃'(X)>0,解得：XV3,令(X)<0,解得：x>3,

故〃(x)在(1,3)递增，在(3,6)递减，

故力(x)mux—h(3)=-5+Z〃3,而〃(1)=-7,h(6)=-7+加6,

显然-7<-7+仇6,

故要使函数尸(4)=f(x)+6在(1,6)上有两个不同的零点，

则实数m的取值范围是(-7+加6,-5+/〃3).

【知识点】利用导数研究函数的单调性

例2.已知f(%)=ln(x+1)-a(x+2)(d€R).

(I)若y=f(x)在x=0处的切线恰好与曲线丁=射相切，求f(%)的极值；

O

(II)若对VxG(-1,1],不等式/(x)V0恒成立，求实数a的取值范围.

【分析】(I)先确定函数的定义域，再求导，得到y=/(x)在x=0处的切线方程，联立抛物线的方程，

由判别式为0,可得a得到和导数，进而得到f(x)的单调性，可得极值；

(II)由/(%)<0,结合x+2>0,运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，即

可得到所求范围.

【解答】解：(I)由题意可得=/〃G+l)-a(x+2)的定义域为(-1,+8),

f(x)=—^7・小则，(0)=1-a,/(0)=-2a,

x+1

所以y=f(x)在x=0处的场线的方程为y=(1-a)x-2a,

y=(l-a)x-2a

2

Ftl-a2消去y，可得小-(1-A)x+2a=0,

F8

由题意可得a#0,且4=(«-1)2-a2=0,解得a=£,

所以f(x)=ln(x+1)-(x+2),

乙

所以/（X）=-^T->

x+122（x+l）

令，（x）=0,可得x=l,

当・1VxV1时，，（x）>0,/（x）在（-1,1）递增;

当£>1时，/（%）<0,/（x）在（1,+8）递减，

所以/（X）在x=l处取得极大值，

即/（工）的极大值为/（I）=ln2-没有极小值：

乙

(II)对VxW(-1,1],不等式f(x)V0恒成立,

即为/〃(x+1)<a(x+2)在VxG(-1,1]恒成立,

在小（-1,1］恒成立,

可得ln（x?）

x+2

ln(x+l)詈-1）

设g(x)

x+2(x+2)2

x+2

设函数〃(x)=三■告-/〃("1),XE(-1,1],

x+1

]__x+2J。

则力'(%)=22

(x+1)x+1(x+l)'

即函数〃（%）在（-1,I］上递减，

故〃（x）2人（1）-M2>0,

所以g'（x）>0在（-1,1］上恒成立，

故g（X）在（-1,1］上递增，

ln2

所以g（%）在（7,1］上的最大值为g（1）

3

故只需a>煤，/(x)VO恒成立，

所以a的取值范围是(煤，+8).

【知识点】函数恒成立问题、利用导数研究曲线上某点切线方程

专项突破

1.设f(x)=xex-ax1-2ax.

(I)若y=f(x)的图象在I=-1处的切线经过坐标原点，求〃的值；

(II)若/(%)存在极大值，且极大值小于0,求a的取值范围.

【分析】(I)先求导，求出x=-1时的导数值，既是在工=-1处的切线的斜率，再求x=-1的纵坐标,

又过原点，由两点求出斜率，使它们相等，求出。的值；

(II)求导，分。的不同情况求出函数的极大值，使极大值小于零，求出。的范围.

