2021年新高考专用数学押题23 统计案例（解答题）（解析版）

精选23统计案例（解答题）

1.求线性回归方程的步骤：

（1）先求x、y的平均数H

次方__

（2）套公式求出$和6的值：$=『------------,a=y-^xx；

一元丫

i=l

（3）写出回归直线的方程.

2.独立性检验的题目直接根据题意完成完成2x2列联表，直接套公式求出K?，对照参数

下结论.独立性检验三个步骤：

（1）根据样本数据制成2x2列联表；

n(ad-be)1

（2）根据公式K?=

9n=a+b+c+d,计算K?的值;

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

（3）查表比较K?与临界值的大小关系，作统计判断.

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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1.2020年4月底，随着新冠疫情防控进入常态化，为了促进消费复苏增长，上饶市开展“五

一消费黄金周”系列活动，并发放忆元电子消费券.活动过后，我们随机抽取了50人，对是

否使用过电子消费券进行调查，结果如下表：

年龄（单位：岁）[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)

抽取人数2101312103

使用过消费券的人数1913861

若以“年龄40岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2x2列联表，并判断是否有99%的把

握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关.

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计

使用过消费券的人数

没有使用消费券的人数

合计

参考数据：

P(K2>Q0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K=(a+b)(L)(a+)c)(b+d)'其中-

【答案】表格见解析，有99%的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄

有关

【解析】由以上统计数据填写下面2x2列联表，如下：

年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数合计

使用过消费券的人数231538

没有使用消费券的人数21012

合计252550

根据公式计算K「。；器黑”

所以有99%的把握认为使用电子消费券与按照40岁为分界点的人的年龄有关.

2.万众瞩目的第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了增强学生的冬奥

会知识，弘扬奥林匹克精神，某学校举办了冬奥会知识竞赛，为了了解本次竞赛学生成绩情

况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为〃)

进行统计.作出样本分数的茎叶图，并按照［50,60)、［60,70)、［70,80)、［80,90)、［90,100］的分

组作出频率分布直方图，由于扫描失误，导致部分数据丢失，可见部分如图所示.据此解答

如下问题:

（1）求出样本容量〃，并在频率分布直方图中将丢失的部分补充完整;

（2）在抽取的学生中，规定：比赛成绩不低于70分为“良好”，比赛成绩低于70分为“非良

好”请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有97.5%的把握认为“比赛成绩是否良好

与性别有关''?

非良好良好总计

男生20

女生25

总计

n(ad-be)2

参考公式及数据：K2n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

pgK。）0.10D.050.0250.0100.0050.001

K。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）50,答案见解析；（2）表格见解析，有97.5%的把握认为比赛成绩是否良好

与性别有关.

【解析】（1）由茎叶图知，分数在［50,60）的人数有6人，［80,90）的人数有4人,

由频率分布直方图得分数在［50,60）的频率为0.012x10=0.12,

故样本容量0，神数在—的频率为0

,分数在［80,90）的频率为国

s....,补全频率分布直方图如图所示:

0.040

0.024

0.016

0.012

0.008

（2）比赛成绩不低于70分的频率为应

所以良好的学生人数为I国―I人.

故根据已知条件完成2x2列联表:

非良好良好合计

男生52025

女生131225

合计183250

故有97.5%的把握认为比赛成绩是否良好与性别有关.

3.根据对某商品近5个月的调查数据进行统计，得到该商品的月销售单价x（单位：元/件）

与月销售量M单位：千件）之间有如下对应关系：

1

a4568

r5643

（1）建立y关于x的回归直线方程；

（2）根据（1）的结果，若该商品成本为3元/件，则月销售价x为何值时（“不超过12）,月

利润预计值最大？（结果保留两位小数）

【答案】⑴|冈------（2）月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大.

【解析】（1）00

Q24568

B75643

回晅013

201回回

HI，所以回

臼……I，所以y关于x的回归直线方程为何

（2）依题意得利润回

当回时，/（幻最大,

所以月销售价为7.85元/件时，月利润预计值最大.

