《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第四章-第4讲-数系的扩充与复数的引入

第4讲数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bieq\o(→,\s\up3(一一对应))复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(→,\s\up3(一一对应))平面对量eq\o(OZ,\s\up6(→))．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[做一做]1．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)设z＝eq\f(1,1＋i)＋i，则|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D．2解析：选B.∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).2．(2022·高考安徽卷)设i是虚数单位，eq\o(z,\s\up6(－))表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A．－2 B．－2iC．2 D．2i解析：选C.∵z＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，eq\f(z,i)＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq\f(z,i)＋i·eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.1．辨明三个易误点(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，留意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)留意不能把实数集中的全部运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．2．复数的运算技巧(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．3．复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.[做一做]3．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i解析：选D.法一：eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\f(（1＋i）（1＋i）2,－2i)＝eq\f(（1＋i）（1＋i2＋2i）,－2i)＝eq\f(－2＋2i,－2i)＝eq\f(1－i,i)＝－1－i.故选D.法二：eq\f(（1＋i）3,（1－i）2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(2)(1＋i)＝i2(1＋i)＝－(1＋i)．4．(2022·高考广东卷)已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝()A．－3＋4i B．－3－4iC．3＋4i D．3－4i解析：选D.法一：由(3＋4i)z＝25，得z＝eq\f(25,3＋4i)＝eq\f(25（3－4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝3－4i.法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a－4b＝25，,4a＋3b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－4，))故z＝3－4i.eq\a\vs4\al(考点一)__复数的有关概念______________________(1)(2022·高考浙江卷)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2021·石家庄市第一次模拟)已知i为虚数单位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是纯虚数，则a的值为()A．－1或1 B．1C．－1 D．3[解析](1)当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；当(a＋bi)2＝2i时，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0，,ab＝1，))解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件．(2)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,a－1≠0))，∴a＝－1.[答案](1)A(2)C[规律方法]解决复数概念问题的方法及留意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应当满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时确定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．1.若eq\f(a,1－i)＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝__________．解析：∵a，b∈R，且eq\f(a,1－i)＝1－bi，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1－b，,0＝1＋b，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1.))∴|a＋bi|＝|2－i|＝eq\r(22＋（－1）2)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)eq\a\vs4\al(考点二)__复数的几何意义______________________(1)(2022·高考课标全国卷Ⅱ)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i(2)(2021·高考湖北卷)在复平面内，复数z＝eq\f(2i,1＋i)(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2，1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝1＋i，所以eq\o(z,\s\up6(－,))＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．[答案](1)A(2)D[规律方法]复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up6(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2.如图，平行四边形OABC中，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的复数，eq\o(BC,\s\up6(→))表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数．解：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的复数为－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.eq\a\vs4\al(考点三)__复数代数形式的运算(高频考点)________复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小．高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)复数的乘法运算；(2)复数的除法运算；(3)利用复数相等求参数．(1)已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝()A．－1 B．1C．2 D．3(2)(2022·高考天津卷)i是虚数单位，复数eq\f(7＋i,3＋4i)＝()A．1－i B．－1＋iC.eq\f(17,25)＋eq\f(31,25)i D．－eq\f(17,7)＋eq\f(25,7)i(3)(2022·高考浙江卷)已知i是虚数单位，计算eq\f(1－i,（1＋i）2)＝________．(4)i是虚数单位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))eq\s\up12(2016)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＝________．[解析](1)由eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，得a＋2i＝bi－1，所以a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.