【优化方案】2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第9章-第8课时

[基础达标]一、选择题1．甲、乙两人同时报考某一所高校，甲被录用的概率为0.6，乙被录用的概率为0.7，两人是否被录用互不影响，则其中至少有一人被录用的概率为()A．0.12 B．0.42C．0.46 D．0.88解析：选D.由题意知，甲、乙都不被录用的概率为(1－0.6)×(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录用的概率为1－0.12＝0.88.2．甲、乙两市都位于长江下游，依据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%，则甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天的概率为()A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66解析：选A.甲市为雨天记为A，乙市为雨天记为B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.12,0.2)＝0.6.3．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标注数1，两个面上标注数2，一个面上标注数3，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之和为3的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：选C.设第i次向上的数是1为大事Ai，第i次向上的数是2为Bi，i＝1，2，则P(A1)＝P(A2)＝eq\f(1,2)，P(B1)＝P(B2)＝eq\f(1,3)，则所求的概率为P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：选B.设大事A：甲实习生加工的零件为一等品；大事B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(3,4)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝eq\f(2,3)×(1－eq\f(3,4))＋(1－eq\f(2,3))×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).5．(2022·福建福州市质量检测)在三次独立重复试验中，大事A在每次试验中发生的概率相同，若大事A至少发生一次的概率为eq\f(63,64)，则大事A恰好发生一次的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(9,64) D.eq\f(27,64)解析：选C.设大事A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－Ceq\o\al(3,3)(1－x)3＝eq\f(63,64)，得x＝eq\f(3,4)，则大事A恰好发生一次的概率为Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×(1－eq\f(3,4))2＝eq\f(9,64).二、填空题6．掷两枚均匀的骰子，已知它们的点数不同，则至少有一枚是6点的概率为________．解析：设大事A为至少有一枚是6点，大事B为两枚骰子的点数不同，则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，则P(A|B)＝eq\f(n（AB）,n（B）)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)7．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本．某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一大事的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的大事为A，“任取一书是精装书”的大事为B，则A，B是相互独立的大事，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)8．在一段时间内，甲去某地的概率是eq\f(1,4)，乙去此地的概率是eq\f(1,5)，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．解析：由题意知，两个人都不去此地的概率是(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,5))＝eq\f(3,5)，∴至少有一个人去此地的概率是1－eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)三、解答题9．抛掷红、蓝两颗骰子，设大事A为“蓝色骰子的点数为3或6”，大事B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).∵两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝eq\f(5,36).(2)由(1)知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).10．某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11.52频数102515频率0.2(1)填充上表；(2)若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求ξ的分布列．解：(1)从左至右两空格依次是0.5，0.3.(2)①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5.设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B(5，0.5)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,5)×0.52×(1－0.5)3＝0.3125.②ξ的可能取值为4，5，6，7，8.P(ξ＝4)＝0.22＝0.04，P(ξ＝5)＝2×0.2×0.5＝0.2，P(ξ＝6)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37，P(ξ＝7)＝2×0.5×0.3＝0.3，P(ξ＝8)＝0.32＝0.09.ξ的分布列为：ξ45678P0.040.20.370.30.09[力气提升]一、选择题1．某人抛掷一枚硬币，毁灭正反的概率都是eq\f(1,2)，构造数列{an}，使an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（第n次抛掷时毁灭正面），,－1（第n次抛掷时毁灭反面），))记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：选C.依题意得知，“S4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次毁灭正面，因此“S4＝2”的概率为Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).2．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：选C.设“甲、乙二人相邻”为大事A，“甲、丙二人相邻”为大事B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，而P(A)＝eq\f(2Aeq\o\al(4,4),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(2,5)，AB是表示大事“甲与乙、丙都相邻”，故P(AB)＝eq\f(2Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(5,5))＝eq\f(1,10)，于是P(B|A)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).二、填空题3．某种电路开关闭合后，会毁灭红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后毁灭红灯的概率是eq\f(1,2)，两次闭合都毁灭红灯的概率为eq\f(1,6).在第一次闭合后毁灭红灯的条件下其次次毁灭红灯的概率为________．解析：设大事A：第一次闭合毁灭红灯；大事B：其次次闭合毁灭红灯．则P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，故满足条件的P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．某大厦的一部电梯从底层动身后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为eq\f(1,3)，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________．解析：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，即有P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(k)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5－k)，k＝0，1，2，3，4，5.故P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(10,243).答案：eq\f(10,243)三、解答题5.如图，一圆形靶分成A，B，C三部分，其面积之比为1∶1∶2.某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的．(1)求该同学在一次投掷中投中A区域的概率；(2)设X表示该同学在3次投掷中投中A区域的次数，求X的分布列；(3)若该同学投中A，B，C三个区域分别可得3分，2分，1分，求他投掷3次恰好得4分的概率．解：(1)设该同学在一次投掷中投中A区域的概率为P(A)，依题意，P(A)＝eq\f(1,4).(2)依题意知，X～B(3，eq\f(1,4))，从而X的分布列为：X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)(3)设Bi表示大事“第i次击中目标时，击中B区域”，Ci表示大事“第i次击中目标时，击中C区域”，i＝1，2，3.依题意知P＝P(B1C2C3)＋P(C1B2C3)＋P(C1C2B3)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,16).6．(选做题)(2022·陕西省名校联考)设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观看疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为eq\f(2,3)，服用B有效的概率为eq\f(1,2).(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观看三个试验组，用X表示这三个试验组中甲类组的个数，求X的分布列．解：(1)设Ai表示大事“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2；Bi表示大事“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0，1，2.依题意，有P(A1)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(A2)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，P(B0)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(B1)＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求的概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,4)×eq\f(4,9)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,9)＝eq\f(4,9).(2)由题意知X