【解答】解：(I)/(%)-2ax-2a=(x+1)(/-2a),/(-1)=0,/(-1)=-La,

e

1

~+a-I

所以由题意得：0=-^，・・・a=2；

-1e

(II)由(I)得，当2aW0时，即aWO时，炉-2a20,

：.x<-I,/(x)<0,/(x)单调递减，

x>-L/(x)>0,f(x)单调递增，

所以f(x)有极小值，无极大值；

a>0>f(x)=0,x=-1或勿，

当ln2a>-I时，即・・・x€(-«>,-1)和(加2a,+~),/(x)>0,/(x)单调递

2e

增，

当・1VXV/〃2a时，f(x)<0,/(x)单调递减,

所以7•(-1)为极大值，且/(-1)=-』+〃，由题意得：f(-1)<0,・・.?:<a<』；

e2ee

当ln2a<-1时，即0〈a<《，：,xE(-8,加2a)和(・1,+8),/(外>o,f(%)单

2e

调递增，

xEUn2a,-1),/(x)<0,f(x)单调递减，

所以/(Irila)是极大值，且『(Inla)=2aln2a-aln22a-2aln2a=-〃/〃匕〃VO恒成立；

当/〃2。=-1时，即/(x)=(x+l)220恒成立，/(x)单调递增，无极值，舍去；

2e

综上所述：符合条件的〃的取值范围：(0,金)U(4,2).

2e2ee

【知识点】利用导数研究函数的极值

2.已知函数/(x)=aelx+(1-2a)ex-x.

(1)当aVO时，讨论/(x)的单调性；

(2)若/(X)有两个不同零点汨，X2>证明：4>1且31+工2<0.

【分析】(1)对/(%)求导，根据。对函数的单调性进行讨论；

(2)根据(1)的/(x)在d<o的单调性，根据题意得令F(X)=/(X)・/(7),

(x>0),利用极值点偏移的方法证明即可.

【解答】解：(1)/(x)=2^^+(1-2。)8・1=(ev-1)(2a，+l),

因为〃V0,由/(x)=0得，n=0或x=ln(-4)，

力ln(-4)<0即a<Y时，/(“)在(一8，ln(J))单调递减，在(1“(-上)，0)单

调递增，在(0,+8)单调递减：

ii)ln(-4)=0即a=金时，/CO在(・8,+8)单调递减；

2a2

沆)ln(-4)>0即A<a〈O时，f(x)在(・8,0)单调递减，在(0,ln(-4))单调

2a22a

递增，在(ln(-4」)，+8)单调递减:

(2)由(1)知，a<^■时，f(x)的极小值为f))=1T--)>l>0；

22a4a2a

q<a〈O时，/(x)的极小值为/(O)=1-«>1>O；

a:弓■时，/(%)在(-8,4-00)单调递减，故aVO时，/(X)至多有一个零点，

当。20时，由/(x)=2〃/斗(1-2a)Q-1=(夕-1)(2a/+l),/(x)在(-8,0)单调

递减，在(0,+8)单调递增.

要使/(幻有两个零点，M/(0)<0,得a+l・2〃V0,即。>1,

令尸Cx)=f(x)・/(・x)，(x>0),

则F(x)=f(x)+f(-x)=[2a^*+(1-勿)"-l]+[2ae2V+-2a)e'x-\\=2a(ex+e'x+1)

(eK+e'x-2)+(ev+ex)-220,

所以尸(x)在x>0时单调递增，F(x)>F(0)=0,f(x)>/(-x),

不妨设Xl〈X2，则X|VO,X2>0,-X2<0,f(X1)=f(X2)>f(-X2),

由f(4)在(-8,0)单调递减，得汨<-及，即为+X2<0，

故1且X1+K2V0，原命题得证.

【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值

3.已知函数f(x)=lnx+1-a(«GR).

X

(I)讨论函数f(x)的极值；

(II)若关于X的方程=0有两个不同的实根，求实数。的取值范围.

【分析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；

(II)通过讨论。的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点确定a的范围即可.

