【优化方案】2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第三章第8课时

[基础达标]1．(2022·河南郑州模拟)已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10km B．10eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：选D．如图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．2.两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站南偏西40°，灯塔B在观看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D．由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.3．(2021·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，则sin∠BAC＝()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),5)C．eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(\r(5),5)解析：选C．由余弦定理可得AC＝eq\r(BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC)＝eq\r(2＋9－2×\r(2)×3×\f(\r(2),2))＝eq\r(5)，于是由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，于是sin∠BAC＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).4．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4 B．6.6C．6.5 D．5.6解析：选B．∵AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)m，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))m.∴航线离山顶h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.5．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：选A．如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．6.如图，一艘船上午9∶30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h，在△ABS中AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)，∠BSA＝45°，由正弦定理得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，则v＝32.答案：327.(2021·高考福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，则BD的长为________．解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3eq\r(2)×3×eq\f(2\r(2),3)＝3，∴BD＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)9．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观看对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100m．求该河段的宽度．解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，∴BC＝eq\f(ABsin75°,sin60°).如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝eq\f(BD,BC)，∴BD＝BCsin45°＝eq\f(ABsin75°,sin60°)·sin45°＝eq\f(100×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(50（3＋\r(3)）,3)m，∴该河段的宽度为eq\f(50（3＋\r(3)）,3)m.10.(2021·高考课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝eq\r(3)，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝eq\f(1,2)，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋eq\f(1,4)－2×eq\r(3)×eq\f(1,2)cos30°＝eq\f(7,4)，故PA＝eq\f(\r(7),2).(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得eq\f(\r(3),sin150°)＝eq\f(sinα,sin（30°－α）)，化简得eq\r(3)cosα＝4sinα，所以tanα＝eq\f(\r(3),4)，即tan∠PBA＝eq\f(\r(3),4).[力气提升]1．一个大型喷水池的中心有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：选A．设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，依据余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A．eq\f(17\r(6),2)海里/时 B．34eq\r(6)海里/时C．eq\f(17\r(2),2)海里/时 D．34eq\r(2)海里/时解析：选A．如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得eq\f(MN,sin120°)＝eq\f(PM,sin45°)，∴MN＝68×eq\f(\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝34eq\r(6)(海里)．又由M到N所用时间为14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v＝eq\f(34\r(6),4)＝eq\f(17,2)eq\r(6)(海里/时)．3．(2022·河南郑州模拟)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．解析：如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200m，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3)m.在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2，∴CD＝eq\f(1,\r(3))AC＝eq\f(400,3)(m)．答案：eq\f(400,3)m4．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.在△AMB中，由正弦定理，得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r(2).答案：30eq\r(2)5．在海岸A处，发觉北偏东45°方向、距离A处(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解：如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝eq\r(6).由正弦定理，得sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2)，得∠ABC＝45°，即BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，得∠BCD＝30°，∴∠BDC＝30°.又eq\f(CD,sin120°)＝eq\f(BC,sin30°)，eq\f(10\r(3)t,\r(3))＝eq\r(6)，得t＝eq\f(\r(6),10).所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花eq\f(\r(6),10)小时．6．(选做题)(2021·高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲动身2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的长．(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？解：(1)在△ABC中，由于cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)·sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)假设乙动身tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故当t＝eq\f(35,37)(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq