2021高考数学专题辅导与训练配套练习：专题五-立体几何

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题提升练(四)(专题五)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.一个简洁几何体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图不行能是()A.正方形 B.圆C.等腰直角三角形 D.直角梯形【解析】选D.当几何体是一个长方体,其中一个侧面为正方形时,A可能;当几何体是一个横放的圆柱时,B可能;当几何体是横放的三棱柱时,C可能;只有D不行能.2.(2022·绍兴模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.3【解析】选C.由三视图易知,该几何体是底面积为QUOTE,高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得V=QUOTE×QUOTE×3=QUOTE.3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.75+2QUOTE B.75+4QUOTEC.48+4QUOTE D.48+2QUOTE【解析】选B.由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面的面积之和为2×QUOTE×3=27,四个侧面的面积之和为(3+4+5+QUOTE)×4=48+4QUOTE,故表面积为75+4QUOTE.4.(2022·杭州模拟)已知直线l,m,平面α,β,且l⊥α,m⊂β,则()A.若平面α不平行于平面β,则l不行能垂直于mB.若平面α平行于平面β,则l不行能垂直于mC.若平面α不垂直于平面β,则l不行能平行于mD.若平面α垂直于平面β,则l不行能平行于m【解析】选C.A中,l有可能与m垂直;B中,l必与m垂直;D中,l可能平行于m,C正确.5.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四周体ABCD(如图2),则在空间四周体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直【解析】选C.在图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直且交于一点,即AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.6.设三棱柱的侧棱垂直于底面,全部棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.πa2 B.QUOTEπa2C.QUOTEπa2 D.5πa2【解析】选B.依据题意作图如下(OB即为球的半径R):由图可知R2=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以S球=4πR2=QUOTEπa2.7.如图,PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的是()①平面PAB⊥平面PBC; ②平面PAB⊥平面PAD;③平面PAB⊥平面PCD; ④平面PAB⊥平面PAC.A.①② B.①③ C.②③ D.②④【解析】选A.易证BC⊥平面PAB,则平面PAB⊥平面PBC.又AD∥BC,故AD⊥平面PAB,则平面PAD⊥平面PAB,因此选A.8.已知三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y,若x+y=4,则三棱锥体积的最大值是()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.由条件可知V三棱锥O-ABC=QUOTEOA·OB·OC=QUOTExy≤QUOTE=QUOTE,当x=y=2时,取得最大值QUOTE.9.已知三边长分别为3,4,5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个过球心的圆,P为球面上一点,若点P到△ABC的三个顶点的距离相等,则三棱锥P-ABC的体积为()A.5 B.10 C.20 D.30【解析】选A.易知△ABC为直角三角形且点P在平面ABC上的射影为O,则OP=OA=OB=OC=R,又由于S△ABC=QUOTE|AB|·|AC|·sinA,由正弦定理可得sinA=QUOTE,故QUOTE|AB|·|AC|·sinA=QUOTE=6,解得R=QUOTE,故VP-ABC=QUOTES△ABC·R=5.10.(2022·温州模拟)已知点P是正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一动点,且满足|PA|=2|PB|.设PD1与平面ABCD所成角为θ,则θA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.如图,设正方体棱长为2,点P的轨迹为:以点Q为球心,以QUOTE为半径的球与正方体表面的交线,即为如图的弧段EMG,GSF,FNE,要使得PD1与底面ABCD所成角最大,则PD1与底面ABCD的交点R与点D的距离最短,从而点P在弧段ENF上,故点P在弧段ENF上,且在QD上.从而DP=QUOTE-QUOTE=2,从而tanθ最大值为1,故θ最大值为QUOTE.二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.请把正确答案填在题中横线上)11.若正三棱锥的正(主)视图与俯视图如图(单位:cm),则它的侧(左)视图的面积为cm2.【解析】由该正三棱锥的正(主)视图和俯视图可知,其侧(左)视图为一个三角形,它的底边长等于俯视图的高即QUOTE,高等于正(主)视图的高即QUOTE,所以侧(左)视图的面积为S=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE(cm2).答案:QUOTE12.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为.【解析】如图,由于PC⊥平面ABC,MC⊂平面ABC,所以PC⊥MC.故PM=QUOTE=QUOTE.又由于MC的最小值为QUOTE=2QUOTE,所以PM的最小值为2QUOTE.答案:2QUOTE13.(2022·宁波模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.【解析】结合三视图可知,该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为QUOTE×2×2sin60°×2-QUOTE×QUOTE×2×2sin60°×1=QUOTE.答案:QUOTE14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.【解析】由EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,知EF∥AC.所以由E是中点知EF=QUOTEAC=QUOTE.答案:QUOTE15.