【解答】解：(I)V/(x)=比汉的定义域是(0,+8),

x

-px-(lnx+l)■,

•/,x_xInx

(”)--------------2--------------

XX

由/(X)<0,解得：x>l,由(X)>0,解得：OVxVl,

故函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减,

故函数/(x)在4—1处取得极大值，且极大值/(I)-1-a,无极小值；

(II)令函数g(x)=xf(x)=lnx+\-ax(x>0),

则g1(x)=--a,

x

当时，g'(x)>0对任意(0,+8)恒成立，

即函数g(x)在(0,+8)上单调递增，

故关于x的方程4(x)=0不可能有2个不同的实数根，不符合题意，

当〃>0时，由g'(x)>0,得OVxV』，由g'(x)VO,解得：x>—,

aa

故函数g(x)在(0,-)单调递增，在(工，+8)上单调递减,

aa

此时g(x)max=g(―)=-lna>

a

若g(-)WO,则关于x的方程对'(x)=0至多有1个实根，不符合题意,

a

故-加a>0,解得：OVaVl,

当OVaVl时，且g(―)=-1--+1=--<0,

eaeee

222

g(-7-)=2-2Ina-——+1=3-2Ina-——，

/aa

-9q

令h(a)=3-2lna--,则/?'(a)=>0,

aa&2a2；

故函数力(〃)在(0,I)上亘调递增,

2

又当a=l时，3-2/na--<0,

a

2

故当OVaVl时，h(a)<O?即g(孑)<0,

a

又函数g(幻的图象在(0,+8)上不间断，

故OVaVl符合题意，

综上，实数。的取值范围是(0,1).

【知识点】利用导数研究函数的极值、函数的零点与方程根的关系

4.已知函数/(x)=lnx+ax(a€R).

(I)当。=・2时，求函数的极值；

(II)若g(x)=/(x),讨论函数gG)的单调性.

x

【分析】(I)利用已知条件和导数的性质，求出极值；

(II)由题意得出函数g(x)的解析式，求出屋(X),对。的取值分类讨论，得出函数单调

性的几种情况.

【解答】解：(I)当。=-2时，/(x)=lnx-2x(x>0),

则/(x)=--2=-^^-.

XX

令/(x)=0,解得％=£,

当OVxvJ■时，f(x)>0,函数/(%)单调递增，

当心>£时，/(x)<0,函数/(X)单调递减，

所以当尸费时，函数/(「取得极大值为八片)=-/«2-1,无极小值.

(II)由题得函数g(x)=/(x)+—=//tv+ar+—,

XX

rn.i,z_1a+l_ax+x-(a+l)_(ax+a+1)(x-l)(

则g(x)=—+a---------------------[--------2-------(x>0).

①当。=0时，g'(x)

此时函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增;

②当〃>0时，g’(%)

2~2

此时，函数g(x)在((0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增;

a(x+a+1)(x-1)

③当°V0时，g1(%)______a

-2~

x

当-史以=1,即。=・《时，/(x)=-d1-WO在(0,+8)上恒成立,

a22x2

所以函数g(x)在(()，+8)上单调递减;

当■史工VI,即aV-士"时，

a2

当a=-l时，-电旦=0,

a

1N+1

当-IVaV-士时，OV-^~^V1,

2a

此时g(x)在(-史2，1)上单调递增，在(0,-----),(1,+8)上单调递减;

aa

当aW-1时，-1<--^<0,

a

此时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减:

夕+11

当■曳3>1,即-《〈"VO时，

a2

此时，函数g(x)在(1,-----)上单调递增，在(0,1)和(，+8)上单调递减.

a----------------------------a

综上所述，当时，函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(I,+8)上单调递增;

-W"VaVO时，函数g(x)在(1,--~~—)上单调递增，在(0,1)和(--~~—,+°°)上

2aa

单调递减；

当■时，函数g（X）在（0,+8）上单调递减；

当-1V〃V・5时，函数月（x）在（-史工，1）上单调递增，在（0,-史工），（1,+8）上

2aa

单调递减；

当-1时，函数gQ）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.

【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值

5.已知函数/（x）=2ax-bix,aGR.

（I）讨论/（x）的单调性；

（II）若«>0,求证：f（x）22cosx『

2ae2

【分析】（I）求出导函数/（X）,再根据4的取值范围对函数单调性进行讨论即可；

（II）根据（I）中结论将原不等式进行转化，构造新函数gG）,对g（x）进行分离参数，

再构造〃（〃），求。（〃）的单调性和最小值，即可证得.

【解答】（I）解：由题意得/（x）=2"工=皿工（Q0）,

XX

若aWO,则/（x）<0»

所以了（%）在（0,+8）上单调递减；

若a>0,则当在（0,4二）时，f（x）<0,

2a

所以/（%）在（0,4）上单调递减；

2a

当XW（白，+8）时，f（x）>0,

2a

所以/（工）在（W—+8）上单调递增.

