福建省南平市大洲学校2021年高三数学理联考试卷含解析

福建省南平市大洲学校2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1，a－2,5}，?UA＝{2,4}，则a的值为()A．3B．4

C．5D．6参考答案：C略2.已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，，（其中是的导函数），若，，则的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，则S20（）A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2参考答案：C【考点】8E：数列的求和．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式求和公式即可得出．【解答】解：∵Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，∴n=2时，a1+a2=1+2a2，解得a2=1．n≥3时，an=Sn﹣Sn﹣1=1+2an﹣（1+2an﹣1），化为：an=2an﹣1，∴数列{an}从第二项开始是等比数列，公比与首项都为2．∴S20=2+=219+1．故选：C．4.已知集合M=，集合

(e为自然对数的底数），则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小的1份为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（

）

参考答案：【答案解析】D

解析：当时，又是奇函数，有图像可知，有5个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选D.【思路点拨】利用时的解析式及函数的奇偶性，画出函数的图像，此图像与直线交点横坐标的和为所求.7.已知集合，，则A∩B=等于（

）A.(－1,3) B.(0,3) C.(1,3) D.(2,3)参考答案：D【分析】求出集合A，然后根据数轴求出.【详解】解：因为，所以或，故集合{或}，又因为集合，所以=，故选D.【点睛】本题考查了集合的交集，解题的关键是审清题意，解析出集合中的元素.8.在锐角中，AB=3，AC=4，其面积，则BC=(

)A．

B．或

C．

D．参考答案：9.已知曲线与函数及函数的图像分别交于，则的值为A．16

B．8

C．4

D．2参考答案：C10.若对任意的，函数满足，且，则（

）A．1

B．-1

C．2012

D．-2012参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且满足，则xy的最大值为

▲

.参考答案：312.已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S=×2×3=3，高h=4，故体积V==4；故答案为：4【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．13.设复数（为虚数单位），则.参考答案：由得。14.在中,则的形状为

．参考答案：等腰三角形15.设i为虚数单位，则复数=

．参考答案：﹣4﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：=，故答案为：﹣4﹣3i．16.设，则二项式的展开式中含有的项的系数为

__参考答案：17.的展开式中，含项的系数为

（用数字作答）参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，,,是边长为的等边三角形，，与平面所成角的正弦值为.（1）在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由；（2）求二面角的平面角的余弦值.参考答案：解：（1）取的中点，连结，则，又，可得,所以，所以，CG=,故CD=…………2分取的中点为，的中点为,因为，，所以为平行四边形，得，

平面

∴存在为中点，DF=时，使得

……5分（2）如图建立空间直角坐标系，则、、

、，从而，

，。

………7分设为平面的法向量，则可以取

…9分设为平面的法向量，则取

……11分因此，故二面角的余弦值为

……………12分19.在等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的通项公式为，求数列{an?bn}的前n项的和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n﹣1）?d．由a2=6，a3+a6=27，可得解得．从而，an=3n．（2）由（1）可知an=3n，∴．①②①﹣②，得：故．20.已知二次函数f（x）=ax2﹣4bx+2． （Ⅰ）任取a∈{1，2，3}，b∈{﹣1，1，2，3，4}，记“f（x）在区间[1，+∞）上是增函数”为事件A，求A发生的概率； （Ⅱ）任取（a，b）∈{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}，记“关于x的方程f（x）=0有一个大于1的根和一个小于1的根”为事件B，求B发生的概率． 参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型． 【分析】（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个，函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1，由此利用列举法能求出A发生的概率． （Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB，由此利用几何概型能求出B发生的概率． 【解答】解：（Ⅰ）因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3×5=15个． 因为函数f（x）的图象关于直线x=对称，若事件A发生，则a＞0且≤1． 数对（a，b）的取值为（1，﹣1），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣1），（3，1）共5种． 所以P（A）==． （Ⅱ）集合{（a，b）|a+4b﹣6≤0，a＞0，b＞0}对应的平面区域为Rt△AOB， 如图．其中点A（6，0），B（0，）， 则△AOB的面积为××6=． 若事件B发生，则f（1）＜0，即a﹣4b+2＜0． 所以事件B对应的平面区域为△BCD． 由，得交点坐标为D（2，1）． 又C（0，），则△BCD的面积为×（﹣）×2=1． 所以P（B）==． 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用． 21.“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？参考答案：略22.给定整数，证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S，使得对S的任意两个不同的非空子集A，B，数

与

是互素的合数．（这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数．）参考答案：证明：我们用表示有限数集X中元素的算术平均．第一步，我们证明，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，有．证明：对任意，，设正整数k满足

，

①并设l是使的最小正整数．我们首先证明必有．

事实上，设是A中最大的数，则由，易知A中至多有个元素，即，故．又由的定义知，故由①知．特别地有．此外，显然，故由l的定义可知．于是我们有．若，则；否则有，则

．由于是A中最大元，故上式表明．结合即知．现在，若有的两个不同的非空子集A，B，使得，则由上述证明知，故，但这等式两边分别是A，B的元素和，利用易知必须A=B，矛盾．第二步，设K是一个固定的正整数，，我们证明，对任何正整数x，正整数的n元集合具有下述性质：对的任意两个不同的非空子集A，B，数与是两个互素的整数．事实上，由的定义易知，有的两个子集，满足，，且

．

②显然及都是整数，故由上式知与都是正整数．现在设正整数d是与的