ch4电路的基本定理

第4章电路的基本定理4.1叠加定理和齐次定理4.2替代定理4.3戴维南定理和诺顿定理4.4最大功率传递定理4.5特勒根定理4.6互易定理4.7对偶原理4.1叠加定理和齐次定理4.1.1叠加定理

叠加定理研究电路中有多个激励时，响应与激励的关系。例4-1电路如图4-1（a）所示，试求流过电阻R2的电流i2及端电压ui。解列出左边网孔的网孔方程解得有（4-1）（4-2）每个支路电压或支路电流都由两部分组成，一部分只与独立电压源us有关，另一部分只与独立电流源is有关。可见叠加定理：在含有两个或两个以上独立源的线性电路中，任一支路的电流（或电压）等于每个独立源单独作用时在该支路上所产生的电流（或电压）的代数和。当某个独立源单独作用时，其它所有的独立源均置为零，独立电压源置零时用短路代替，独立电流源置零时用开路代替。另外，独立源单独作用，可以是一个独立源单独作用，也可以是一组独立源单独作用，但每个独立源只能作用一次。叠加定理只适用于线性电路中电流和电压的计算，因为功率与电流和电压是平方关系而非线性关系，所以叠加定理不能用来计算功率。另外，对含有受控源的电路运用叠加定理时，为使分析问题简单，受控源不单独作用，它和电阻一样，应始终保留在电路内。受控源的控制量将随不同电源的单独作用而相应变化。应用叠加定理求解电路的步骤如下：（1）将含有多个电源的电路，分解成若干个仅含有单个或少量电源的分电路，并标出每个分电路的电流或电压的参考方向。当某个电源作用时，其余不作用的电压源短路、电流源开路；（2）对每一个分电路进行计算，求出各相应支路的分电流、分电压；（3）将分电路中的电压、电流进行叠加，进而求出原电路中的各支路电流、支路电压。注意叠加是代数量相加，若分量与总量的参考方向一致，分量取“+”号；若分量与总量的参考方向相反，分量取“－”号。例4-2已知图4-2（a）所示电路中,R1=2kΩ,R2=1kΩ,R3=3kΩ,R4=0.5kΩ,us=15V,is=1.5mA,试利用叠加定理求解各支路电流。（a）（b）（c）例4-3求图4-3（a）所示电路中Ix。（a）（b）（c）4.1.2齐次定理齐次定理内容：当一个独立源作用于线性电路时，电路中任一支路上的电压或电流与独立源成正比。齐次定理常用于分析梯形电路。例4-4已知所示梯形电路中,R1=2Ω,R2=20Ω,R3=5Ω,R4=10Ω,R5=4Ω,R6=6Ω,求各支路电流。例4-5设图4-5所示电路是一线性电阻电路，已知：（1）当us1=0,us2=0时,u=1V；（2）当us1=1V,us2=0时,u=2V；（3）当us1=0,us2=1V时,u=1V；试求出us1和us2为任意值时电压u的表达式。4.2替代定理

替代定理(substitutiontheorem)也称置换定理，适合于线性和非线性电路。替代定理：在任意的具有唯一解的线性和非线性电路中，若已知第k条支路的电压uk和电流ik，无论该支路由什么元件组成，都可以把这条支路移去，而用一个电压源来替代，电压源电压的大小和极性与k支路的电压大小和极性一致；或用一个电流源来替代，这个电流源的大小和极性与k支路电流的大小和极性一致。若替代后电路仍有唯一的解，则不会影响电路中其它部分的电流和电压。例4-7已知图4-8（a）所示电路中，us1=18V,us2=15V,us3=20V,is=2A,R1=3Ω,R2=5Ω,R3=6Ω,R4=7Ω,R5=4Ω,R6=6Ω,求流过电阻R1的电流i1。4.3戴维南定理和诺顿定理

4.3.1戴维南定理对于任意一个含有独立源的线性单口网络N，就其端口而言可等效为一个电压源串联电阻支路，电压源的电压为该单口网络N的开路电压uoc，串联电阻Rab等于该网络N中所有独立电源为零（独立电源用短路代替，电流源用开路代替）时所得网络N0的等效电阻。

