天津市河西区2025届高三上学期期末质量调查数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页天津市河西区2025届高三上学期期末质量调查数学试卷一、单选题：本大题共9小题，共45分。1.已知全集U=1,2,3,4,5,6,A=1,3,5,B=2,4A.3 B.2,4 C.2,4,6 D.1,2,4,62.已知曲线C:x2a+y2a−1=1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a=lnπ,b=logπe,c=eA.b<c<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<a<c4.某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的70%分位数为(

)

A.85 B.86 C.87 D.885.已知函数fx为奇函数，一个周期为π，则fx

的

解析式可能为(

)A.cos3π2−2x B.sinπx C.6.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是(

)A.若m//α,m//β，则α//β B.若m⊥α,m⊥n，则n⊥α

C.若α⊥β,m⊥α，则m//β D.若m⊥α,m//β，则α⊥β7.已知函数fx的定义域为R,y=fx+ex是偶函数，y=fA.2 B.52 C.3 D.8.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的虚轴长为22,PA.x25−y22=1 B.9.如图，在体积为V的三棱锥A−BCD中，E,F,G分别为棱AB,AC,AD上的点，且AE=EB,AF=2FC,AG=2GD，记O为平面BCG,CDE,DBF的交点，记三棱锥O−BCD的体积为V1，则V1:V=(

)

A.15 B.25 C.16二、填空题：本大题共6小题，共30分。10.i是虚数单位，复数z满足z−i=3−zi，则z=

．11.(x−212.已知点P在抛物线M:y2=4x上，过点P作圆C:(x−2)2+y2=1的切线，若切线长为213.甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是

；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是

．14.在▵OAB中，∠AOB=90∘,OA=OB=22,D为AB的中点，P,Q是以O为圆心，2为半径的圆上的两个动点，线段PQ过点O，则OD可用15.若函数fx=x2−22x+14msin14三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知tanBtan(1)求角B的大小；(2)设a=3,b=3(i)求c的值；(ii)求tan(2A−B)的值．17.如图所示，在四棱锥S−ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，∠CDA=90∘，点S在平面ABCD上的投影为线段AD的中点O,AD=2SO=2BC=2CD=4,E,F分别是线段SA,SB(1)求证：EF/​/平面SOC；(2)求直线CE与平面SAB所成角的正弦值；(3)求点D到平面SAB的距离．18.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B，左、右焦点分别为(1)求椭圆的方程；(2)设斜率不为0的直线l过点F2，与椭圆交于M,N两点，点P,Q分别为直线AM,BN与y轴的交点，记▵AF2P,▵BF219.已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,S(1)求数列an的通项公式及S(2)设A=2Sn+a(3)设bn=an,&n=220.已知函数fx=12x2−acos(1)当a=b=1时，求函数fx在点π,f(2)若b=0且函数fx在0,π2(3)若0<a<1,x1,x2满足f′参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.A

6.D

7.C

8.A

9.C

10.2−i

11.−672

12.6

13.

①．29

；②．1314.

； ①．OD=12PA+15.5

16.【小问1】在▵ABC中，由tanBtanA即sinBcosA+由0<C<π，得sinC≠0,cosB=所以B=π【小问2】(i)由(1)及余弦定理，得63=b整理得c2−3c−54=0，而c>0，解得所以c=9．(ii)由正弦定理asinA=由a<b，得A<B，则cosA=因此tan2A=所以tan(2A−B)=

17.【小问1】证明：∵点S在平面ABCD上的投影为线段AD的中点O,∴SO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是直角梯形，∠CDA=90∴BO⊥DO，且BO=DO=2，如图，以O为原点，分别以OB,OD,OS方向为x轴，y轴，由题意可得O0,0,0,A0,−2,0所以OS=0,0,2,设平面SOC的一个法向量n1则n1⋅令x1=1，故∵EF∵EF⊄平面SOC，∴EF//平面SOC．【小问2】由(1)AS=0,2,2设平面SAB的一个法向量n2则n2⋅令x2=1，则y2设直线CE与平面SAB所成角为θ，∴sin所以直线CE与平面SAB所成角的正弦值为42【小问3】设点D到平面SAB的距离为d，由(1)AD则d=AD所以点D到平面SAB的距离为4

18.【小问1】由点T(1,32)在椭圆x得2a=4，即a=2，于是14+(所以椭圆的方程为x2【小问2】由(1)知A(−2,0),B(2,0),F2(1,0)由x=my+13x2+4y2=12直线AM的方程为y=y1x1+2(x+2)，令同理得点Q的纵坐标yQ=−2所以S=3|m⋅

19.【小问1】设等差数列an的公差为d由题意得S3=3故数列an的通项公式an=n【小问2】由(1)得A=2当且仅当n=19n，即∵n∈N∗，当n=4时，A=934；当所以当n=4时，A取得最小值394【小问3】当n=1时，b1当i≠2k时，bii=2∴=(=2

20.【小问1】当a=b=1时，f′x∴f′π所以函数fx在点π,fπ处的切线的斜率为【小问2】当b=0时，f′x因为fx在0,π2上是单调递增函数，所以f′令gx=x+asin当a≥−1时，gx令px=x−sinx,p′x即px>p0=0，所以当a<−1时，g′0=1+a0,g′π2所以存在唯一x0∈0,所以当x∈0,x0