2020教师资格证数学科目三

2020教师资格证数学科目三

基础知识5

回顾向■的基本概念

几何运算

第五节《

10坐艇M

向量的运算CV---------------------

—e向置的运算律

e向*的位■关系

考点总结

一斜角与斜率

直线方程©五种形式

[-位置关系

eJW形式

国的方程（/两圆的位置关系

第六节C

、■或与囱的位置关系

e醐曲线

高

(四)向量的位置关系应用

3,向■防

两个向依平行的充要条件：

；・IIb0«=2ft(AeR)0(0价=(|1］附2o.%-引\=。

饱

(四)向量的位置关系应用

4.向量垂直

两个向里垂直的充要条件

设0=(1,♦Y.),b=(.r,,y,),

(I)向址式:

aib(8w0)oaS=0oo+力二"一力.

(2)坐标式:

01可力wO)ox占+叩2=0。

病

方法有很多呀

【例1】（2013年下半年-高级中学-选择题）已知正方形ARCD的边长为1,点£是48

边上的动点，则0♦有的值为（）o

A.大于1B,小于1

C等于1D,以上都不对

凭

解：本题主要利用向址的转化，求出数年枳即可。

隹正方形中."与C8垂直:

应.丽=（而+五）•而二切.而+族.而=1+0=1

故正确答案为C

一、直线方程

第六节

二、圆的方程

平面解析几何

三、圆锥曲线

工』

一、直线方程

(一)倾斜角与斜率

直线/的倾斜角的取值范围是0视＜兀；平面内的任意一条直线都有唯一确定

的倾斜角。

直线/的斜率=tan仲?5＜兀，且/这时斜率存在，当斜率不

存在时，倾斜角是90°。

(1,1)(2,2),为直线上的两点。

认识

（二）直线方程的五种形式

已知条件方程的表达式说明

点斜式平行方•轴的直线不能用这种形式

直线过点（刈M）,斜率为Ax-x0)

在线在y轴匕的截距为儿科

料做式y=kx+b平行于泮的宜线不能用这种形式

率为&

做经过区.弘）和（枳为）

两点式2z2L=2zi平行于坐标轴的宜级不能用这种形式

两点，Ilx产孙必明%・M4・看

直线在扁.轴上的截随分

XV,过原点或平行于坐标轴的直线不能用

睚式则是。"（褶号）,且

ab这种形式

a*0,6#0

任何一条直线都可以写成这种形式；

一般式4和B不同时为0&+"+C=0

限他形式都可以化为这种形式

点4

（三）两条直线间的位置关系应用

1.两直线平行或垂直

表达式位置关系结论

481cl

―f-

4：/1+8iy+G・0（4,1都不为0）卜"h

44&6G6

A：/N+8?J+G=0（4,都不为0）

44+8也产0

h股总地小《产4且b[*b]

%:六依+4=

AI-l2-1

例:

自

认识

（三）两条直线间的位置关系

2.两条直线间的距离

言4i+8『+C|=0与/,：4工+%+C,==0平行，则d二

1122Vf7+HF

3•点与直线的距离公式

点点（即㈤到五线Ax+加+C=0的距离为:

(1=|4%+W+C

、不PB-

应用

（三）两条直线间的位置关系

4.两点间的距离公式

点&（工泌）和点BNM）的距离为

22』=\/（即用尸+⑴一乂尸，

中点P（［「）小标为L'J.L

(P35

认识

圆的方程

(-)圆的方程的儿种形式

表达式IN心半径

标准方程(x-a)'+(9M)U(a,/>)r

?+/+Zk+£y+F=OD£]S2+E2-4F

•般方程「nJ

(办入卜〉。)r=------------------

2

x=rcos^H-£/.

参数方程(a.b)r

*i=r$in伊M

氤

认识

（二）两圆的位置关系

设两圆圆心分别为01与。:,半径分别为々与G，圆心距|qoj=d,则:

d>rI+r/,o外离04条公切线；

（1=乙+00外切。3条公切线；

「引<d<外+qo相交。2条公切线；

♦=卜-巴［内切01条公切线；

0<d<|r）-r2g内含o0条公切线°

氤

认识

(三)直线与圆的位置关系

设直线/：a+6y+C=0,

MC:(工-〃)，+(「-/))，=/,

困心到直线的距离为d="rI

\#+屋

则直线与圆的位置关系有三种;

(1)相交Od〈r0JX)