(2)eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(（7＋i）（3－4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i，故选A.(3)eq\f(1－i,（1＋i）2)＝eq\f(1－i,1＋2i＋i2)＝eq\f(1－i,2i)＝eq\f(－i（1－i）,－2i2)＝eq\f(－i－1,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.(4)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),1－i)))\s\up12(2)))eq\s\up12(1008)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,－2i)))eq\s\up12(1008)＋i6＝i1008＋i6＝i4×252＋i4＋2＝1＋i2＝0.[答案](1)B(2)A(3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i(4)0[规律方法]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要留意把i的幂写成最简形式．3.计算下列各式的值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))eq\s\up12(2)；(2)eq\f(2＋4i,（1＋i）2)；(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3.解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,1＋i)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4i2,（1＋i）2)＝eq\f(－4,2i)＝2i.(2)eq\f(2＋4i,（1＋i）2)＝eq\f(2＋4i,2i)＝2－i.(3)eq\f(1＋i,1－i)＋i3＝eq\f(（1＋i）2,（1－i）（1＋i）)＋i3＝eq\f(2i,2)＋i3＝i－i＝0.交汇创新——与复数有关的新定义问题(2021·南昌模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，a2，b1，b2∈R)，当且仅当“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”时，z1>z2.按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题：①若z1>z2，则|z1|>|z2|；②若z1>z2，z2>z3，则z1>z3；③若z1>z2，则对于任意z∈C，z1＋z>z2＋z；④对于复数z>0，若z1>z2，则zz1>zz2.其中全部真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[解析]对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，明显满足z1>z2，但|z1|＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(10)，不满足|z1|>|z2|，故①不正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)，由z1>z2，z2>z3，可得“a1>a3”或“a1＝a3且b1>b3”，故②正确；设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi，(a，a1，a2，b，b1，b2∈R)，由z1>z2，可得“a1>a2”或“a1＝a2且b1>b2”．明显有“a1＋a>a2＋a”或“a1＋a＝a2＋a且b1＋b>b2＋b”，从而z1＋z>z2＋z，故③正确；对于复数z1＝2＋i，z2＝1－3i明显满足z1>z2，令z＝1＋i，则zz1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，zz2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i，明显不满足zz1>zz2，故④错误．综上②③正确，故选B.[答案]B[名师点评]解决本题的关键有以下两点：(1)依据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理．(2)能擅长利用举反例的方法解决问题．定义一种运算如下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(x1,x2)\a\vs4\al(y1,y2)))＝x1y2－x2y1，则复数z＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(3)＋i,\r(3)－i)\a\vs4\al(－1,i)))(i是虚数单位)的共轭复数是________．解析：z＝(eq\r(3)＋i)i－(eq\r(3)－i)(－1)＝eq\r(3)i＋i2＋eq\r(3)－i＝(eq\r(3)－1)i＋eq\r(3)－1，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i.答案：(eq\r(3)－1)＋(1－eq\r(3))i

1．(2021·山西省第三次四校联考)设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则eq\f(2,z)＋z2＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i解析：选D.eq\f(2,z)＋z2＝eq\f(2,1＋i)＋(1＋i)2＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋1＋2i＋i2＝1－i＋2i＝1＋i.2．(2022·高考江西卷)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：选C.∵z(1＋i)＝2i，∴z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i（1－i）,2)＝1＋i，∴|z|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).3．(2021·洛阳市统考)已知复数eq\f(a＋3i,1－2i)纯虚数，则实数a＝()A．－2 B．4C．－6 D．6解析：选D.eq\f(a＋3i,1－2i)＝eq\f(a－6＋（2a＋3）i,5)，∴当a＝6时，复数eq\f(a＋3i,1－2i)为纯虚数．4．(2021·浙江宁波高三期中)已知复数z＝1＋eq\f(2i,1－i)，则1＋z＋z2＋…＋z2015为()A．1＋i B．1－iC．i D．0解析：选D.z＝1＋eq\f(2i,1－i)＝1＋eq\f(2i（1＋i）,2)＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2015＝eq\f(1×（1－z2016）,1－z)＝eq\f(1－i2016,1－i)＝eq\f(1－i4×504,1－i)＝0.5．设z1，z2是复数，则下列命题中为假命题的是()A．若|z1－z2|＝0，则eq\o(z1,\s\up6(－))＝eq\o(z2,\s\up6(－))B．若z1＝eq\o(z2,\s\up6(－))，则eq\o(z1,\s\up6(－))＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\o(z1,\s\up6(－))＝z2·eq\o(z2,\s\up6(－))D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析：选D.对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒eq\o(z1,\s\up6(－))＝eq\o(z2,\s\up6(－))，是真命题；对于B，C易推断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，则|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命题．6．已知复数z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．解析：z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)＝eq\f(4＋2i,2i)＝eq\f(（4＋2i）i,2i2)＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－57．已知复数z＝1－i，则eq\f(z2－2z,z－1)＝________．解析：eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(（z－1）2－1,z－1)＝z－1－eq\f(1,z－1)＝(－i)－eq\f(1,－i)＝－i－eq\f(i,－i·i)＝－2i.答案：－2i8