综上，当aWO时，fCx）在（0,+8）上单调递减;

当a>0时，（x）在（0,—7-）上单调递减，在（1-，+°°）上单调递增.

（II）证明：由（）的讨论知，当〃>0时，fix）（4）=l+b?2a,

令函数gCv）=在曳受，则g（J=驷岑w—=一，

2ae2ae2ae2ae

2c0SX3

所以要证f(x)^；,

2ae2

只需证1+/〃2。2———

2ae2

即证a+aln2a^----

2e

令函数〃(d)=a+aln2a,则〃'(a)=2+ln2a,

当aW(0,—^r)时，h'(a)<0,

2e2

所以力（a）在（0,二■）上单调递减;

2e2

当十“）时，h'（〃）>0,

2e2

所以力（〃）在+8）上单调递增,

2e2

故h(d)2。(」y)-4r=--

2e22e2e22e

所以1+/〃2心....-

2e2

综上，/(x)>：2cosx-3.

2ae」

【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性

6.设区数/(k)=ax-2-Inx(a€R).

(I)求f(x)的单调区间；

(II)当。=1时，试判断了(%)零点的个数；

(in)当°=1时，若对vxw(i,+8),都有(依・1・/,a)A/(X)-ivoawz)成立，求2的最大值.

【分析】(/)，(x)=a--,(x>0).对a分类讨论，可得其单调区间.

x

(/Z)a=lW,/(x)=X-2-/ALV(X>0)./(x)=—.(x>0).根据单调性可得x=l时，

x

函数f(%)取得极小值即最小值，/(I)=-1.

进而得出零点的个数.

(〃/)当4=1时，对VxW(L+8),都有(4k-1-/心)-1<O(KZ)成立，化为：

软V//LT+®iS=g(X),利用导数研究其单调性即可得出.

X

【解答】解：(/)/(x)=a--,(x>0).

X

aWO时，f(x)<0,函数/Xx)在(0,+8)上单调递减.

a(x--)

。>0时，f(x)=--------,(Q0).

x

则f(%)在(0,-)上单调递减，在(2，+8)上单调递增.

aa

(〃)a=\时，f(x)=x-2-Inx(x>0).

f(x)=—,(x>0).

x

则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

x=l时，函数/(x)取得极小值即最小值，/(1)=-1

x-0+时，f(x)xf+°°时，f(x)—+8.

・•・函数存在两个零点.

(〃/)当a=l时，对VxW(1,+8),都有(软7-/心)x+f(x)-1<0(依Z)成立,

化为：软V/〃x+lnx+3=gG),

X

，/、1l-(lnx+3)x-lnx-2

g(X)h丁-----2_———•

AXX

令14(x)=x-Inx-2fxG(1,+8),

u'(x)=1-->0,工函数〃(x)在xW(1,+8)单调递增，

u(3)=1-加3,u(4)=2-2/〃2,

・•・存在唯一的xoW<3,4),使得〃(M)=0,即劭-加次-2=0,

函数g(%)在(1,刖)内单调递减，在(沏，+8)内单调递增.

lnxg+3XQ-2+3i7

•'•g(x)rnin=g(Xo)=/几%+--------=X()-2+--------=M)+----1G(

X。XOXO3

V4jt<(xcJ--1)-,AGZ.

、0x0

，攵的最大值为0.

【知识点】利用导数研究函数的单调性

7.己知函数f(x)=(x+a)/x(bWO)的最大值为l，且曲线y=f(x)在x=0处的切线与直线y=x-2

e

平行(其中e为自然对数的底数).

(1)求实数。，匕的值；

(2)如果0VjqVx2，且/(X|)—f(X2)>求证：3X|+X2>3.

【分析】(1)对原函数求导数，然后利用在x=0处切线的斜率为1,函数的最大值为工列出关于mb的方

e

程组求解；

(2)利用f(汨)=/(X2)找到内，及的关系式^=乂16々-%・然后引入，=及-加，构造关

于，的函数，将3N+X2转换成关于，的函数，求最值即可.

