2024年北师大新版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大新版高一数学上册阶段测试试卷501考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知不等式m2+（cos2θ-5）m+4sin2θ≥0恒成立；则实数m的取值范围是（）

A.0≤m≤4

B.1≤m≤4

C.m≥4或m≤0

D.m≥1或m≤0

2、函数则=（）

A.

B.

C.

D.

3、【题文】设函数(x∈R)满足则的图象可能是。

4、【题文】函数在[0,2]上的最大值是7，则指数函数在[0,2]上的最大值与最小值的和为A.6B.5C.3D.45、【题文】设全集集合则A.B.C.D.6、【题文】已知关于的不等式的解集是则是的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分有非必要条件7、已知a=log32，那么用a表示log38﹣log3是（）A.a﹣2B.5a﹣1C.3a﹣（1+a）2D.3a﹣a2﹣18、已知函数f（x）=若f（a）=则实数a的值为（）A.﹣1B.C.﹣1或D.1或﹣9、下列命题正确的是（）A.若则B.若则C.若则D.若与是单位向量，则评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、直线过点（-3，-2）且在两坐标轴上的截距相等，则这条直线方程为____．11、【题文】如图，A,B是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于A,B点，是这两个圆的公共点，则圆弧与线段围成图形面积的取值范围是____

12、“无字证明”（proofswithoutwords），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：____

13、函数f（x）=3|x﹣1|的单调递增区间____14、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=____．15、已知两个函数f（x）=log4（a）（a≠0），g（x）=log4（4x+1）-的图象有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是______．16、函数y=2sin2x+2sinx鈭�12x隆脢[娄脨6,5娄脨6]

的最小值为______．评卷人得分三、计算题(共5题，共10分)17、己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根，则p=____，q=____．18、已知x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+55=____．19、（2009•瑞安市校级自主招生）如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去了7个小正方体），所得到的几何体的表面积是____．20、知集合A={x|x2﹣1=0}，B={x|ax﹣1=0}，A∪B=A，求实数a的值．21、解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．评卷人得分四、解答题(共1题，共3分)22、试讨论函数f（x）=在区间[0，1]上的单调性．评卷人得分五、综合题(共4题，共40分)23、二次函数的图象的顶点坐标是，它与x轴的一个交点B的坐标是（-2，0），另一个交点的是C，它与y轴相交于D，O为坐标原点．试问：y轴上是否存在点P，使得△POB∽△DOC？若存在，试求出过P、B两点的直线的解析式；若不存在，说明理由．24、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．25、若记函数y在x处的值为f（x），（例如y=x2，也可记着f（x）=x2）已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象如图所示，且ax2+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，则下列结论成立的有____．

（1）ac＞0；

（2）；

（3）对所有的实数x都有f（x）＞x；

（4）对所有的实数x都有f（f（x））＞x．26、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

∵m2+（cos2θ-5）m+4sin2θ≥0；

∴m2+（cos2θ-5）m+4（1-cos2θ）≥0；

∴cos2θ（m-4）+m2-5m+4≥0恒成立。

⇔不等式恒成立。

⇔m≤0或m≥4；

故选C．

【解析】【答案】先利用三角函数公式将抽象不等式变为三角不等式；再由三角函数的有界性结合一次函数的性质求参数m的范围，即可选出正确选项．

2、A【分析】

∵函数

∴=

=

=-

故选A．

【解析】【答案】根据所给的函数式；代入自变量的值，是一个分数指数的运算，要先把分数指数形式变化为根式形式，还有一个负指数的整理，最后合并同类项，得到结果．

3、B【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于函数(x∈R)满足可知函数为偶函数，且周期为2，那么可知排除A,C,对于B,D来说，就看周期性可知，满足周期为2的为B，故答案为B,

考点：函数图象。

点评：主要是考查了函数图象以及函数性质的运用，属于基础题。【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】

试题分析：根据题意，由于函数在[0,2]上的最大值是7，那么可知a>0，因此在x=2时取得最大值7，故有4a-1=7,a=2,那么可知指数函数在[0,2]上递增，那么可知最大值为4，最小值为1，故指数函数在[0,2]上的最大值与最小值的和为5,答案为B

考点：函数的最值：

点评:本试题主要是考查了一次函数的单调性，以及指数函数的最值，属于基础题。【解析】【答案】B5、D【分析】【解析】

试题分析：根据已知可知，全集集合而根据补集的定义，故可知集合故选D.