4.高三学生小明这段时间比较焦虑，下表记录了小明高三阶段前四模拟考试的数学成绩:

第郸考试1a&&

数学成绩及回回回回叵1

（1）由散点图可以推断小明的数学成绩建第郸考试线性相关，请预测小明在第四考

试（高考）的数学成绩大约为多少分？

（2）为取得更好的成绩，他现在准备突破导数问题，现假定他在训练某道解答题时发现有

两种方法可以求解；第一种方法需要重独立步骤：每个步骤解题正确的概率为国，第二

种方法需要生•独立步骤：每个步骤解题正确的概率为厄一1，若以最终解题正确的概率高

低为决策依据，小明在解该道导数题时应选择哪种方法？

参考公式：回归直线方程［叵］］的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为

，区.

【答案】（1）回分;（2）选择第一种方法.

［解析］（1）（0I,［s

0

则线性回归方程为|回卜

当回~1时，|回~I,预测第强的数学成绩约为国分；

（2）利用第一种方法解题正确的概率为|回

利用第二种方法解题正确的概率为I回I，

因为旧所以选择第一种方法.

5.据我国一项专题调查显示，北京市高级职称知识分子中竟有高达75.3%的人处于亚健康

状态，更令人担忧的是85%以上的企业管理者处于慢性疲劳状态或亚健康状态，这是由他

们的特殊工作、生活环境和行为模式所决定的.亚健康是指非病非健康的一种临界状态，如

果这种状态不能及时得到纠正，非常容易引起身心疾病.某高科技公司为了解亚健康与性别

的关系，对本公司部分员工进行了不记名问卷调查.该公司处于正常工作状态的员工（包括

管理人员）共有10000人.其中男性员工有6000人，女性员工有4000人，从10000中用分

层抽样的方法随机抽取了500人的样本，以调查健康状况.

（1）求男性员工、女性员工各抽取多少人？

（2）通过不记名问卷调杳方式，得到如下等高条形图：

其中I区||、旧根据以上等高条形图，完成下列2x2列联表;

健康亚健康总计

男员工

女员工

总计500

问能否有99%的把握认为亚健康与性别有关？

n(ad-bc)2

附：K2,n=a+b-^-c+d.

(a+6)(。+c)(c+d)(b+d)

P（K?之岛）0.500.250.050.0250.010

0.4551.3213.8405.0246.635

【答案】（1）300人；200人；（2）列联表见解析，能有99%的把握认为亚健康与性别有关.

【解析】（1）因为样本容量与总体的比例为0

所以男性员工应抽取0人，女性员工应抽取回人;

（2）由等高条形图可知样本中男员工处于亚健康人数为

样本中女员工处于亚健康人数为应

完成2x2列联表为

健康亚健康总计

男员工24060300

女员工18020200

总计42080500

根据列联表中的数据，得到0

因此，能有99%的把握认为亚健康与性别有关.

6.从集市上买回来的蔬菜仍存和残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的x表示清洗

的次数，），表示清洗1次后1千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）.

（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，|回|与局聊

一个适宜作为清洗X次后1千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型：（给出判断即可不必

说明理由）

（2）根据判断及下面表格中的数据，建立y关于x的回归方程:

XI2345

y4.52.21.41.30.6

000

回回

嘀

().1

32100.09-8.70.9

2

表中I区卜|回

附：①线性回归方程|回|中系数计算公式分别为a

叵

【答案】（1）散点图见解析，0；（2）ra

【解析】（1）散点图如图,

回一

（2）由题知，LE

故所求的।可归方程为国

7.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率

分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败.

（1）求图中项勺值；

（2）根据已知条件完成下面2x2列联表，并判断能否有宜的把握认为“晋级成功”与性别

有关？

0

（参考公式：,其中Ls------1)

旧——0.400.250.150.100.050.025

回0.7801.3232.0722.7063.8415.024

【答案】（1）|区］（2）表格见解析，有.

【解析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,

可知|区］解得国

（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为|_g二_

所以晋级成功的人数为|后~|（人），填表如下:

晋级成功晋级失败合计

男163450

女94150

合计2575100

假设“晋级成功”与性别无关，

根据上表数据代入公式可得回

所以有超过回的把握认为“晋级成功”与性别有关.

8.某学习研究机构调研数学学习成绩对物理学习成绩的影响，随机抽取了100名学牛.的数

学成绩和物理成绩（单位：分）.

物理

合计

数学出

02418648

[^18121636

回一26816

合计343630100

（1）随机抽取一名同学，试估计其“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概

率；

（2）完成下面的2x2列联表.

物理

|回|回合计

数学

国一

0

合计

（3）根据（2）中的数据，判断是否有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.