【解答】解：(1)由已知，(x)=Cbx+ab+i)*.

则易知/(0)=而+1=1,・•・h=(),又因为6#0,故。=0.

此时可得f(x)=xebx(0W0),/(x)=(加+1)户.

①若b>0,则当x<—W,/(x)<0,/(x)单调递减；X〉」时，f(x)>0,/(x)

bb

单调递增.

此时，函数/(x)有最小值，无最大值.

②若bV0,则当x<4时，f'(x)>0,f(x)单调递鬼；x

b

时，/(x)〈0,f(x)单调递抗

b

此时f(x)=f(-4~)=[e解得b=-l.

maxbbe

所以a=0,b=-1即为所求.

X1x?

(2)由0VX1VX2，且/(XI)=f(X2>得：—!-=—

eXl产

xeXz

=-X：X1

Ax2-=Xje.设/=及-»(z>0),则dxi-X]=r,

e*

++ptq十+at、

§

可得X9=-T—所以要证3汨+为>3,即证一浮一>3.

e-1e-1e-1e-1

Vr>0,所以d-l>0,所以即证(f-3)d+3什3>0.

设g(r)=(r-3)-+3什3(r>0),则g'(r)=(r-2)-+3.

令h⑺=(r-2)d+3,则h'(/)=(/-1)

当作(0,1)时，X(r)<0,h(r)单调递减；止(1,+8)时，h1(r)>0,h(r)单调

递增.

所以力(t)>h(1)=3-e>0,即g'(/)>0,所以g(r)在(0,+8)上单调递增.

所以g(?)>g(0)=0.

:.3XI+X2>3.

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的最值

8.已知函数f(x)二吕(a>0).

Inx

(1)当函数f(x)在x」处的切线斜率为-2时，求/(x)的单调减区间；

e

lrA

(2)当时，•二""»求。的取值范围.

exlnx

【分析】(1)求导，由/(£>在x△处的切线斜率为-2可求得小再由导数与单调性的关系即可求解；

(2)法一：将不等式恒成立问题转化为£必也+(/〃a+x)2i+而对任意在(1,+8)恒成立，

令g(x)=F+x,利用导数求得g(x)单调性，从而可得/也+工2加x,利用导数求得(/nx-x)

从而可得。的取值范；

法二：力(x)=aex-Inx+lna(x>1),利用导数即可求得〃(x)20时〃的取值范围.

【解答】解：(1)f(x);兽定义域为(0,1)U(1，+8),

lnx

axsy_lnxT

因为f'(x)=Clnx一2(lnx)2

所以/(x)在x△处的切线斜率为-2a,

e

所以4=1,

所以《)喘"6*),/台

令，(x)=0,则x=e,

X(0,1)(1,e)e(e,+8)

'(x)--0+

/(x)极小值e7

由表可知：/(x)的单调减区间为(0,1)和(1,e).

lrr~

(2)由题f(x)>工-对任意.隹(1，+8)恒成立，

exlnx

所以ae^^lnx-Ina对任意xW(1,+°°)恒成立，

方法一：所以小0**+Una+x)，配什x对任意xW(1,+°°)恒成立，

所以“如斗(lna+x)》评斗/世对任意在(1,+8)恒成立，

令g(x)=ex+x,则g(Ina+x')2g(lnx)对任意(1,+°°)恒成立,

因为g'(x)=炉+1>0,

所以g(x)在R上单调增，

所以Ina+x^bix对任意(1»+°°)恒成立，

所以/〃。2ClflX-X)max(X>1)»

令h(x)=lnx-x(x>l),

因为h'(x)」~-l=1」<0,

XX

所以％(工)在(i,+8)上亘调减，

所以〃(x)</:(1)=-1,

所以/〃a2-1>即a》L，

所以〃的取值范围是［工，+8).

e

方法二：设力(x)=aeK-Inx^-lna(x>l)»

则h'(x)=ae'T，h"(x)=aex-^-y>0,

所以/?'(x)在(1,+8)单调递增，又厅(1)=ae-1,

若a，，则力,(1)20,所以“(x)20恒成立，所以/?'(X)在(1,+8)单调递增，

又〃(1)=ae+lna^\-1=0.所以人(x)20恒成立，符合题意.

