2020年全国各地高考模拟试题《数列》解答题汇编(含答案解析)

全国各地高考模拟试题

《数列》解答题汇编（含答案解析）

1.（2019•河北模拟）已知数列｛。/满足m=2且加+1=3的+足・1（吒N*）・

（1）求证：数列｛板+〃｝为等比数列；

（2）求数列｛〃〃｝的通项公式.

（3）求数列｛。〃｝的前〃项和S〃.

2.（2019•怀化三模）设公比大于1的等比数列｛加｝的前〃项和为S〃，旦〃]=1,,

S322

b

数列｛为｝的前〃项和为乙，且b,』，,,二'（41）.

1

3bn.in+2

（I）求数列｛〃”｝及｛加｝的通项公式；

（II）设Cn=（Sn+1）（I-A-77,-1）,定义7b=0,若数列｛c“是单调递减数列,求实数

入的取值范围.

3.（2019•天津三模）已知等比数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃,a〃>0且。|43=36,。3+。4=9（。1+。2）.

（1）求数列（〃〃｝的通项公式；

（2）若s+1=3、求数列｛6〃｝及数列加｝的前〃项和力》.

（3）设c=1-----T------求｛Cn｝的前〃项和

n

（an+l）（an+1+l）

4.（2019•上城区校级模拟）已知数列｛〃“｝为等比数列，数列｛氏｝满足b“=log2a〃，且改=加

=1.设S”为数列｛加｝的前〃项和.

（1）求数列｛所｝、｛仇｝的通项公式及s〃；

s

（2）若数列｛5｝满足Cn二求合舟的前〃项和

5.（2019・6月份模拟）已知等差数列｛〃“｝的公差为d（dWO）,等差数列｛历｝的公差为2d,

设A〃，5〃分别是数列｛〃〃｝,｛仇｝的前〃项和，且bi=3,-2=3,45=83.

（1）求数列｛〃〃｝,｛为｝的通项公式；

（2）设c=b+—--，数列｛Cn｝的前〃项和为S〃，证明：s<（n+1）2-

nnan*an+ln

6.（2019•江西模拟）设S为等差数列｛的｝的前〃项和，且。2=15,*=65.

（I）求数列｛如｝的通项公式；

（II）设数列｛d｝的前n项和为Tn,且Tn=Sn-10,求数列｛跳1｝的前n项和R〃.

7.（2019•滨海新区模拟）已知｛0｝为等差数列，前〃项和为S”。作N"）,｛加｝是首项为上的

2

等比数列，且公比大于0,历+b3=3,b4=a3-a\,S9=b8+17.

（I）求｛m｝和｛加｝的通项公式；

（II）求｛。疝2〃｝的前〃项和7k

8.（2019•滨海新区模拟）已知数列｛板｝的前〃项和为s二a>2^8,n€N*,a,二8,

nn+11

设bn=an-2.

（I）证明：｛加｝是等比数列；

*.

（II）设c=（-1）n------------——，求｛Cn｝的前n项和Tn,若对于任意〃6N,入

n（2n+l）（2n+1+l）

2%恒成立，求人的取值范围.

9.（2019•山东模拟）已知等差数列｛。〃｝的前〃项和为S”，且满足关于x的不等式

01、2-S27+2<。的解集为（1，2）.

（1）求数列｛〃”｝的通项公式；

（2）若数列｛为｝满足二a2n+2、-1，求数列｛儿｝的前〃项和心.

10.（2019•河南模拟）已知数列｛。〃｝满足2（〃+1）的-〃。“+1=0,m=4.

（1）求数列伍〃｝的通项公式；

（2）求数列｛如｝的前〃项和.

11.（2019•栖霞市模拟）已知等差数列｛〃〃｝满足43=2.2-1,44=7,等比数列｛加｝满足力3+加

=2（也+枚），且b2n=2b：（nEN*）-

（1）求数列｛•｝,｛加｝的通项公式；

（2）记数列｛〃〃｝的前〃项和为S,”若数列｛Cn｝满足:L+：2+…3二s（n€N*），求

blb2bnn

｛Cn｝的前〃项和为

12.（2019•葫芦岛二模）已知数列｛3｝是公比为｛加｝的正项等比数列，｛加｝是公差d为负数

的等差数列，满足」.-,从+切+为=21,历历加=315.

a2a3al

（1）求数列｛。〃｝的公比q与数列｛加｝的通项公式；

（2）求数列｛族“｝的前10项和S10

13.(2019•合肥三模)已知数列｛.｝满足ai=l,a〃=2a〃-i+2〃-1(〃22),数列｛晟｝满足

bn4〃+2"+3•

(I)求证数列｛坛｝是等比数列；

(II)求数列｛m｝的前〃项和&.

n

14.(2019•柯城区校级一模)数列仅〃｝中，/=1,an+1-an=2(nEN*)-

(I)求数列｛a”｝的通项公式；

'1_

(2n+l)(2n+5)'摩？kT

(II)设数列｛氏｝的前〃项和为S,且二1(依N*),求使

---,n=2k

.an

S2〃取最小值时〃的值.

15.(2019•四川模拟)已知数列｛0“｝的前〃项和为S,且满足2$八二-an+n(n€N*>

(I)求证：数列｛a'｝为等比数列；

n2

(II)求数列｛m-1｝的前n项和Tn.

16.(2019•黄州区校级模拟)已知数列仅〃｝为等差数列，S〃为他〃｝的前〃项和，242+45=48,

55=25

(1)求数列｛〃〃｝的通项公式；

(2)记.=-J—，其前项和为。，求证：T乂

nan*an+ln3

17.(2019•河南模拟)已知S〃是等差数列｛m｝的前〃项和，公差d=-2,且m,g,g成

等比数列.

(I)求｛如｝的通项公式；

(II)设6为数列｛(-I)〃小｝的前〃项和，求。

18.(2019•博望区校级模拟)已知数列｛所｝满足：m=l,aja肝『2n-l(n€N*>数

列｛。〃｝的前〃项和为S”.

(1)求S2”；

S9n

(2)若数列b=—-2n>求数列｛氏｝前〃项和/”•

nn

19.(2019•聊城三模)设数列｛刖的前〃项和为S〃，若2%-5八二2(n€N*>

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)设加=5+3)an,求数列｛加｝的前〃项和心》.

20.（2019•东莞市模拟）设｛3｝是单调递增的等比数列,S〃为数列（m｝的前〃项和.已知S3

=13,且m+3,3s,田+5

构成等差数列.

（1）求劭及S”；

（2）是否存在常数人.使得数列｛Sn+入｝是等比数列？若存在，求人的值；若不存在，请

说明理由.

21.（2019•朝阳四模）已知等差数列｛如｝的前〃项和为S〃，满足S3=12,且m,s,“4成

等比数列.

（1）求如及S1；

a

S■2n

（2）设b=-.....，数列｛员｝的前〃项和为T〃，求

nn

22.（2019•临川区校级模拟）已知正项数列｛雨｝的前〃项和为S,满足

2Sn+l=2a：+an（n€N*>

（I）求数列｛〃”｝的通项公式：

（II）已知对于正N*,不等式…十二<时亘成立，求实数M的最小值；

S1S2S3Sn

23.（2019•黄浦区校级三模）设数列｛丽｝的各项都是正数，若对于任意的正整数办存在蛇N二

使得即、丽田、丽+2A成等比数列，则称数列｛词为“Dt型”数列.

（1）若｛〃"｝是"。1型”数列，且&二1,求Um（a[+a）+…+aQ的值；

1a34n-81'n

（2）若｛〃〃｝是“。2型”数列，且01=42=43=1,48=8,求｛〃〃｝的前〃项和S;

（3）若3｝既是“。2型”数夕J,又是“。3型”数列，求证:数列｛〃〃｝是等比数列.

24.（2019•双流区校级一模）已知S”为等比数列｛雨｝的前〃项和，其公比为0且S,S”+i,

S“+2成等差数列.

（1）求q的值；

（2）若数列｛加｝为递增数列，b1=q,且bn+b41=1+2再第;♦又数

列｛Cn｝的前〃项和为及，求

25.（2019•丹东二模）数列｛而｝中，m=l,afl+i=an+2n+\.