眄10.0500.0100.001

k3.8416.635410.828

付尸=___________________________

（4+b）（c+d）（〃+c）（b+d）

【答案】（1）目：（2）见解析；（3）有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.

【解析】（1）数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分的学生有：|臼

人,所以“数学考分不低于60分，且物理考分不低于50分”的概率为0；

（2）2x2列联表如下表所示:

物理

|回回合计

数学1

|回|回国回

|回回国

合计回

（3）由（2）中的数据，得回

所以有99%把握认为学生的数学成绩对物理成绩有影响.

9.垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污

染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调杳产生的垃圾数量，采月简单随机抽样的方法

抽取20个县城进行了分析，得到样本数据__________________,其中由1所别表示第

并计算得I

Qf县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨）

HHH01.

，，，

（1）请用相关系数说明该组数据中建脚间的关系可用线性回归模型进行拟合;

（2）求强于卬的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总

量约为多少吨？

参考公式：相关系数对于一组具有线性相关关系的数据

其回归直线叵的斜率和截距的最小二乘估计分别为

回一

【答案】（1）答案见解析：⑵252.5吨.

【解析】（1）由题意知，相关系数

因为些耳的相关系数接近1，所以@J声间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模

型进行拟合.

（2）由题意可得,

所以0国

所以该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为252.5吨.

10.机动车行经人行横道时，应当减速慢行：遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗

称“礼让行人”.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人''行为

统计数据：

违章驾驶员人数1201059580

（1）请利用所给数据求违章人数四月份生间的回归直线方程回

（2）预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数;

（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”

行为与驾龄的关系，得到下表:

不礼让行人礼让行人

驾龄不超过1年2416

驾龄1年以上1614

能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？

0

参考公式:,0

（其中a）

晅0.150.100.050.0250.010

垃2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】（1）向;（2）46人；（3）没有97.5%的把握.

0

【解析】（1）由表中数据知,

所以,所以0

故所求回归直线方程为回

（2）由（1）知，令|凶|,则血人.

（3）提出假设同:“礼让行人''行为与驾龄无关,

由表中数据得回，

根据统计知，没有97.5%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关.

11.2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本

校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检

数据，并得到如下图的频率分布直方图.

年级名次

是否近视Ls-----

近视4030

不近视1020

（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精

确到0.01）；

（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习

成绩是否有关系，对抽取的io。名学生名次在厄一I名和后恪的学生的体检数据

进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认

为视力与学习成绩有关系？

（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护

眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在|国|名的概率.

旧一0.100.050.0250.0100.005

2.7063.8415.0246.6357.879

其中国

【解析】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为I叵］I人

第五组的频数为回~I人

所以前四组的频数和为旧I人，

而前四组的频数依次成等比数列，

故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人，

所以中位数落在第四组，设为M

因此有回（阈国------I）,

解得|区】所以中位数是4.74；

（2）因为凶，

所以回，所以|国|，

因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.

（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次七国二［名和

国|名的分别有2人和4人，

从6人中任意抽取2人的基本事件共15个，

至少有1人来自于1〜100名的基本事件有9个，

所以至少有1人的年级名次在I臼I名的概率为0

12.如图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020.

年

生

活

垃

圾

无

害

化

处

理

量

卜

明;

加以证

关系数

请用相

系，

，的关

y与

拟合

模型

回归

线性

可用

出，

图看

折线

（I）由

处理

害化

圾无

活垃

国生

22年我

测20

,预

0.01）

确到

数精

程（系

归方

，的回

y关于

建立

（2）

量:.

附注:

回

.

82亿吨

|,1.

行一

（2）|

析；

见解

）答案

】（1

【答案

下:

由如

，理

关系

相关

的正

较强

存在

f之间

，y与

看出

线图

）由折

】（1

【解析

0

0

0-

因为

，

0

所以

因为区I，故y与，之间存在较强的正相关关系；

回I

（2）由（1）,结合题中数据可得，0

回所以y关于/的回归方程|回

2022年对应的t值为9,故|国],

预测2022年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨.

13.第十八届中国国际农产品交易会于11月27日在重庆国际博览中心开幕，我市全面推广

“遂宁红薯''及"遂宁鲜''农产品区域公用品牌，并组织了100家企业、1000个产品进行展示展

销，扩大优质特色农产品市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产品的社会认知度和美誉

度，让来自世界各地的与会者和消费者更深入了解遂宁，某记者对本次农交会进行了跟踪报

道和实际调查，对某