若0<a<[*,则〃(1)=ae+lna<\-1=0,不符合题意，舍去.

综上所述，a>1，

所以〃的取值范围是[1,+oo).

e

【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性

9.已知函数/(x)=x^-kx+k2.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(外有三个零点，求攵的取值范围.

【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论2的范围，求出函数的单调区间即可；

(2)根据函数的单调性，求出函数的极值,得到关于〃的不等式组，解出即可.

【解答】解：(l)f(%)一2-履+M.f(x)-3A2

AW0时，f(x)20,/(x)在R递增，

%>0时，令/(x)>0,解得：%>病或

令/(x)<0,解得：-

：.f(x)在(-8,-祗)递增，在(-、除递减，在(j与，+8)递增，

综上，女W0时，f(x)在火递增,

)递减，在(j与，+8)递增:

A>0时，/(X)在(-8,)递增，在(-

(2)由(1)得：Q>0,/(x)极小值=/(假)，/(x)&犬值=/(・

),

若/co有三个零点,

(k>0

f喷)<°,解得:0<.<4

只需,

乙I

f(-

4

故左(°,工y，

【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数的零点与方程根的关系、利用导数研究函数的极值

10.已知函数f(x)=lnx^-ax(a>4).

(1)当a=5时，求函数/(X)的单调区间；

1c

(2)若XI，X2是函数的两个极值点，且川，不€(0,1],求证：f(Xi)-f(xD〉21n2-右.

14O

【分析】(1)求出原函数的导函数，把。=5代入，由/(x)>0,f(x)<0,可得函数的单调区间；

(2)由于函数f(x)有两个极值点和小则即，及是源-"+4=0的两个不等实根，利用根

与系数的关系把。与及用含有用的代数式表示，可得/(汨)7g=2。凶-2x『+」g+2加2

Rx।

(OVxiWl).设尸(幻=2lnx-2jr+—^r+2ln2(OVxWl).利月导数求其最小值即可得证.

8x2

【解答】(1)解：由f(x)=lnx+2x1-ax,得/(x)=~+4x-a~-^—(x>0).

XX

当a=5时，/(x)=4'-5x+.

x

由/(x)>0,解得OVxV3或X>1,由/(x)<0,得士■VxVl.

44

:3的单调增区间为(0,士)，(1,+8)；单调减区间为(g1).

44

(2)证明：由于函数/(x)有两个极值点汨，处则为，照是4/-奴+1=0的两个不等实根，

a11

.*.X1+X2=­»X1X2=—(OVXlWl),则4=4(X1+X2),X2=----•

444x1

.*./(xi)-/(X2)=lnx\+2x^-ax\-Inxi-Ix-^+axi

=2ltix\~2XI2+---z~+2/;z2(0<xi<l).

8xf

设/(x)=2lnx-2r+—^+2ln2(OVxWl).

8x2

-22

mil\—A1-(4X-1)

贝ij尸(x)=---4x-----7―------------0,

x4x34x3

:・F(x)在(0,1]上单调递减，则尸(%)2尸(1)=2加2■号15.

O

【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性

11.已知函数/(x)=(x-1)Inx.

(I)判断，(x)的单调性；

(II)设g(%)=-OV2+(fl-1)x+l,«GR当xE[-^r,/]时，讨论函数f(X)与g(X)图象的公共点个

e

数.

【分析】(I)对函数/(x)两次求导，由导数与单调性的关系即可求解：

(H)令〃(x)=/(x)-g(x)=(x-1)(//u+ar+1),x曰劣，e2],将问题转化为函数h

e

(x)的零点个数问题，显然工=1是函数力(x)的一个零点，当xWl时，求方程Ev+ax+l=O

根的个数，常数分离，构造fCO=-@iL,八曰±，e2],利用导数判断函数[(x)的单调

x/

性与最值，即可。的取值范围，进而判断零点个数.

【解答】解：(I)函数—Q-1)6V的定义域为(0,+“).

f(x)=Z/tr+l--,f(x)=—+^7>0,

x