（1）求｛加｝的通项公式；

（2）设bnZaL求数列W“｝的前〃项和.

26.（2019•鼓楼区校级模拟）数列｛〃“｝中，ai=l,〃〃+。〃+1=筋+1,且m,。2,〃4成等比数

歹U.

（1）求人的值；

（2）求数列（〃〃｝的前〃项和

27.（2019•临川区校级模拟）已知数列｛〃“｝中，。1=小，且a〃+i=3a”+2〃-1,b〃=a〃+“（〃WN）.

（1）判断数列｛加｝是否为等比数列，并说明理由；

（2）当机=2时，求数列｛（7）的前2020项和S2020.

28.（2019•淄博三模）在公差不为0的等差数列｛〃〃｝中，m,43,〃9成公比为。3的等比数列,

a

又数列｛加｝满足b=2%n=2k-1>（&WN*）.

n[2n,n=2k,

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）求数列｛坛）的前2〃项和4.

29.（2019•袁州区校级模拟）数列｛的｝为正项数列，S”是其前"项和，小=2,且对VMN*,

都有（Sn+l-Sn）（4〃+|-4〃）=2〃门2.

（1）求数列（〃〃｝的通项公式；

2

（2）若数列｛加｝满足氏=——11（n+l）+l——，求数列｛加｝的前〃项和A.

log2an-log2an+1

30.（2019•徐州模拟）在数列｛〃9中'm=0，且对任意蛇N*,a2k-baik,。2行I成等差数

歹U,其公差为成.

（1）若di=2,求碓，。3的值；

（2）若a=2攵，证明42A,a2k7,42A+2成等比数列（在N"）;

（3）若对任意/N*,a2k,O2H1,Q2k+2成等比数列，其公比为务.设小#1,证明数列

｝是等差数列.

31.（2019・临沂三模）已知数列｛。“｝满足a尸n

11,a1HBi-an-2+2-

（1）判断数列五门+2八｝是否为等差数列，并说明理由；

（2）记S”为数列｛的｝的前〃项和，求5”.

32.（2019•淄博模拟）已知等比数列（〃〃｝的前〃项和为Sn（nWN*）,-2S2，S3，4s4成

等差数列，且a2+2a3+&4士・

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）若加=-5+2）log2|anb求数列占｝的前〃项和心.

33.（2019•上虞区校级模拟）已知数列｛板｝中，。1=4,其前〃项和8满足：S

（I）求数列｛“〃｝的通项公式；

（II）令儿,数列｛岳2｝的前"项和为小，证明：对于任意的〃CN3都有

（）

3n-2an

Tn<&.

12

34.（2019•湖南模拟）已知等差数列｛板｝的前〃项和为9a：二公差d>0,Si、

S4、乱6成等比数列，数歹U｛儿｝满足logabn^lan-DlogaV^

（1）求数列伍〃｝,仍〃｝的通项公式；

（2）已知C=——-——，求数歹Ij｛cn+加｝的前〃项和7k

nanan+l

35.（2019♦新余二模）已知公差不为。的等差数列｛〃“｝的前〃项和为且S4=26,小，公,

mi成等比数列.

（1）求数列｛•｝的通项公式；

（2）若数列｛_1｝的前〃项和为£“证明：丁<2.

73

36.（2019•合肥三模）已知等比数列｛.“｝是首项为1的递减数列，且43+44=645.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）若bn=nan,求数列｛加｝的前〃项和乙.

37.（2019•东湖区校级三模）已知数列｛“〃｝满足m+2a2+3。3+—+〃。〃=〃（〃WN*）.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式。H；

（2）令bn=anan+2（〃€N*）,Tn=b\+b2+…+b〃,求证：T.

n4

38.（2019♦镜湖区校级模拟）己知数列｛〃〃｝为递增等差数列，且42=2,42,。4,。8成等比

数列，数列（加｝满足加+42历+…+。〃加=2〃-1.

