平面向量的数量积的性质

平面向量的数量积的性质【问题导思】已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b.2.a·a等于什么？【提示】|a|·|a|cos0°＝|a|2.(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2即|a|＝eq\r(a·a)；(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).向量的数量积运算(2013·海淀高一检测)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝5×4×cos120°＝5×4×(－eq\f(1,2))＝－10.(2)∵|a|cosθ＝5×cos120°＝－eq\f(5,2)，∴a在b方向上的射影的数量为－eq\f(5,2).1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.2.求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.1.(2013·玉溪高一检测)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则a在b方向上的射影的数量是()A.－4B.4【解析】cos<a，b>＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－12,6×3)＝－eq\f(2,3)，向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cos<a，b>＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－4，故选A.【答案】A2.已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.【解】当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，|a|·|e|cos45°＝6×1×eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2)；|a|·|e|cos90°＝6×1×0＝0；|a|·|e|cos135°＝6×1×(－eq\f(\r(2),2))＝－3eq\r(2).当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a在e方向上的正射影的数量分别为：2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±eq\f(\r(14),2).故所求实数t的取值范围是－7，－eq\f(\r(14),2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))).1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是()A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0B.若λa＝0，则a＝0或λ＝0C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD.若a·b＝a·c，则b＝c【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.【答案】B2.(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－|b|2,3|b|2)＝－eq\f(1,3).【答案】－eq\f(1,3)3.已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________.【解析】向量a在向量b方向上的射影是|a|cos60°＝4×eq\f(1,2)＝2.【答案】24.已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.【解】(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)当a⊥b时，<a，b>＝eq\f(π,2).∴a·b＝|a||b|coseq\f(π,2)＝4×5×0＝0.(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝4×5×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).一、选择题1.|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则a与b的夹角为()A.30° B.60°C.120° D.150°【解析】c⊥a，设a与b的夹角为θ，则(a＋b)·a＝0，所以a2＋a·b＝0，所以a2＋|a||b|cosθ＝0，则1＋2cosθ＝0，所以cosθ＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°.故选C.【答案】C2.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A.2B.4C.6D.12【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.【答案】C3.△ABC中，eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AC,\s\up11(→))＜0，则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】∵eq\o(AB,\s\up11(→))·eq\o(AC,\s\up11(→))＝|eq\o(AB,\s\up11(→))||eq\o(AC,\s\up11(→))|cosA＜0，∴cosA＜0.∴A是钝角.∴△ABC是钝角三角形.【答案】C4.(2014·怀远高一检测)已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A.(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))【解析】∵a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ＞0，∴λ＜eq\f(1,2)，又a、b同向共线时，a·b＞0，设此时a＝kb(k＞0)，则i－2j＝k(i＋λj)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,－2＝kλ，))∴λ＝－2，∴a、b夹角为锐角时，λ的取值范围是(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))，故选A.【答案】A5.(2014·皖南八校高一检测)在△OAB中，已知OA＝4，OB＝2，点P是AB的垂直平分线l上的任一点，则eq\o(OP,\s\up11(→))·eq\o(AB,\s\up11(→))＝()A.6B.－6C.12D.－12【解析】设AB的中点为M，则eq\o(OP,\s\up11(→))·eq\o(AB,\s\up11(→))＝(eq\o(OM,\s\up11(→))＋eq\o(MP,\s\up11(→)))·eq\o(AB,\s\up11(→))＝eq\o(OM,\s\up11(→))·eq\o(AB,\s\up11(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→)))·(Oeq\o(B,\s\up11(→))－eq\o(OA,\s\up11(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up11(→))2－eq\o(OA,\s\up11(→))2)＝－6.故选B.【答案】B二、填空题6.(2014·北大附中高一检测)向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b【解析】因为a·b＝|a||b|cos120°＝－eq\f(3,2)，所以|5a－b|2＝25a2－10a·b＋b2＝25－10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋9＝49，所以|5a－b|＝7.【答案】77.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ【解析】∵(3a＋2b)⊥(λa－b∴(λa－b)·(3a＋2b∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos90°－18＝0，∴12λ－18＝0，∴λ＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)8.(2014·温州高一检测)已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________.【解析】设a，b的夹角为θ，由b·(a－b)＝0，得|b|·|a|cosθ－|b|2＝0.解得|b|＝0或|b|＝|a|cosθ＝cosθ≤1，所以|b|的取值范围是[0,1].【答案】[0,1]三、解答题9.已知向量a、b的长度|a|＝4，|b|＝2.(1)若a、b的夹角为120°，求|3a－4b(2)若|a＋b|＝2eq\r(3)，求a与b的夹角θ.【解】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·＝9×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4eq\r(19).(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b＝42＋2a·b＋22＝(2eq\r(3))2，∴a·b＝－4，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－4,4×2)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).10.已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值.【解】∵a⊥b，∴a·b＝0，又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.∴k＝eq\f(1,4)(t2－3t)＝eq\f(1,4)(t－eq\f(3,2))2－eq\f(9,16)(t≠0).故当t＝eq\f(3,2)时，k取最小值－eq\f(9,16).11.(2014·淄博高一检测)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝eq\r(7).(1)求a与b夹角的大小；(2)求a＋b与b夹角的大小；(3)求eq\f(|3a＋b|,|3a－b|)的值.【解】(1)设a与b的夹角为θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq\f(1,2)，∴|a||b|cosθ＝eq\f(1,2)，即cosθ＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴a与b的夹角为eq\f(π,3).(2)设a＋b与b的夹角为α，∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)，|a＋b|＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(3)，|b|＝1，∴cosα＝eq\f(a＋b·b,|a＋b||b|)＝eq\f(\f(3,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又α∈[0，π]，∴a＋b与b的夹角为eq\f(π,6