ch8 电路的频率响应

第8章电路的频率响应

8－1多个正弦激励下稳态电路的响应

8－2非正弦周期激励下稳态电路的响应

8－3正弦稳态的网络函数

8－4RLC电路的频率响应

8－5并联谐振和串联谐振

§8－1多个正弦激励下稳态电路的响应

图8-1所示电路含有多个独立源，且各个电源的频率不同，要求某支路电流ik（t）?可根据各自相应的相量模型用相量法分别求解各响应分量，再写出各响应分量相应的时域表示式ik1（t）、ik2（t），…，最后运用叠加定理求得例8-1

如图所示电路，已知求uC(t)。

解题中两个正弦电源的频率不同，不能画出两个独立源共同作用时的相量模型。但是在求解每一个独立源单独作用的响应时，仍可根据各自的相量模型进行求解。（1）uS(t)单独作用时，相应的相量模型如图（b），其中则可得（2）iS(t)单独作用时，相应的相量模型如图8-3（c）所示，其中则可得所以（3）由叠加定理得图8-4两个不同频率正弦量的叠加§8－2非正弦周期激励下稳态电路的响应外施激励为一个或多个按正弦规律变化的正弦稳态电路的响应已做了分析，但在实际中，还会出现大量的非正弦量。这些按非正弦规律变化的电压或电流，如果能按一定规律周而复始地变动，就称为非正弦周期量（nonsinusoid）。

非正弦周期激励下稳态电路的响应，可以应用叠加定理进行计算。分析时首先应用傅立叶级数（fourierseries）把非正弦周期信号分解为许多不同频率的正弦量之和，然后应用上节所述方法分别计算各种频率正弦量作用下的响应，再将这些响应分量的瞬时表示式相加就可求得所需结果。其实质是把非正弦周期电路的计算转化为一系列正弦电路的计算，这样仍可利用相量法进行分析。

应用傅立叶级数，把非正弦周期信号分解为一个直流分量和一系列频率成整数倍的正弦成分之和，其中频率与非正弦周期信号频率相同的分量称为基波(fundamentalcomponent)或一次谐波分量(thefirstharmonic)，其他各项统称为高次谐波(higher-orderharmonic)，即2次、3次、4次、…、n次谐波、…。几种典型的非正弦周期量的波形，它们的傅立叶级数展开式分别为

k为奇数图（b）所示等腰三角波k为奇数图（a）所示矩形波（rectanglewave）（a）（b）（c）图8-5几种典型的非正弦周期信号图（c）所示锯齿波（sawtoothwave）例8-2

图（a）所示RLC电路，已知R=10Ω，ωL=10Ω，1/ωC=20Ω，求电路中的电流i（t）。其中外施电压源为解（1）直流分量US1=10V单独作用时的等效电路如图（b）所示，由图可得（2）基波分量作用时的相量模型如图（c）所示，其中（a）

（b）

（c）

（d）

（a）

（b）

（c）

（d）

（3）3次谐波分量作用时的相量模型如图（d）所示，其中（4）由叠加定理得，电路中的电流为i（t）的波形如图所示。可以看出，在非正弦周期激励下，稳态电路的响应仍为一个非正弦周期量，其周期与一次谐波分量相同。非正弦周期量的有效值

设非正弦周期电压为则该电压的有效值为

正弦周期电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根

同理非正弦周期电流的有效值I

为非正弦周期电路的平均功率

设图示二端网络N的端口电压、电流是非正弦周期量，其中电压和电流的乘积展开后为下面四项：

U0I0；以及以上四项对时间t在周期T内积分可得其余两项的积分结果为零。这样可以得到网络所吸收的平均功率为表明，非正弦周期电路的平均功率等于直流分量与各次谐波产生的平均功率之和。在非正弦周期电路中，叠加定理对平均功率是适用的。例8-3试求二端网络吸收的平均功率。其中该二端网络端口电压、电流分别为

P2=0WP=P0+P1+P2+P3=10+12.5+0+7.07=29.57W§8－3正弦稳态的网络函数

对单输入单输出电路来说，正弦稳态网络函数指的是响应（输出）相量与激励（输入）相量之比，记作H(jω)，即

其中是输入正弦激励的相量形式，可以是电压源或电流源的相量，为响应相量，是要研究的某条支路的电压或流过某条支路的电流的相量形式，由于激励和响应都是频率的函数，所以网络函数又称为频率响应函数，简称频响。当响应和激励属于电路的同一端口时，该网络函数称为策动点函数（drivingpointfunction）或驱动点函数。根据输入、输出的不同，策动点函数又分为以下两种：策动点阻抗函数和策动点导纳函数。策动点阻抗函数的输入是电流源，输出是电压；策动点导纳函数的输入是电压源，输出是电流。当响应和激励属于电路的不同端口时，则该网络函数称为转移函数（transferfunction）。根据输入、输出的不同，转移函数分为以下四种：电压转移函数、电流转移函数、转移阻抗函数和转移导纳函数。

（c）电压转移函数

输入、输出为两个不同端口的电压时为电压转移函数。（d）电流转移函数

（e）转移阻抗函数

（f）转移导纳函数输入、输出为两个不同端口的电流时为电流转移函数；输入是电流，输出为电压转移阻抗函数；输入是电压，输出为电流为转移导纳函数。网络函数H(jω)是频率ω的复值函数，表征了在单一正弦激励作用下，响应相量随频率ω变化的情况，写作