（I）求数列｛如｝,｛氏｝的通项公式；

bO

（II）令5=-^,数列｛5｝的前〃项和为。，证明：小〈卫.

n+12

39.（2019•盐城模拟）已知数列｛的“满足的=」^好…—L（“€N*）.

n+1n+2不

⑴求ai,02,03的值；

（2）证明：对任意的正整数〃（〃23）,0.6<on<0.7.

40.（2019•上海模拟）数列（%｝有100项，小=小对任意底[2,100],存在a〃=5+d,记[1,

n-1],若诙与前〃项中某一项相等，则称以具有性质P.

（1）若m=l,d=2,求必可能的值；

（2）若｛“〃｝不为等差数列，求证：｛〃“｝中存在具有性质P的项；

（3）若｛板｝中恰有三项具有性质P,这三项和为c,使用小d,。表示m+〃2+…+moo.

参考答案与试题解析

1.(2019•河北模拟)已知数列｛小｝满足m=2且加|=3。〃+2〃-1(底N*).

(1)求证：数列(〃〃+〃｝为等比数列；

(2)求数列优〃｝的通项公式.

(3)求数列｛〃“｝的前〃项和Sn.

【分析】(1)将等式同时加八十1，结合等比数列的定义，即可得证；

(2)运用等比数列的通项公式，可得所求；

(3)求得诙=3”・〃，由数列的分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可

得到所求和.

【解答】解：(1)数列满足〃1=2且=-1,

可得an+]+n+1=3a“+3〃=3(ar+n)>

可得数列｛〃"+〃｝为首项为3,公比为3的等比数列；

(2)。“+〃=3”,即。"=3”-〃；

(3)Sn=(3+9+―+3D-(1+2+•••+〃)

n

=3(l-3).^/t(n+1)=2(3^,D

1-3222

2.(2019•怀化三模)设公比大于】的等比数列(。〃｝的前〃项和为S”，且m=l,

322

数列｛6｝的前〃项和为力”且b,」，bnn(n>l).

13*n+2

(I)求数列｛〃〃｝及｛仇｝的通项公式；

(II)设cn=(S〃+l)(1定义7b=0,若数列｛cn｝是照调递减数列，求实数

入的取值范围.

【分析】(I)由SaJa]，求出夕，然后求解&二2kL利用累积法求解｛坛｝的通项公

J22n

式.

(II)由(I)得5「二2八一1，T,=1~求出C.二2n(W-入)，若数列｛5｝是

nnin+1nn+1

单调递减数列，

则％+1一%=2n(\-北--)对正N*都成立，转化求解即可.

【解答】解：（I）由s，得（l+q+q）21q，即%2-54+2=0，二夕=2或q二工

32222

（舍），

所以％二2kl

T71^n-11-2^2,_nn_ln_2212

Xh二-----■-----•----------•K.----------•------..■—-------—•

n1

b%]bn_2bn_3玩n+2n+1n43(n+2)(n+1)

"bn=（n+2）（n+1）,

n

（II）由（I）得s=2-PT=11—»：•T!.=11—»

n，n+2n-ln+1

从而c=2^（」--入），若数列｛Cn｝是单调递减数列，

则Cn+i=2n（磊岛"）对面T都成立，

日口421/仆一入、,42、__2------2n---------2___

即能寸入＜°入＞、菽备3,"2n+「（n+l）（n+2）—2,

n1。丁

n

可得当〃=1或〃=2时，——）所以入〉工.

n+2n+1max33

3.（2019•天津三模）已知等比数列｛〃〃｝的前n项和为S〃,a“＞0且4143=36,43+a=9（〃1+〃2）.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）若SR+1=3°%求数列｛儿｝及数列｛〃疝Q的前〃项和心》.

a

（3）设c二7---------------求｛Cn｝的前〃项和2.

%（an+l）（an+1+l）

【分析】（1）由（a[+a2）q2=9（ai+a2）及可得的值，由小。3=36可得m的

值，可得数列｛雨｝的通项公式；

（2）由（1）可得S”，由Sn+1二3,可得加=〃，可得小加=2〃X3"-l由列项相消法可

得。的值；

（3）可得c二--------产―--------三（——---------1_）,可得尸”的

n（2X3n-1+l）（2X3n+l）22X3n-1+l2X3-1

值.