考点：补集的运算。

点评：该试题属于常规试题，关键是把集合A准确表示即可，比较容易得分。【解析】【答案】D6、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C7、B【分析】【解答】解：∵a=log32

∴log38﹣log3=3log32﹣（log33﹣2log32）=3a﹣1+2a=5a﹣1；

故选：B

【分析】直接根据对数的运算法则计算即可．8、C【分析】【解答】解：当x＞0时，log2x=∴x=当x≤0时，2x=∴x=﹣1．

则实数a的值为：﹣1或

故选C．

【分析】本题考查的分段函数的求值问题，由函数解析式，我们可以先计算当x＞0时的a值，然后再计算当x≤0时的a值，最后综合即可．9、B【分析】解：若则•（-）=0，∴⊥（-），不能推出故排除A；

若平方可得++2=+-2则=0；故B正确；

若则不能推出因为当=时，与的关系是任意的；故排除C；

若与是单位向量，则当时，=0，不能推出=1；故排除D；

故选：B．

利用两个向量共线；垂直的性质；两个向量的数量积的运算法则，判断各个选项是否正确，从而得出结论．

本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

当直线过原点时，斜率k==故直线的方程为y=x即2x-3y=0．

当直线不过原点时；设直线的方程为x+y+m=0，把（-3，-2）代入直线的方程得m=5；

故求得的直线方程为x+y+5=0；

综上；满足条件的直线方程为2x-3y=0或x+y+5=0．

故答案为：2x-3y=0或x+y+5=0．

【解析】【答案】当直线过原点时；求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y+m=0，把（-3，-2）代入直线的方程，求出m值，可得直线方程．

11、略

【分析】【解析】如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴【解析】【答案】12、sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ【分析】【解答】在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）

=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+sinβcosβ+sinαcosα．

用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积S1．

空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×sinαcosα）=sinβcosβ+sinαcosα．

故阴影部分的面积S1=S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）．

而在右边的图中阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ．

在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S减去2个小空白矩形的面积；

而2个空白矩形的面积之和；即sinβcosβ+sinαcosα；

故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积．

故左右图中阴影部分的面积也相等，即S1=S2；故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

故答案为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

【分析】左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为S1=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积S2还等于大矩形得面积S减去2个小空白矩形的面积；再由。

2个图中空白部分的面积相等，可得S1=S2，从而得出结论。13、（1，+∞）【分析】【解答】解：令t=|x﹣1|；该函数在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；

又函数y=3t是定义域内的增函数；

由复合函数的单调性知，函数f（x）=3|x﹣1|的单调递增区间是（1；+∞）．

故答案为：（1；+∞）．

【分析】令t=|x﹣1|，求出内函数的单调区间，结合复合函数的单调性得答案．14、3【分析】【解答】解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），得=2a，a=

∴y=f（x）=

∴f（9）=3．

故答案为：3．

【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值15、略

【分析】g（x）=log4（a•2x-a）；

函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点；即。

方程f（x）=g（x）只有一个解。

由已知得log4（4x+1）x=log4（a•2x-a）；

∴log4（）=log4（a•2x-a）；

方程等价于

设2x=t，t＞0，则（a-1）t2-at-1=0有一解。

若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t2-at-1；

∵h（0）=-1＜0；∴恰好有一正解。

∴a＞1满足题意。

若a-1=0，即a=1时，h（t）=--1，由h（t）=0，得t=-＜0；不满足题意。

若a-1＜0，即a＜1时，由△=（-）2-4（a-1）×（-1）=0，得a=-3或a=

当a=-3时，t=满足题意。

当a=时；t=-2（舍去）

综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．

故答案为：{a|a＞1或a=-3}．

根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点；化简得出即可得到结论。

本题主要考查函数与方程的运用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强，做难题的意志能力．【解析】{a|a＞1或a=-3}．16、略

【分析】解：令t=sinx隆脽x隆脢[娄脨6,5娄脨6]

隆脿t隆脢[12,1]

则原函数化为f(t)=2t2+2t鈭�12=2(t+12)2鈭�1t隆脢[12,1]

隆脿

当t=12

时；f(t)min=1

．

故答案为：1

．

令t=sinx

换元；求出t

的范围，然后利用配方法求得答案．

本题考查三角函数的最值，考查了配方法和换元法，是基础题．【解析】1

三、计算题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】根据韦达定理求得设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=1，x1•x2=-1；然后将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0列出方程组，再通过解方程组求得pq的值．【解析】【解答】解：设方程x2-x-1=0的二根分别为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=1，x1•x2=-1；则。

x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=1+2=3；

（x12）2+（x22）2=（x12+x22）2-2x12•x22=7．

将x1、x2分别代入方程x6-px2+q=0；得。

x16-px12+q=0①

x26-px22+q=0②

①-②；得。

（x16-x26）-p（x12-x22）=0；

【（x12）3-（x22）3】-p（x12-x22）=0；

（x12-x22）【（x12）2+（x22）2+x12•x22】-p（x12-x22）=0；

由于x1≠x2，则x12-x22≠0；所以化简，得。

【（x12）2+（x22）2+x12•x22】-p=0；

则p=（x12）2+（x22）2+（x1•x2）2=7+（-1）2=8；

①+②；得。

（x16+x26）-8（x12+x22）+2q=0；

【（x12）3+（x22）3】-24+2q=0；

∴（x12+x22）【（x12）2+（x22）2-x12•x22】-24+2q=0；

∴3【（x12）2+（x22）2-（x1•x2）2】-24+2q=0；

∴3（7-1）-24+2q=0；解得。

q=3；

综上所述；p=8，q=3．

故答案是：8、3．18、略

【分析】【分析】由于x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根，由此得到x12+4x1+2=0，x1+x2=-4，x1•x2=2，而x13=x12•x1，然后代入所求代数式即可求解．【解析】【解答】解：∵x1，x2为方程x2+4x+2=0的两实根；