N的端口电压和电流为图所示的非关联参考方向，则端口的VAR为（4-7）图4-9戴维南定理电压源串联电阻支路称为戴维南等效电路。其中串联电阻也称为输入电阻

。例4-8电路如图4-11（a）所示us1=18V,us2=15V,is=2A,R1=6Ω,R2=3Ω,R3=4Ω,R4=6Ω,R5=5.6Ω,R6=10Ω,试求流过R6的电流i。若R6=15Ω，流过的R6电流又为多少？例4-9已知图4-12（a）所示电路中，is1=2A,is2=2A,R1=R2=R3=R4=1Ω,us=2V,求端口的VAR。例4-10已知图4-15（a）所示电路中,us=20V,R1=R2=2Ω,R3=1Ω,R4=7.8Ω,利用戴维南定理求流过R4的电流i4。诺顿定理：任何一个线性含源二端网络N就其端口而言，可等效为一个电流源并联电阻支路，电流源电流等于该有源单口网络端口的短路电流isc，并联电阻Rab等于该有源单口网络中所有独立电源不作用时相应的无源单口网络N0的等效电阻。isc和Rab并联组成的电路，称为诺顿等效电路。当端口电压和电流参考方向如图所示时，端口的VAR为图4-16诺顿定理图注意：不是任何单口网络都能化简为戴维南或诺顿等效电路。在求等效电路时，若算得的Rab为无穷大，戴维南等效电路不存在。若Rab为零，诺顿等效电路不存在。例4-11已知图4-17（a）中，us1=30V,us2=16V,R1=10Ω,R2=40Ω,R3=2Ω,用诺顿定理求流过电阻R3的电流i。图4-17例4-11图例4-12已知图4-18(a),is=4A,R1=1/2Ω,R2=1Ω,R3=1/3Ω,求诺顿等效电路。图4-18例4-12图4.4最大功率传递定理

常常希望负载能从单口网络获得的功率最大，这节讨论负载获得最大功率的条件。流过负载RL的电流若单口网络N已知，uoc和Rab为定值，当RL很大时，流过RL的电流i很小，RL的功率i2RL很小。如果RL很小时，功率同样也很小。RL在任意时刻的功率要使p有极值，应使由此可得又当RL=Rab时，p有最大值。即负载电阻RL等于线性含源单口网络的戴维南（或诺顿）等效电路中的等效电阻时，线性含源单口网络传递给可变负载RL的功率最大。为最大功率传递定理（最大功率匹配）。RL=Rab称为最大功率传递条件。此时负载所获得的最大功率若用诺顿等效电路，则（4-23）（4-24）例4-13已知图所示电路中，us1=5V,is=2A,R1=10Ω,R2=5Ω,R3=15Ω,求（1）RL获得最大功率时的值；（2）此时RL所获得的功率。解（1）先求虚线框内的戴维南等效电路用网孔分析法求解，列右边网孔的网孔方程（2）求负载电阻（3）所获得的最大功率为4.7对偶原理

电路中有许多明显的对偶关系，如电阻R的电压u与电流i的关系为；电导G的电压与电流的关系为；这些关系式中，如果把电压u与电流i互换，电阻R和电导G互换，对应关系可彼此转换。可以互换的元素称为对偶元素(dualisticelement)，如“电压”和“电流”，“电阻”和“电导”等。通过对偶元素互换能彼此转换的两个关系式（或两组方程）互为对偶关系（对偶方程）。如、。图4-28（a）为n个电阻串联电路，（b）为n个电导并联电路，图（a）的等效电阻图4-28电阻的串联和并联（a）

（b）

第k个电阻上的电压图（b）等效电导第k个电导上的电流在上述诸关系式中，如将电压和电流互换，电阻和电导互换，则对应串联和并联关系式可互相转换。再如图4-29所示两个平面电路，图（a）电路的网孔方程为（a）（b）表4-1列出部分对偶元素，供参考。1电阻R电导G7串联并联2电感L电容C8网孔节点3电压u电流i9网孔电流节点