【解答】解：（1）由题意得：6（3+04=9（4|+。2）,可得（d+&2）q2=9（&1+'2）'"2

=9,

由。”>0,可得g=3,由4143=36,可得&]&]口2二36，可得m=2.

可得an=2X3^1(nWN*)；

a(1qn)n

l-=2(3-l)

（2）由&n=2X3^1，可得Sn二=3n-h

1-q3-1

由Sjl二3"，可得3「一1+1二3勾，可得加=〃,

可得〃山”的通项公式：cinbn=2nX3nI

可得

2rr2n-1

[=2X30+2X2X342X3X3+-+2X(n-1)X3+2XnX3©

123n-1

3Tn=2X3+2X2X3+2X3X3+-+2X(n-1)X3+2XnX3n②

①■②得：-2及=2+2X-2XX3r'=2+3n-3-2nX3n=(1-2n)X3〃

3-1n

可得

3)由C=可得

n(an+l)(an+1+l)

rrl

2X31]1

Cnn-1n2），

~(2X3+l)(2X3+l)-2X3n-1+12X3n+l

可得：P〃=,(£■』■/(-・十11

)

乙3IIJLy2X3n-1+l2X3n+l

=1（1____1_）=1_____1_.

232X3n+l64x3-2

4.（2019•上城区校级模拟）已知数列｛m｝为等比数列，数列仍〃｝满足加=log2a〃，且。4=85

=1.设S”为数列｛加｝的前〃项和.

(1)求数列｛〃〃｝、｛氏｝的通项公式及S”；

S

(2)若数列｛5｝满足'二I」nI,求｛cn｝的前〃项和r”.

1nnl

【分析】（1）数列｛.｝为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和对数的运算

性质，可得所求;

（2）讨论后7,〃28,结合错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求

和.

【解答】解：（1）数列｛〃〃｝为公比为q的等比数歹小

数列｛6｝满足bn=\o^ian,且a4=bs=1.

a尻

可得。5=2,q=—=2,

a4

4=2"？

bn=log2t?w=Iog22n4=n-4；

(2)Sn=-n(-3+〃-4)=ln(w-7),

29

S

%=l优anl=l〃M・2”

时，£产W+区+…+(7・FI)・2〃P,

88

2%=当区+…+(7-n)-2,r4,

44

相减可得-£=0-工-----"5-(7・〃)・2”一4

88

81-2

化简可得7〃=(8-〃)・2〃-4・工；

2

〃28,前n项和£：=◎+区+且+S+Z+2+0+l・23+2・24+…+(〃-7)*2W'5

88421

=1§.+1•23+2*24+-+(〃-7)・2"V,

2

27^=15+P24+2-25+-+(〃-7)-2n'4,

相减可得-7^=i+24+-+2zr5-(〃-7)・2厂4

2

=U6d8)_(i)・2…，

21-2

化简可得行=21+(〃-8)・2〃一4,

2

(8-n)•211"4n<7

则6=]

~2~+(n-3')92n~^>n>8

5.(2019・6月份模拟)已知等差数列｛即｝的公差为d(dWO),等差数列｛历｝的公差为2d,

设A〃，8〃分别是数列｛〃〃｝,｛仇｝的前〃项和，且bi=3,A2=3,A5=B3.

（1）求数列｛。〃｝,｛加｝的通项公式；

（2）设c=b+—-——，数列｛g｝的前〃项和为6,证明：s<（n+1）2-

nnan*an+ln

【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到

所求通项公式；

（2）求得,=2n+l+J、=2n+l+4」运用数列的求和公式和裂项相消求

nn*（n+1）nn+1

和，计算可得所求和.

【解答】解：（1）因为数列仍”｝是等差数列，且人2=3,45=83,

所以2m+4=3,5m+104=9+8.

解得a\=d=\f

所以alt=a\+（〃-1）・d=〃，即af）=n,

bn=b\+(〃-1)・2d=2〃+l,即b〃=2〃+l.

综上Un=Titbn=2〃+1.

（2）证明:由⑴得%二2m+忌元广2n+l+

所以Sn=(3+5+…+2"1)+[(1卷)+,总)+~+4^^)]，

即5尸2+2"1心如+1)2焉<(»1)2.

