ch5直流动态电路分析-2

5.5二阶电路的分析凡是能用二阶线性常微分方程描述的动态电路称为二阶（线性）电路。5.5.1二阶串联电路的零输入响应

若电容的初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0，电感中的初始电流i(0+)=i(0－)=I0。在t=0时合上开关S。图RLC串联电路的零输入响应+uC

+uL

+uR

St=0CR

iL按照KVL

将代入上式得

上式是一个以uC为未知量的二阶、线性、常系数、齐次微分方程，设齐次解为Kest，将它代入上式，可得特征方程图RLC串联电路的零输入响应+uC

+uL

+uR

St=0CR

iL根号前有正负两个符号，所以特征根有两个值。特征根是电路的固有频率，它将决定零输入响应的形式。由于R、L、C参数不同,特征根S1，S2可能出现三种不同情况：其特征根为(2)当

(R/2L)2=1/LC时，S1，S2是两个相同负实根；(1)当

(R/2L)2>1/LC时，S1，S2是两个相异负实根；(3)当

(R/2L)2<1/LC时，S1，S2是两个共轭复根，其实部为负数。所以，RLC电路的零输入响应也分为三种情况来讨论。时，称为过阻尼情况。1.此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，过渡过程为非振荡放电过程，其通解可表示为其中K1和K2为两个待定的系数。由电路的初始条件决定，该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压和电感电流的初始值时，称为过阻尼情况。1.此时特征根是两个相异实根，而且均为负根，过渡过程为非振荡放电过程，其通解可表示为其中K1和K2为两个待定的系数。由电路的初始条件决定，该电路有两个储能元件，相应的初始条件有两个，即电容电压和电感电流的初始值因，所以有得将这两个初始条件代入式以上两个方程联立求解，可得常数K1和K2。把K1和K2代入式整理可得电容电压电路电流根据

并利用

可得

电感电压根据可得U0≠0，I0=0相当于充了电的电容器对没有电流的线圈放电的情况。因为S1，S2是两个负实数，所以电容电压由两个单调下降的指数函数组成，其放电过程是单调的衰减过程。又因为

S1>S2，根据电流i可知

，放电电流i始终为负，在t=0时，i=0，在

t=∞时电容的电场能量全部为电阻消耗，电流也是零。在中间某一时刻t=tm时，电流i数值最大。由di/dt

=0，可算出图非振荡放电过程uC

、uL、i随时间的变化曲线Otm

2tmtiuC，uL，i

U0uLuCU0非振荡放电过程中，在0~tm期间，电容中的电场能量一部分消耗在电阻上，另一部分则变为电感中的磁场能量。当t>tm时，电容中剩余的电场能量和电感中的磁场能量都逐渐消耗在电阻上。当t=tm时，电感电压过零点，当t=2tm时，电感电压为最大。图非振荡放电过程uC

、uL、i随时间的变化曲线Otm

2tmtiuC，uL，i

U0uLuCU0时，称为临界阻尼情况2.此时特征根是两个相等的负实根，

S1=S2=－R/2L=

－α，微分方程的通解为由初始条件

因所以有

将这两个初始条件代入式得电路电流时，称为欠阻尼情况

3.此时过渡过程为振荡放电过程其中

特征根为

可得

其中可见uC(t)是衰减振荡的，振荡频率为

图振荡放电过程uC随时间的变化曲线振荡频率与电路参数有关，而与电源的频率无关。称为自由振荡。

从能量关系看，在振荡放电过程中，电容中的电场能量和电感中的磁场能量反复交换，电容反复地充电放电，其两端电压和电路电流以及电感电压均周期变化，这种过程称为电磁振荡。由于电阻消耗能量，故振荡过程中电磁能量不断减少，即电容电压和电路电流不断减少，最终全部消耗在电阻上，各电压电流都衰减到零。放电过程中电容电压和电路电流分别为：其中当R=0时，α=0，则电容电压和电路电流分别为可以看出：uC，i

的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为ω0

。可以看出：uC，i

的振幅并不衰减，这时的响应为等幅振荡，其振荡角频率为ω0

。当L、C为任意正值时，可以得出对所有t≥0，总有即任何时刻储能总等于初始时刻的储能，能量不断往返于电场与磁场之间，永不消失。综上所述，电路的零输入响应的性质取决于电路的固有频率s，固有频率可以是复数、实数或虚数，从而决定了响应为衰减振荡过程、非振荡过程或等幅振荡过程。例5-14

如图所示电路中，已知US=10V，C=1μF，R=4KΩ，L=1H，开关S原来闭合在1点，在t=0时，开关S由1合向2点。求（1）uC，uR，uL，i；(2)imax。图5-42例5-14电路图