(2)相切Od=rO/=0

(3)相离Od>rO/<0

其巾」为直线与圆的方程组成的方程组,消去了或X

转化为一元二次方程所求得的判别式。

於6

一听全会，一做全对

［例］经过圆x：+2x+y=0的国心且与直线x+y=o垂直的直线方程是（)o

A.x+v+l=OB.x-y-l=O

C.x+j-l=OD.x-j+1=0

氤

道上靓仔就是你呀

［例］（2012年下半年-初级中学-简答题）求过点J（l,-2）的所有直线被圆F+产=5

截得线段中点的轨迹方程。

(P37

解；

因为点(1»-2)在圆工+y=5上,设直线跋吻也=0被圆x+y=5截得的线段的

另一端点为尸(口，0)，线段中点坐标为“(加V0)，

如it-Z-2oo即F1。三2】，代入母“2

+1t+y=5,

o

得

0-1)2+(0+2)2=5,整理得(0-1)2+(_0+1)2=

5

24

22

所以，点过/(1,-2)被圆x+y=5截得的线段中点的轨迹方程为

(0-1)2+(0+1)2=5

24

励

选考点：圆锥曲线的定义

三、园锥曲线

椭圆双曲线

第一定义:若6,6是两定点，

第一定义:若£,用是两定点,

阿卜同卜尔附|(。

P为动点,且|阕+/周=2"

为常数),则动点P的轨迹

》修(a为常数),则尸点的

是双曲线

轨迹是椭圆

第.定Z：岩R为定点J

第二定义:若£为定点，/是

是不经过点6的定直线,

定义不经过点£的定宜线.初点定义

若动点P到定点6的距离

P到6的距离与K到定直线/

与其到定直线，的距离之比

的距离之比是常数dOQV).

是常数e(u>l),则动点P

则P点的轨迹是椭网

的轨迹是双曲线

6,月为椭圆的焦点,/为准

昂乃为双曲线的焦点，/

线

为准线(|

椭圆双曲线

|应用|

0）焦点在X轴上:①焦点花x轴上:

\+J=l(a>h>0)-"Ar=l(a>0./»O)

标准标准a2b2

方程.②熄点在y轴匕方那②焦点在y轴上；

^L=l(a>/f>0)^---=1(«>0.6>0)

baJh2

词点在x轴I.：

①焦点在X轴上;

图形

(P38

定义题重现江湖

1^111（2013年上半年-初级中学-选择题）下列命题不正确的是（

2?

A.标准方程为5-==依>0,方>0）的平面曲线是双曲线

B.平面与圆锥面的交线是双曲线

C平面上到定点与到定直线（定点不在定直线上）距离之比为常数p,且p〉1的动点轨迹

是双曲线

D,平面上到两定点48的距离之差的绝对值为定长%且0<c<»8］的动点轨迹是双曲线

(P40

定义题重现江湖

【例2】（2013年上半年-高级中学-选择题）下列命题不正确的是（）0

A.平面上到两定点的距离之和为定长（大于两定点间的距离）的动点轨渥椭圆

B平面上到定点与定直线（定点不在定直线上）距离之比为常数e且1的动点轨迹

是椭圆

C平面与圆锥的交线是椭圆

X2v2

D.满足方程/+/=1（4＞，＞0）的平面曲线是椭圆

(P41

三、圆锥曲线选考点：圆锥曲线的定义

椭圆双曲线抛物线

第一定义:若其£是两定点.

第一定义：若6,E是两定点,

慨卜闸卜2“阳|（。

P为动点,且此|+陷卜如若F为定点，/是不经过点F

为常数），则动点P的轨迹

忸间（。为常数），则P点的的定宜线，到定点厂与到定

是双曲线

直线/的但周相写的点的轨

轨迹是椭圆

第二定义：若耳为定点,/

迹是抛物线，即：到定点F

第二定义：者6为定点,/是

是不经过点的定直线,

定义A的距离与到定宜级/的距离

不经过点6的定直线,动点

若动点P到定点6的距离

之比是常数e（e二I）

尸到6的甩离与其到定直线/

与其到定直线/的距离之比

这个定点?叫做抛物线的焦

的距离之比是常数dO<e（l）,

是常教则动点

c（e>l）,P点,这条定直线/叫做抛物

则P点的轨迹是椭回

的轨迹是双曲线

线的准线

R,后为椭圆的焦点,/为准

6,g为双曲线的焦点，/

线

为准线(P38

考点：圆锥曲线的定义

三、圆锥曲线

选

A归纳：

动点P到定点F的距离与到定直线/（F任/）的距离之比等于定值e的点的集合。

①当0<e<l时，P点的轨迹是椭圆；

②当右1时，P点的轨迹是抛物线；

③当及1时，P点的轨迹是双曲线。

(P38

总结

倾斜角与斜率

直线方程de五种形式

'位置关系

。几种形式

第六节a的方程-/两圆捌造关系

(P41

简+论

二推理

第七节

二、证明推理与证明

(P42

一、推理

【2017上半年-初、高-论述题】15.推理一般包括合情推理和演绎推理，

（1）请分别阐述合情推理和演绎推理的含义；（6分）

（2）举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题中的作用（6分），并阐

述两者之间的关系述分）0

(P44

一、推理了解

（二）合情推理

1.合情推理的定义

根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比,

然后提出猜想的推理称为合情推理。

从具体问题出发T观察、分析比较、联想一归纳、类比一提出猜想

(P42

举个栗子

2/2+12,2+22,2+3

例如:

33—1'33+233+3

而必bb+c

归纳一〈

a〃+c

例如：0=1,即=；必=;…归纳。〃=一

乙3〃

例如；由等式的性质触不等式的性质

。二b今。+c=6+c;a=6=>ac=bc\a—b*炉=62

猜想。>bOa+c>b+c；a〉b今ac>be；a>b^a->b2

例如：圆的特征类比球的特征（而机标准方圈一般方程等）

(P43

一、推理中42~244认识

数学推理定义特点作用区别与联系

自由部分到整体①有前提、不能作为数学证明①从推理形式上看，归纳是由部分到整体、

目由个别到一般的

②结论尚待

合情冽推理的半具，但它具4个别到一般的推理，类别是由特殊到特殊的

验证

推理创造性思维，有利

类由特殊到特殊的③创造性的推理；而演绎推理是由•般到特殊的推理。

于发现数学结论

推理

比推理②从推理所得的结论来看，合情推理的结论

不一定正确,有待进一步证明；演绎推理在

由一般性的命题大前提、小前提和推理性都正确的前提下,

推出特殊性命题，

可以作为数学证明得到的结论•定正确。

演绎推理是一种必然性推“三段论”

的工具

理，足由一般到③作用不同，演绎推理是证明数学结论、建

蜷的推理

立数学体系的重要思维过程，但数学结论、

证明思路的发现，主要靠合情推理。

2.演绎推理的一般模式

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括

⑴大前提--已知的一般原理；

⑵小前提--所研究的特殊情况；

⑶结论---据一般原理，对特殊情况做出的判断.

［例如能被2整除的数叫做偶乳6能被2整除,所以6是偶数。

I⑴大前提-一偶数的定义；

；⑵小前提一一6能被2整除；

i⑶结论一一6是偶数.

疯3

谁说数学没有背诵

【2017上半年-初、高-论述题】15.推理一般包括合情推理和演绎推理，

（1）请分别阐述合情推理和演绎推理的含义；（6分）

（2）举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题中的作用（6分），并阐

述两者之间的关系（3分）o

(P44

【参考答案】

(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、

比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情

推理。

演绎推理：从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称之

为演绎推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。

(P44

(2)合情推理在解决数学问题上不能作为数学证明的工具，但它具有创造性思维，对教学结论

的发现十分有用。例如,在研究球体时,我们会自然想到圆,球与圆十形状上有类似的地方,即

都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此可以推测，对于圆所具有的

特征，球可能也具有，如圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径等。

演绎推理在解决数学问题上可以作为数学证明的工具，但缺少创造性，不过它严密的论证有助于

科学的理论化和系统化。例如，三角函数都是周期函数，y=sina是三角函数，因此y=sina是周期困

数。

合情推理与演绎推理的关系：两者有区别，合情推理是从部分到整体、从个别到一般或从特

殊到特殊的推理，演绎推理是从一般到特殊的推理；同时两者紧密联系，互相依赖，互为补充，

演绎推理的一般性原理必须借助合情推理从具体的经验中概括出来，可以说没有合情推理就没有

演绎推理；合情推理也离不开演绎推理，由合情推理得到的结论是杳正确必须借助演绎推理去论

证。叁

二、证明

归纳推理6

合情推理。

----------类比推理@

演绎推理6

数学归纳法

简+论

直接证明'综合法-

分析法®

证明

间接证明⑥

前5

二、证明简+论

（一）直接证明

1.数学归纳法

数学归纳法是数学上证明与自然数n有关的命题的一种特殊方法。

（1）笫一数学归纳法一基本步骤

a.先证明当〃=为是使命题成立的最小自然数）时命题成立；

b.假设当〃=MkwNJkN儿）时命题成立，再证明当〃=K+1

时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法。

特别提醒：a用数学归纳法证题时，两步缺一不可；

b.证题时要注意两圈一凑归纳假设，二凑目标。一»疯5

例如.W；||H-----J--------J----------1-----1-----------------------=——--

""1X3十3X5十5X7十十⑵—l)X(2〃+1)(2〃+1)

证明：（1）〃=1时，左边=」有=1，右边=彳二二1,左边=右边

1X332+I3

等式成立。(2)假设〃二仁时等式成片即：

1,1.1..1k

-4--4-••,-4-，—，

1X33X55X7(2^-1)X(2k+l)(2k+1)'