已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO⊥平面ABC,QUOTE=QUOTE,则三棱锥与球的体积之比为.【解析】依题意,AB=2R,又QUOTE=QUOTE,∠ACB=90°,因此AC=QUOTER,BC=R,VP-ABC=QUOTEPO·S△ABC=QUOTE×R×QUOTE=QUOTER3,而V球=QUOTER3,因此VP-ABC∶V球=QUOTER3∶QUOTER3=QUOTE∶8π.答案:QUOTE∶8π16.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有;与AP垂直的直线有.【解析】由于PC⊥平面ABC,所以PC垂直于直线AB,BC,AC;由于AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥AP.即与AP垂直的直线是AB.答案:AB,BC,ACAB17.对于四周体ABCD,给出下列四个命题:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.其中真命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).【解析】本题考查四周体的性质,取BC的中点E,则BC⊥AE,BC⊥DE,AE∩DE=E,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥AD,故①正确.设O为A在面BCD上的射影,依题意OB⊥CD,OC⊥BD,所以O为垂心,所以OD⊥BC,所以BC⊥AD,故④正确,②③易排解,故答案为①④.答案:①④三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2QUOTE,∠PAB=60°.M是PD的中点.(1)证明:PB∥平面MAC.(2)证明:平面PAB⊥平面ABCD.(3)求四棱锥P-ABCD的体积.【解析】(1)连接OM,由于M是PD中点,矩形ABCD中O为BD中点,所以OM∥PB.又OM平面MAC,PB平面MAC.所以PB∥平面MAC.(2)由题设知PA=2,AD=2,PD=2QUOTE,有PA2+AD2=PD2,所以AD⊥PA.在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.由于AD平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.(3)过点P作PH⊥AB于点H.由于平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.在Rt△PHA中,PH=PAsin60°=2×QUOTE=QUOTE,VP-ABCD=QUOTEAB×AD×PH=QUOTE×3×2×QUOTE=2QUOTE.19.(14分)(2022·龙岩模拟)如图所示的平面四边形ABCD中,△ABD是以A为直角顶点的等腰直角三角形,△BCD为正三角形,且BD=4,AC与BD交于点O(如图甲).现沿BD将平面四边形ABCD折成三棱锥A-BCD,使得折起后∠AOC=θ(0<θ<π)(如图乙).(1)证明:不论θ在(0,π)内为何值,均有AC⊥BD.(2)当三棱锥A-BCD的体积为QUOTE时,确定θ的大小.【解析】(1)易证△ABC≌△ADC,可知AC是等腰△ABD和等边△BCD的角平分线,也是高,所以AO⊥BD,CO⊥BD.由于在平面图形中,AO⊥BD,CO⊥BD,折起后这种关系不变,且AO∩CO=O,所以折起后BD⊥平面AOC,又AC平面AOC,故BD⊥AC,即不论θ在(0,π)内为何值,均有AC⊥BD.(2)由(1)知BD⊥平面AOC,又BD平面BCD,所以平面AOC⊥平面BCD.过点A作AE⊥OC于点E,由于平面AOC∩平面BCD=OC,所以AE⊥平面BCD,即AE是三棱锥A-BCD的高,在Rt△AOE中,AE=AOsinθ=2sinθ,S△BCD=QUOTE×4×4×QUOTE=4QUOTE,故三棱锥A-BCD的体积为V=QUOTE×4QUOTE×2sinθ=QUOTEsinθ,当三棱锥A-BCD的体积为QUOTE时,sinθ=1,θ=QUOTE.20.(14分)(2022·诸暨模拟)如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,AD=3,BC=2,AB=QUOTE,E,F为AD上的两个三等分点,G,H分别为线段AB,BC的中点,将△ABE沿直线BE翻折成△A1BE,使平面A1BE⊥平面BCDE.(1)求证:A1D∥平面FGH.(2)求直线A1D与平面A1BE所成角.(3)过点A1作平面α与线段BC交于点J,使得平面α垂直于BC,求CJ的长度.【解析】(1)由已知得BC=2=ED且BC∥ED,故四边形BCDE为平行四边形,H,F为BC,ED的中点,连接BD,设BD∩HF=O,则易知O为BD的中点,连接GO,由G为A1B中点,知OG∥A1D.又GO平面FGH,A1D平面FGH,故A1D∥平面FGH.(或证平面A1CD∥平面FGH,又A1D平面A1CD,故A1D∥平面FGH)(2)在平面BCD内过点D作DM⊥BE,交BE延长线于点M,连接A1M,由已知面A1BE⊥平面BCD,且BE为两平面的交线,得DM⊥平面A1BE,则∠DA1M即为直线A1D与平面A在△DEM中,由DE=2,∠DEM=60°,知DM=QUOTE.在△A1EM中,A1E=1,EM=1,∠A1EM=120°,知A1M=QUOTE,从而tan∠DA1M=QUOTE=QUOTE=1,所以∠DA1M=QUOTE,即直线A1D与平面A1BE所成的角为QUOTE.(3)过A1作A1K⊥BE交BE于K,则由平面A1BE⊥平面BCDE可得A1K⊥平面BCDE,从而BC⊥A1K,过K作KM'⊥BC交BC于M',则BC⊥平面A1KM',由于过A1且与BC垂直的平面是唯一的,所以平面A1KM'即平面在Rt△A1BE中,BK=QUOTE,所以在Rt△BKJ中,BJ=QUOTEBK=QUOTE,所以CJ=QUOTE.21.(15分)(2022·慈溪模拟)如图所示,平面四边形PACB中,∠PAB为直角,△ABC为等边三角形,现把△PAB沿着AB折起,使得平面APB与平面ABC垂直,且点M为AB的中点.(1)求证:平面PAB⊥平面PCM.(2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的余弦值.【解析】(1)由于平面APB⊥平面ABC且交线为AB,又由于∠PAB为直角,所以PA⊥平面ABC,故AP⊥CM.又由于△ABC为等边三角形,点M为AB的中点,所以CM⊥AB.又由于PA∩AB=A,所以CM⊥平面PAB.又CM平面PCM,所以平面PAB⊥平面PCM.(2)假设PA=a,则AB=2a.方法一:(等体积法)VP-MBC=VB-PMC,QUOTEPA·S△MBC=QUOTEhB·S△PMC,而三角形PMC为直角三角形,故面积为QUOTEa2,故hB=QUOTEa.所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值sinθ=QUOTE=QUOTE,所以余弦值为QUOTE.方法二:(向量坐标法)以点M为坐标原点,以MB为x轴,以MC为y轴,过M且平行于AP的直线为z轴建立空间直角坐标系,设PA=a,则M(0,0,0),P(-a,0,a),B(a,0,0),C(0,QUOT