解

（1）在t=0

时，电容用开路线代替，得

t

0后该电路无激励，为零输入响应。由R、L、C参数知放电过程为非振荡的，特征根为

（2）电流最大值发生在时刻，即例5-15

某RLC串联电路的R=1

，固有频率为－3±j5。电路中的L、C保持不变，试计算：（1）为获得临界阻尼响应所需的R值；（2）为获得过阻尼响应，且固有频率之一为s1=－10时所需的R值。解

（1）固有频率

现要使

（2）要使

解得

R=2.23

RLC串联电路，若电容C原先已充电，其初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0

，电感中的初始电流i(0+)=i(0－)=I0

。在t=0时合上开关S，由于电路中有直流激励源，即为RLC串联电路完全响应。5.5.2二阶串联电路的完全响应对图示电路，按照KVL可写出将代入上式得

其解由该方程的特解（稳态分量）和对应的齐次微分方程的通解（暂态分量）组成。稳态时电容相当于开路，故特解

uCP=US齐次解设为

uCh=Kest

，得特征方程

LCs2+RCs+1=0

其特征根为：由于RLC参数不同,特征根s1，s2可能是两个相异实根、两个共轭复根或两个相等的实根，所以RLC串联电路的全响应也分为三种情况来讨论。

为过阻尼情况。特征根是两个相异实根，而且均为负根，其通解可表示为1.2.临界阻尼情况。特征根是两个相等的负实根，即

S1=S2=－R/2L=

－α，其通解为

3.为欠阻尼情况。此时特征根是两个共轭复根，则特征根为

其中其通解为

以上几式中K1和K2为两个待定的系数。由电容电压和电感电流的初始值uC(0+)=uC(0－)=U0

，i(0+)=i(0－)=I0决定。例5-16

电路如图（a）所示，当t

0时，uS(t)=－1V，在t=0时，uS(t)突然增至1V，以后一直保持为此值，如图（b）所示。试求电容电压和电感电流。

例5-16电路及输入波形解t=0

时，电容用开路线代替，电感用短路线代替，可知uC(0－)=－1V，i(0－)=0A，根据电容电压和电感电流的连续性有

uC(0+)=－1V，i(0+)=0A，t

0后为全响应，电路方程为

因为R=0

，所以

对应的特征根为s1，2=±j

，其通解为

根据uC(0)=－1V，i(0)=0A，得

K1=－2，K2=0

所以

5.5.3二阶并联电路的响应

图GCL并联电路如图所示为一GCL并联电路,若电容C原先已充电，其初始电压uC(0+)=uC(0－)=U0

，电感中的初始电流i(0+)=i(0－)=I0。在t=0时合上开关S，按照KCL可写出代入上式得

这是一个以iL为未知量的二阶、线性、常系数、非齐次微分方程，可看出：把串联电路方程中的uC换成iL，L换成C，C换成L，R换成G，US换成IS就会得到以上并联电路的方程。因此按照上述对偶原理，不难从已有的RLC串联电路的解答得到GCL并联电路的解答，此处不再详解。

例5-17

图所示GCL并联电路，已知u(0)=0V，iL(0)=0A，IS=1A(t>0)，L=1H，C=1F。求：t>0时iL(t)

的响应，若(1)G=10S，(2)G=2S，(3)G=0.1S。解该电路为GCL并联电路的零状态响应，微分方程为根据RLC串联电路和GCL并联电路的对偶原理，得特征根为且特解iLP=IS=1A(1)G=10S时，(G/2C)2>1/LC

属于过阻尼，特征根为

则通解根据u(0)=0V，iL(0)=0A，得由此解得所以(2)G=2S时，(G/2C)2=1/LC属于临界阻尼，特征根为s1=s2=－1则通解

根据u(0)=0V，iL(0)=0A得由此解得K1=K2=－1，所以(3)G=0.1S时，(G/2C)2<1/LC属于欠阻尼，特征根为则通解

根据u(0)=0V，iL(0)=0A得由此解得K1=－1，K2=－α/ω=－0.05所以三种情况iL的波形如图5-46所示。图5-46例5-17的电流波形5.4一阶电路的阶跃响应和冲激响应

5.4.1一阶电路的阶跃响应1．阶跃函数单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义t1ε(t)O该函数在（0

，0+）时间内发生单位跃变，在t=0时的值未定（可取0、1/2或1）。在时间t0时发生跃变的单位阶跃函数为延时单位阶跃函数，用ε(t-t0)表示，其定义为t1ε(t)t0O利用阶跃函数的组合可以方便地表示许多函数。例如下图所示的矩形脉冲函数可以看成阶跃函数的组合，即tAf(t)Ot0tAf1(t)Ot-Af2(t)O2．一阶电路的阶跃响应零状态电路对（单位）阶跃函数的响应称为（单位）阶跃响应，并用s（t）表示。如果电路是一阶的，则其响应就是一阶电路的阶跃响应。由于时不变电路的电路参数不随时间变化，因此，若单位阶跃函数作用下的响应为s（t），则在延时单位阶跃函数作用下的响应为s（t-t0