那么当〃=4+1时，

L,1।1

1X3(2k-1)X(2女+1)(2k+1)XQk+3)

_k]_k+1_2+1

"(2k+1)+(2k+l)X(21+3)=(24+3)=2(1+1)+1

所以当〃=4+I时等式亦成立

•'而十而十两十…十(2〃_l)x(2〃+l)—(2〃+1)(P45

二、证明简+论

1.数学归纳法

(2)数学归纳法的应用

①证恒等式

②整除性的证明

③探求平面几何中的问题

④探求数列的通项

⑤不等式的证明

而6

二、证明简+论

2.综合法

(1)综合法的定：

利用已知条件和某些定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最

后推导出所要证明的结论成立。

要点：顺推证法；由因导果。

(P46

（2）综合法的证明过程

例2如图5.3-4,已知直线。〃c,求

证。1/,

证明:Valb（已知），

:./1=90°（垂直的定义）.

又b//c（已知），

,Z1=Z2（两直线平行，同位角相等）.

:.N2=/l=90°（等量代换）.

•Iale（垂直的定义）.

»这个证明就走从已知条件出发，进行简单地运算和推理，得到要证明的结论。其中要用到

一些已经证明的命题。

氤

二、证明

(3)综合法证明的思维过程

用P表示己知条件、己有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论,

则综合法用框图表示为：

PTQi101To2T02T。3T…0〃T。

(4)综合法的特点

从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找

它的必要条件。

(P47

谁说数学没有背诵

【例】（2015年上半年-初级中学-简答题）举例说明运用综合法证明数学结论的思维过

程和特点。

(P46

二、证明简+论

3.分析法

(1)分析法的定义

从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的

已知条件或已被证明的事实(定理、定义、公理等)，这种证明的思维方法叫

做分析法。

要点：逆推证法；执因索果。

向7

(2)分析法的证明过程

求证：短7d'25\

I

证明：，

因为4犷7植5都是正数，所以为了晌3+行<25,

只需证明(厂3布『7(代丫25:

展开得10+2/71<20,；

即"1<5,：

只需证明21<25,j

因为21<25成立，所以不等式:/3#7代25成立。：

(P48

二、证明

(3)分析法证明的思维过程：用P表示己知条件、己有的定义、公理、定理

等，Q表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：

0勺尸「力产旦->8=8T...T3到一个明显成立的条件

在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是结论成立的充分

条件，最后一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，

直到结论，但这个倒推过程可以省略。

(4)分析法的特点；从“未知”看“需知"逐步靠拢“已知”，其逐步

推理，实际是寻找使结论成立的充分条件。

(P48

谁说数学没有背诵

［例］（2015年上半年-高级中学-简答题）举例说明运用分析法证明数学结论的思维过

程和特点。

(P48

二、证明简+论

（二）间接证明

1.反证法

有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，可以利用间接的方法一一反

证法去证明，即通过否定原结论一一导出矛盾一一从而达到肯定原结论的目的。

(P48

（二）间接证明

2.利用反证法证明一个命题的一般步骤

①（反设）假设命题的结论不成立；

②（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;

③（归谬）断言假设不成立；

④（结论）肯定原命题的结论成立。

(P48

例如：求证班是无理数鸥

反设证明：假设也不是无理数，是有理数,

「于是存在互质的正整数加,〃使得"5——,m=y/ln

n

=＞加2=2〃2,.二》是偶数,设川=2左

伏是正整数），从而有4r=2/。2F=匕〃也为偶数

归谬这与叫〃互质矛盾，所以假设错误，正是无理数。

结论

简+论

总结

归辘理。特殊到一般、部分到整体

算法框图

排列、组合与二项式定理

数学史(P49

第八节

一、构成程序框的图形

符号及其作用

二、程序框图的构成算法与框图

三、算法语句

(P50

》一、构成程序框图的符号及其作用

[OJ

程序机名称动能

G示一个算法的超蛤和结也是任何*法18k=1,S=O

以怵

印框图不可缺少的i

/输入正整数〃/

&示一个。法输入加曲出的存息，nTfflftW

■人、输出根

法中任何需要输入、■出的位置

LJ|S=S+A+2M

川*&东收值.计打打法中处理数册需要

处理怅的算式.公式等.它＜1分:写在不同的用以I

处理数掘的处理框内曰+1

刑断某一条件是否或L成上时,则在出口

利斯枢处标明"是"不就立时,

«-Y";Mft:h

O口处标明"否"*"N"—<k>n:>

流程线々示算法进行的前进方向以及先后跑序/输出s/

\1•

I

0连接点连接另一页或另TWM9K图（结束）k

••…O酬曜府助编者或阅读者理解他出^^50

这分送的.

,真题回帧

【例1】（2015年上半年-高级中学-选择题）下列图形符号中表示算法程序“判断框”

的是（）o