∴x12+4x1+2=0，x1+x2=-4，x1•x2=2；

∴x12=-4x1-2；

而x13=x12•x1；

∴x13+14x2+55

=x12•x1+14x2+55

=（-4x1-2）•x1+14x2+55

=-4x12-2x1+14x2+55

=-4（-4x1-2）-2x1+14x2+55

=14（x1+x2）+8+55

=14×（-4）+63

=7．

故答案为：7．19、略

【分析】【分析】如图所示，一、棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，那么每个小正方形的边长是1，所以每个小正方面的面积是1；二、正方体的一个面有9个小正方形，挖空后，这个面的表面积增加了4个小正方形，减少了1个小正方形，即：每个面有12个小正方形，6个面就是6×12=72个，那么几何体的表面积为72×1=72．【解析】【解答】解：如图所示；周边的六个挖空的正方体每个面增加4个正方形，减少了1个小正方形，则每个面的正方形个数为12个，则表面积为12×6×1=72．

故答案为：72．20、解：∵A={x|x2=1}={﹣1；1}；

又∵A∪B=A得：B⊆A；

当a=0，ax=1无解；故B=∅，满足条件。

若B≠∅；则B={﹣1}，或Q={1}；

即a=﹣1；或a=1

故满足条件的实数a为：0，1，﹣1．【分析】知识点：并集及其运算。

解析【分析】由A∪B=A得B⊆A，可分B=∅和B≠⊅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的a值即可得到答案．21、解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，①a＞0时，﹣＜解集为{x|x＜﹣或x＞}；

②a=0时，x2＞0；解集为{x|x∈R且x≠0}；

③a＜0时，﹣＞解集为{x|x＜或x＞﹣}．

综上，当a＞0时，﹣＜解集为{x|x＜﹣或x＞}；

当a=0时，x2＞0；解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，﹣＞解集为{x|x＜或x＞﹣}【分析】【分析】把原不等式的右边移项到左边，因式分解后，分a大于0，a=0和a小于0三种情况分别利用取解集的方法得到不等式的解集即可．四、解答题(共1题，共3分)22、解：f（x）={#mathml#}1−x2

{#/mathml#}在区间[0，1]上是减函数，理由如下：证法一：设x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2，即﹣1≤x1＜x2≤1．

f（x1）﹣f（x2）={#mathml#}1−x12

{#/mathml#}﹣{#mathml#}1−x22

{#/mathml#}={#mathml#}(1−x12)−(1−x22)1−x12+1−x22

{#/mathml#}=﹣{#mathml#}(x2−x1)−(x2+x1)1−x12+1−x22

{#/mathml#}，

∵x2﹣x1＞0，{#mathml#}1−x12+1−x22

{#/mathml#}＞0，

∴当x1＞0，x2＞0时，x1+x2＞0，

那么f（x1）＞f（x2）．

故f（x）={#mathml#}1−x2

{#/mathml#}在区间[0，1]上是减函数；

证法二：∵函数f（x）={#mathml#}1−x2

{#/mathml#}，令y={#mathml#}u

{#/mathml#}，u=1﹣x2，

则y′={#mathml#}12u

{#/mathml#}，u′=﹣2x．

∴f′（x）={#mathml#}−x1−x2

{#/mathml#}，

当x∈[0，1）时，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立

当x=1时，f（x）=0

故f（x）={#mathml#}1−x2

{#/mathml#}在区间[0，1]上是减函数【分析】【分析】f（x）=在区间[0；1]上是减函数，理由如下：

证法一：设x1、x2∈﹣1，1]且x1＜x2，作差判断出f（x1）＞f（x2）可得：f（x）=在区间[0；1]上是减函数；

证法二：求导，根据当x∈[0，1）时，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，当x=1时，f（x）=0可得：f（x）=在区间[0，1]上是减函数；五、综合题(共4题，共40分)23、略

【分析】【分析】先根据条件利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出点D，点C的坐标，最后根据相似三角形的性质求出点P的坐标，根据P、B两点的坐标利用待定系数法就可以求出直线PB的解析式．【解析】【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是；它与x轴的一个交点B的坐标是（-2，0）；

∴设抛物线的解析式为：将点B（-2；0）代入得；

；解得

a=-1

∴抛物线的解析式为：y=-x2+x+6．

当x=0时；y=6

∴D（0；6）；

∴OD=6

y=0时，x1=-2，x2=3

C（3；0）；

∴OC=3；

∵B（-2；0）；

∴OB=2．

∵△POB∽△DOC；

∴；

∴

∴PO=4

∴P（0；4）或P（0，-4）；

设直线PB的解析式为：y=kx+b；

∴或；解得：

或

求得直线PB的解析式为：y=2x+4或y=-2x-4．

24、略

【分析】【分析】令x=0，得y=，令y=0，得x=，则Sk=•=（-），根据三角形面积公式求和．【解析】【解答】解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（；0），则

则Sk=•=（-）；

S1+S2++S2009

=