），这一性质称为时不变性。如果电路的输入是幅度为A的阶跃函数，则根据零状态的比例性可知As（t）即为该电路的零状态响应。

例5-11给如图（a）所示RC串联电路加一脉冲电压如图（b）所示，试求电容电压。+

uC

RC

+uS

tUsus(t)Ot0图（a）图（b）解此题可用两种方法求解方法一将电路的工作过程分段求解在0≤t≤t0区间为RC电路的零状态响应在t0

≤t≤∞区间为RC电路的零输入响应方法二将us(t)用阶跃函数表示，求阶跃响应将us(t)用阶跃函数表示为

作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为利用叠加定理，得5.4.2一阶电路的冲激响应1．冲激函数单位冲激函数用δ(t)表示，其数学定义为单位冲激函数又称为δ函数，它在t≠0处为零，但在t=0时为奇异。图（a）矩形脉冲OtOtδ(t)图（b）单位冲激函数δ(t)1单位冲激函数又称为δ函数，它在t≠0处为零，但在t=0时为奇异。单位冲激函数可看作是如图（a）所示矩形脉冲在Δ趋于0时的极限。当其宽度趋于零时，则脉冲的幅度就变为无限大，而面积仍为1。冲激函数所包含的面积称为其强度，函数是用它的强度而不是用它的幅度来表征的。2．冲激函数常数A与δ(t)的乘积称为冲激函数，此冲激函数的积分表明函数的图形面积为A，A是该函数的强度。Aδ(t)的图形如图（a）所示。延时t0出现的冲激函数可记为，它的图形如图（b）所示。OtAδ(t)AOtδ(t-t0)t01图（a）Aδ(t)的图形图（b）δ(t-t0)的图形冲激函数的两个重要性质：1）冲激函数是阶跃函数的导数根据单位冲激函数的定义，可得即单位冲激函数是单位阶跃函数的导数。

（2）冲激函数的筛分性

若函数f(t)在t=0处连续，有

若函数f(t)在t=t0

处连续，有

利用冲激函数的筛分性，可以得到两个重要的积分公式

这说明，冲激函数能把f(t)在冲激存在时刻的函数值“筛选”出来，这一性质称为冲激函数的筛分性。2．一阶电路的冲激响应零状态电路对单位冲激函数的响应称为单位冲激响应，并用h（t）表示。求冲激响应时，可以分两个阶段进行。（1）在t=0

到t=0+

的区间内，这是电路在冲激函数作用下引起的零状态响应，电容电压或电感电流发生跃变，而储能元件得到能量；（2）t＞0+后电路中的响应相当于由初始状态引起的零输入响应。

例5-12如图（a）所示RC并联电路，试求此电路在冲激电流源激励下的零状态响应。icAδ(t)RC+uc-解

在t=0

到t=0+

的区间内，电容支路相当于短路，等效电路如图5-36（b）所示。冲激电流Aδ(t)全部通过电容，对电容充电，致使电容电压发生变化，其值为图（a）icAδ(t)R图（b）t≥0+时，冲激电流源相当于开路，等效电路如图（c）所示。电容电压为icRC+uc-图（c）电容电流为上式说明了t<0时电容电流为零。t=0时只有冲激电流通过电容，（因为冲激电流量值很大，因而上式中t=0时第一项为有限值可以忽略）。t>0+时，电容电流以-A/RC为初始值按指数规律衰减。5.6动态电路的应用5.6.1微分电路

+uo

+uC

+ui

CR图RC微分电路设uc(0-)=0，输入信号ui是占空比为50%的脉冲序列。ui的脉冲幅度为U，在0≤t<tw时，电路相当于接入阶跃电压。由RC电路的充电过程，其输出电压为uoU

U0tt0T/2TuiU

tw图(b)RC微分电路的波形在T>t≥tw时，输入信号ui为零，输入端短路，电路相当于电容初始电压值为U的放电过程，其输出电压为uoU

U0tt0T/2TuiU

tw图(b)RC微分电路的波形当时间常数τ<<tw时，电容的放电过程很快完成，输出uo是一个峰值为

U的负尖脉冲.因为τ<<tw，电路充放电很快，除了电容刚开始充电或放电的一段极短的时间外，有

ui=uC+uo≈uC

因而输出电压可见输出电压uo近似地与输入电压ui对时间的微分成正比，因此习惯上称这种电路为微分电路。注意：在输入周期性矩形脉冲信号作用下，RC微分电路必须满足两个条件：（1）时间常数远小于输入脉冲的宽度，即τ<<tw；（2）从电阻两端取输出电压uo。+uo

+uC

+ui

CR图5-50RC积分电路5.6.2积分电路+uo

+uC

+