6.（2019•江西模拟）设S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和，且42=15,55=65.

（I）求数列｛〃“｝的通项公式；

（II）设数列｛加｝的前〃项和为右，且r=设・10,求数列｛|加|｝的前〃项和R〃.

【分析】（I）设等差数列5〃｝的公差为4运用等差数列的通项公式和求和公式，解方

程可得首项和公差，即可得到所求：

（II）运用等差数列的求和公式，求得氏，讨论数列的符号，结合等差数列的求和公式,

计算可得所求和.

【解答】解：(【)设等差数列｛〃〃｝的公差为小则由或=15,55=65.

得m+d=15,5m+10d=65,

解得ai=17,d=-2,

故。〃=17-2(/I-1)=-2/7+19；

2

(II)由(I)得：sn=-n+18n/.T^-n^lSn-lO*

(7,n=l

b=s、

n-2n+19,n>2

易知,当1W/IW9时,bn>0；当〃210时，易V0,

・・・1°当时，Rn=|bt|+|b21+-+|bn|=bi+bg+'--+b^-n^lSn-lO

20当“210时，=|加|+|历|+…+|尻|=bi+也+…+力9-（bio+b\i+,,,+bn）=

-=-,

Tn+2Tgn^18n+152

—n^+18n_10,l<n<£

故R=｛.

nn^-18n+152,n）10

7.（2019•滨海新区模拟）已知｛z｝为等差数列，前〃项和为S“（〃6N«）,｛。〃｝是首项为上的

2

等比数列，且公比大于0,历+加=3,加=〃3-m,S9=b»+17.

（I）求｛如｝和｛加｝的通项公式；

（II）求｛。疝2〃｝的前〃项和Tn.

【分析】（I）设公比为4,公差为d,运用等差数列和等比数列的通项公设求和公式，

解方程可得所求；

（II）求得a^b2n二（2n-l）22n-2二（2n-l）4nT,运用数列的错位相减法求和，以及等

比数列的求和公式，计算可得所求和.

【解答】解：（I）｛加｝是首项为上的等比数列，且公比g大于0,

2

b2+b3=3,畤S+/）=3,

解得g=2或-3（舍），

｛〃〃｝为公差为d的等差数列，

由匕4=。3-。1,可得2d=4,即d=2,

又S9=17+加,可得9a5=17+64=81,即m+8=9,即m=L

即有alt=2n-1,b“=2"-2；

2n-2n-1

（II）/b2n=（2n-l）2=（2n-l）4»

012rrl

Tn=l-4+3-4+5-4+-+(2n-l)4*

12n-1

4Tn=l-4+3-4+-+(2n-3)4+(2n-l)4^

23n-1r

-3Tn=l+2(4+4+4+-+4)-(2n-l)4

-(2n-l)4n,

(

化简可得1n=56n-5)

7~9~■

•滨海新区模拟)已知数列｛〃”｝的前〃项和为，二

8.(2019S“sn=an+1,+2n-8,n€N*,a1,8,

设bn=an-2.

(I)证明：出“｝是等比数列;

(II)设c=(-1)n------------------——，求｛Cn｝的前n项和Tn,若对于任意nGN*,A

n(2n+l)(2n+1+l)

2心恒成立，求入的取值范围.

【分析】(I)运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证；

(H)运用等比数列的通项公式，以及数列的并项求和，对〃讨论奇数或偶数，以及恒

成立思想，可得所求范围.

【解答】(I)证明：Sn二&血+2n-8,n^N*,二8，

当〃=1时，a\=S\=a2-6,672=14,

当〃22,TIGN时，S”=a“+i+2〃-8,Sn-1=a〃+2"-10,

相减可得a“+i=2s?-2,

即a〃+i-2=2即上匚2(n)2)，

可得｛b〃｝是首项4=6,公比为2的等比数列；

n

(II)解：由(1)知an-2=6・2ki，BPan=3-2+2*

二()n3-2~2

所以%二(T)n

(2n+l)(2n+1+l)"(2n+l)(2n+1+l)

2n+l2"1+l

T=-(]i+；)+([+；)Y；+：)+・・・+(-l)八(二+「1)

n2+12^+12'+l2J+12J+12q+l2n+l2n!+l

••工二千(-1)黄丁

当〃为偶数时，T二二T(-l)n—\—是递减的,

n32n+1+l

此时当〃=2时，。取最大值工，则X>—•

9/9

当〃为奇数时，T二/T（-l）n—\—是递增的，

n32n+1+l

此时T<工，则X>—.

n33

综上，入的取值范围是X>—.

