【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修2-3教案：第1章-新知导学：排列

排列排列部分的题目背景多是“数学问题”和“人和物的排列问题”，在学习本节内容时，要擅长把题目中的文字语言翻译成排列的相关术语，正确运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式解决。本文对该学问点进行阐释，供参考：一、重点学问讲解1．排列的概念（1）排列的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，依据确定的挨次排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。（2）说明：①推断一个问题是否是排列问题，关键是看取出的元素是有序还是无序，只有与挨次有关的问题才是排列问题。②写出某个问题的全部排列时，要借助于树图这个工具，做到“不重不漏”。③排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按确定挨次排列”。④在定义中规定，假如，有的书中称为选排列；假如，称为全排列。⑤只有当元素完全相同，并且元素排列挨次也完全相同时，才是同一排列，其他状况都不是同一排列。⑥排列是分步乘法计数原理与分类加法计数原理的深化与拓展。2．排列数公式（1）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素的全部排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。说明：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同元素中取出个元素，依据不确定的挨次排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；排列数是指“从个不同元素中取出个元素的全部不同排列的个数”，它是一个数。（2）排列数公式：…，其中，且、，这个公式叫做排列数公式。说明：①排列数公式的推导过程是不完全归纳，并不是严格证明，要进行严格证明，可接受数学归纳法证明。②这个公式是在、，且状况下成立，不成立。③该公式的特点是右边的第一个因数是，后面的每一个因数都比它前面的因数少1，最终一个因数为，共有个因数相乘。3．全排列、阶乘及排列数公式的阶乘表示（1）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列。即当时，…321，这个公式指出个不同元素全部取出的排列数，等于自然数1到的连乘积。（2）阶乘：自然数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即。由此得到排列数公式为=，特殊留意：规定。（3）说明：①在一般状况下，要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积形式公式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，一般用阶乘式表示。②是一种规定，不能按阶乘的含义作解释。4．排列问题（1）有关排列应用题的解题步骤①依据题意，推断是否为排列问题，若与挨次有关则为排列问题，并进一步分清是否为全排列，防止重复与遗漏。②对问题进一步细化，确定特殊位置及特殊元素，适当选用直接法或排解法（间接法）。③利用排列数公式求值，并且做出明确的结论。说明：对于同一个问题，有时从特殊位置除法较简洁，有时从特殊元素动身较简洁，应机敏运用。通过排列应用题的解答，要深化对分类加法计数原理与分步乘法计数原理的生疏，具有“全局分类”和“局部分步”的意识。（2）解决排列应用题的常用方法方法名称战术方法适用范围位置分析法以位置为主，先满足特殊（受限）位置的要求，再处理其他位置，有两个以上的约束条件，往往是考虑一个条件的同时要兼顾其他条件。元素在某一位置或不在某一位置；比某一数大或某一数小等问题。元素分析法以元素为主，先满足特殊（受限）元素的要求，再处理其他元素，有两个以上的约束条件，往往是考虑一个元素的同时要兼顾其他元素。同上捆绑法把要求在一起的“小集团”看为一个整体，与其他元素进行排列，同时不要遗忘小集团内也要排列。含有“必需在一起”的问题。插空法先把没有限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好元素的空中，要留意无限制元素的排列数及所形成的空的个数。含有“不相邻”的问题。排解法直接考虑时状况较多，但其对立面状况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思考问题，然后用总状况减去即可，在此方法中，对立面问题要“不重不漏”。含有“至少”、“至多”等的问题。说明：各种方法之间相互联系，在解决问题时可以独立应用，也可混合应用，应用时不要过于死板。二、实际应用举例例1（1）若，则；（2）若，则。分析：利用排列数公式将方程、不等式转化为关于的代数方程、不等式进行求解。解析：（1）原不等式即，其中，即，∴，∴，解得或，又，，∴，，故2，3，4，5，6，7。（2）∵原式左边，∴，即，∴，或（舍去），由于，从而适合题意。评注：有关以排列数等公式形式给出的方程、不等式，应依据有关公式转化为一般方程、不等式，再求解。但应留意其中的字母都是满足确定限制条件的自然数，不要忽视这一点。例2从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程？其中有实根的方程有多少个？分析：题目有两问：第一问隐蔽的限制条件是，其次问的限制条件等价于，即受不等式的制约，需分类争辩。解析：先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定，只能从1，3，5，7中选一个，有种，然后从余下的4个数中任选两个做、，有种，故由分步乘法计数原理知，组成一元二次方程共有（个）。方程有实根，必需满足，分类争辩如下：当时，、可在1，3，5，7中任取两个排列，有个；当时，分析判别式知，只能取5，7。当取5时，，只能取1，3这两个数，有种；当取7时，，可取1，3或1，5这两组数，有2种。此时共有（+2）个。由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有++2=18个。评注：该例的限制条件较隐蔽，需认真分析。一元二次方程中需要考虑到，而对有实根的一元二次方程，需有。这里有两层意思：一是不能为0；二是要保证，所以需先对能否取0进行分类争辩。实际问题中，既要能观看出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要依据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法。例33名女生和5名男生排成一排。（1）假如女生必需全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）假如女生必需全分开，可有多少种不同的排法？（3）假如两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）假如两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？分析：用捆绑法解决（1）；用插空法解决（2）；特殊元素为女生，特殊位置为两端，因此可以用位置分析法或元素分析法，也可用间接法处理（3）；当首位为女生或男生两种状况，用分类加法计数原理解决（4），也可用全部的状况中扣除两端都为女生的状况解决（4）。解决：（1）（捆绑法）由于3名女生必需排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有种不同的排法。对于其中的每一种排法，3名女生之间又都有种不同的排法，因此共有种不同的排法。（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把5名男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两男生外侧的两位置，共有6个位置，再把3名女生插入这6个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于5名男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出三个来让3名女生插入都有种方法，因此共有=14400种不同的排法。（3）方法1（位置分析法）：由于两端都不能排女生，所以两端只能选择5名男生中的2名，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法。方法2（元素分析法）：从中间6个位置中选择出3个来让3名女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有=14400种不同的排法。方法3（间接法）3名女生和5名男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法被多扣除一次，所以还需要加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有=14400种不同的排法。（4）方法1：该问题可分为两类：第一类：当首位是男