（8-7）其中|H(jω)|是H(jω)的模，它是ω的实函数，反映了响应与激励的幅值之比（或有效值之比）随ω变化的规律，称作电路的幅频特性。以ω为横轴，H(jω)为纵轴，绘出|H(jω)|随ω的变化曲线称为幅频特性曲线。

3.网络函数的求解方法。网络函数是由电路的结构和参数来决定的，与电路的输入无关。在电路的结构和参数已知的条件下，求解电路的网络函数可以用外施电源法。另外，求解策动点阻抗或导纳时，如果只有阻抗或导纳的串并联组合，则直接用阻抗的串并联公式或Y－Δ的等效变换计算即可。求解转移函数时，可以用分压、分流公式直接进行计算。

例8-4

求图（a）所示电路在负载端开路时的策动点阻抗

/和转移阻抗

/。

解求解策动点阻抗时，可以直接利用阻抗的串并联公式求转移阻抗时，可外加电流源，则可见，所求的策动点阻抗和转移阻抗皆是频率的函数，随着频率的改变，相应的阻抗也会发生变化。§8－4RLC电路的频率响应

当正弦激励的频率变化时，RLC电路的响应也会发生相应的变化，RLC电路的响应随频率变化的这种关系，称为RLC电路的频率响应（frequencyresponse）。电路的电压转移函数为电路的电压转移函数为所以（8-9）（8-10）（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线图8-12RLC串联电路的幅频特性曲线和相频特性曲线由|H(jω)|可知，当ω=0或ω=∞时，|H(jω)|=0；当1-ω2LC=0时，即时，|H(jω)|=1达到最大值；当ω高于或低于ω0时，|H(jω)|均将下降，并最终趋于零。可见该电路具有带通（bandpass）滤波的特性，其中的ω0称为中心频率。为了表明RLC电路对不同频率信号的选择性，通常将所对应的频率范围定义为通频带，在时，电路所损耗的功率恰好为时的一半，因此转移函数时所对应的两个频率点ω1、ω2分别称为上半功率频率和下半功率频率（half-powerfrequencies），前者高于中心频率也称为上截止频率（uppercutofffrequencies），后者低于中心频率也称为下截止频率（lowercutofffrequencies）。

时，可得，即解得因为ω应始终为正值，所以上式开方项前均取正号，则得两个截止频率为

（8-11）ω0与ω1、ω2的关系为上截止频率和下截止频率的差值就是通频带，通频带的宽度即带宽（bandwidth）为图8-13所示电路是由RLC并联组成的单口网络，设该单口网络的等效导纳为Y，则下面来分析RLC并联电路的频率响应。若输出取自电流，则电流转移函数为（8-13）（8-13）由电流转移函数知（8-14）（8-15）同理，在时，两个截止频率分别为

（8-16）

因此RLC并联电路的带宽为（8-17）

对于RLC电路来说，可以用品质因数来衡量其幅频特性曲线的陡峭程度，所谓品质因数（qualityfactor）指的是中心频率对带宽的比值，通常用Q来表示，即（8-18）

在一定时，带宽BW与品质因数Q成反比，Q越大，BW越小，通频带越窄，曲线越尖锐，电路对偏离中心频率信号的抑制能力越强，对信号的选择性越好；反之，Q越小，带宽BW越大，通频带越宽，曲线越平坦，电路对信号的选择性越差。所以品质因数Q是描述电路频率选择性优劣的物理量。（a）幅频特性曲线（b）相频特性曲线图8-14RLC串联电路对不同Q值的的幅频特性曲线和相频特性曲线对RLC串联电路来说，其品质因数Q为（8-19）对RLC并联电路来说，其品质因数Q为§8－5并联谐振和串联谐振

8.5.1并联谐振图示RLC并联电路从端口a、b看进去的等效导纳为如果在端口外接一个电流源，在电流源的电流一定时，端口两端电压为此时等效导纳的虚部为零，单口网络端口两端的电压将达到最大值，而且电压与电流同相，此时称电路达到了谐振状态。谐振时，单口网络的等效导纳Y=G的模达到最小值，而等效阻抗Z=1/G=R的模则达到最大值。要求解RLC并联电路达到谐振时的频率，根据Im[Y]=0得称为谐振频率。可见谐振频率恰好等于带通滤波电路的中心频率，因此前面所说的中心频率其实就是带通滤波电路的谐振频率。谐振时，单口网络端口两端电压为谐振时各元件上流过的电流分别为可见电容和电感的导纳和等于零，电容和电感并联的支路相当于开路，单口网络等效为纯电导，流过电导的电流与外施电流源电流相等。谐振时的品质因数将品质因数Q代入可见所以并联谐振又称为电流谐振。谐振时电路的相量图如下图所示图GCL并联电路谐振时的相量图8.5.2串联谐振右图所示电路从端口a、b看进去的等效阻抗为其中根据谐振条件，即，可知谐振频率串联谐振时流过单口网络端口的电流为各元件上的电压分别为表明谐振时电容电压和电感电压大小相等方向相反，此时