9

9.（2019•山东模拟）已知等差数列｛呢｝的前〃项和为S”，且满足关于x的不等式

・x2-S2，x+2<0的解集为（'2）.

（1）求数列｛“〃｝的通项公式；

（2）若数列（岳｝满足二a2n+2、-I求数列｛b〃｝的前〃项和心.

【分析】（1）利用不等式的解集.转化求解数列的首项与公差，然后求解通项公式.

（2）化简通项公式，然后求解数列的和即可.

【解答】解：（1）依题意可得：设等差数列｛所｝的首项公差为d,

关于X的不等式a]・x2-S2・x+2<0的解集为（1，2）.

S9

贝---=1+2=3得ai=&

al

又2=2,.*.6/1=1»d=1,

al

••an=n.

（2）由题意可得。2〃=2m2,二2”，

所以bn=2n+20.-1=2n-l+2小

..=n（H2n-l）+2（l-2-）2n+1.2.

%21-2

10.（2019•河南模拟）已知数列｛“｝满足2（72+1）an-W«n+l=0,m=4.

（1）求数列｛所｝的通项公式；

（2）求数列｛〃〃｝的前〃项和.

【分析】（1）说明数列泮｝是以刍■二a二4为首项，2为公比的等比数列，然后求解通

n11

项公式.

（2）设数列｛。〃｝的前〃项和为7；“利用错位相减法求解数列的和即可.

aa

【解答】解：(1)由2(w+1)=0得・"1二2X」，

n+1n

所以数列声｝是以立二二4为首项，2为公比的等比数列，

n11

于是0■二4X21rl二2rd"L所以a=n・2nH♦

nn

(2)设数列｛所｝的前〃项和为T〃，

23nfl

MTn=lX2+2X2+3X24・・,+n・20»

34n+2

2Tn=lX2+2X2+3X2%・・・+n・2@»

②-①得，J二-(22+23+24+・・・+2"l)+n・2n+2

=_4(]—2八)+口.2*2

1-211/

=4+(n-1)・2'计2

11.(2019•栖霞市模拟)已知等差数列｛“〃｝满足43=242-1,44=7,等比数列｛加｝满足。3+加

=2(历+加),且b2n=2b：(nEN*>

(1)求数列｛〃〃｝,｛加｝的通项公式；

(2)记数列｛板｝的前〃项和为S〃，若数列｛c“满足:L+四+…:2二S(n€N*)，求

blb2bnn

｛Cn｝的前〃项和为

'ai+2d=2a<+2d-l

【分析】(1)根据等差数列的通项公式可得I1，解得a\=\,d=2,

a4=a1+3d=7

即可求出通项公式，再根据等比数列｛'｝满足8+加=2(历+84),可得历q+历/=2

(历+历/),求出公比，再根据b2n=2b：(n€N*>可得机=2b[2=biq,即可求出首

项，可得通项公式，

(2)根据数列的递推公式可得5=。必〃=(2〃・1)2〃！再根据错位相减法即可•求出前

n项和.

【解答】解：⑴等差数列｛Z｝满足43=242-1，04=7,

a1+2d=2a<+2d-l

可得1,

aq=a1+3d=7

解得m=l,4=2,

・•・〃”=1+2(〃-1)=2n-1,

•・•等比数列仍〃｝满足加+加=2（历+64）,

，/>24+/>2夕3=2（/>2+也!42）,

即g+/=2（1+/），

:*q=2,

：b2n=2b：（n€N*）-

*.bi=2b\1=b\qy

：.b\=\

••也=2〃1

（2）由（1）可得Sn=n（l+2>-1）=£

_21+2+•••+、=Sn,

blb2bn

.・.-Sl+-^_+•••+=S〃八,

blb2bn-l

两式相减可得&=S〃・

bn

/.Cn=anbn=(2〃-1)2"I

ATn=1X2°+3X2'+3X22+-+(2n-1)2nl,

A2Tn=1X214-3X22+3X23+-+(2〃-1)2”,

两式相减可得-%]=1+2(2〔+22+23+…+2〃I-⑵-1)2〃=1+2'2(1-2八1)-(2/;

1-2

-1)2"=1-4+2""-⑵-1)2"=・3+(3-2n)2",

n

：.Tn=3+(2〃-3)2.

12.(2019•葫芦岛二模)已知数列｛〃〃｝是公比为仍“｝的正项等比数列，｛加｝是公差d为负数

的等差数列，满足上一一—,加+历+加=21,b\b2b3=315.

a2a3al

(1)求数列｛如｝的公比q与数列｛加｝的通项公式；

(2)求数列｛步山的前10项和S10

【分析】(1)由已知结合等差数列｛6｝的性质列式求得历与公差，则数列｛加｝的通项公

式可求，再由等比数列的性质及2--L二&求得数列｛检)的公比q；

a2a3al

(2)设的｝的前〃项和为加令人20,即11・2〃20,得〃W5,求得S5,再求出网+|历|+……

+|加0|的值，则答案可求.

【解答】解：(1)•..｛'｝是公差d为负数的等差数列，且4+治+从=21,得3治=21,则

历=7.

又从历历=315,:.(历・d)bi(m+d)=7(7-d)(7+d)=343-7/=315,

解得：d=-2或2(舍)，

于是J_，二

a2a3a2

又｛〃〃｝是公比为q的等比数列，故」------1.一2,

&遂a4/

•*.2q2+q-1=0>q=-1(舍)或费，

/.a=—,hn=b2+(n-2)d=l-2(M-2)=11-2〃；

2

(2)设｛》〃｝的前〃项和为7；?；令A20,即11-2〃20,得〃W5,

05一'5一

当〃26时,bn<Q,|加|+|岳1+...+|加。|=-加-历-....-b\o=-(为+历+....+加0)=

-(Tio-75)=-(0-25)=25.

ASio=5O.

13.(2019•合肥三模)已知数列｛斯｝满足。1=1,4〃=2Ml+2〃-1(〃22),数列｛岳｝满足

bn=fln+2z?+3.

(I)求证数列｛加｝是等比数列；

(II)求数列｛〃”｝的前n项和Sn.

【分析】(I)利用等比数歹ij的定义结合m=l,而=2。〃“+2〃-1(〃22),加=s?+2〃+3.得

出数列｛加｝是等比数列.

(II)数列优〃｝是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前〃项和S.

【解答】解：(I)证明：当〃=1时，ai=\,故加=6.

当时，an=2an\+2n-1,

则b〃=a“+2〃+3=2((in-i+2w-l+2〃+3=2[a〃-1+2(w-1)+3],

***hn=2hn-1,

・•・数列列｛为｝是等比数列，首项为6,公比为2.

(II)由(I)得b〃=3X2〃，

：.an=bn-2n-3=3X2〃-2n-3,

，S”=3X(2+22+...+2«)-［5+7+....+(2〃+3)J

=3X2(2"T)_n(5+2n+3)

-2-1-2

=3X2,,+1-H2-4H-6.

n

14.(2019•柯城区校级•模)数列｛a“｝中，ai=l,an+1•an=2(nEN*),

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(1_

(2n+l)(2n+5)‘犀?及一］

(II)设数列｛氏｝的前〃项和为S”，且bn=1(&WN*),求使

----,n=2k

.an

S2〃取最小值时〃的值.

n

t分析】(/)数列［4»｝中，m=l,an+1•an=2(n€N*)'可得GFI=2,解得G=2,

如+2・。田=2向，可得：亘超=2.可得数列(如｝的奇数项与偶数项分别成等比数列，公

比为2.即可得出处.

1

n=2k-l

(2n+l)(2n+5)

(