2021高中数学(人教A版)选修2-2课时作业12

课时作业(十二)一、选择题1．一周长为l的扇形，当面积达到最大值时，扇形的半径的()A.eq\f(l,3) B.eq\f(l,6)C.eq\f(l,4) D.eq\f(l,8)答案C解析设半径为r，则弧长为l－2r.S扇＝eq\f(1,2)·弧长·半径＝eq\f(1,2)(l－2r)·r＝－r2＋eq\f(l,2)r.令S′扇＝－2r＋eq\f(l,2)＝0，得r＝eq\f(l,4).2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为()A．10 B．15C．25 D．50答案C3．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使体积最大，则其高为()A.eq\f(20\r(3),3)cm B．100cmC．20cm D.eq\f(20,3)cm答案A4．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．假如甲、乙两地相距800海里，那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为()A．30海里/时 B．25海里/时C．20海里/时 D．10海里/时答案C二、填空题5．如图，两个工厂A、B相距0.6km，变电站C距A、B都是0.5km，方案铺设动力线，先由C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在距AB________km处时，动力线最短．答案eq\f(\r(3),10)解析设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为xkm.由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5，得AE＝EB＝0.3.∴CE＝eq\r(AC2－AE2)＝eq\r(0.52－0.32)＝0.4.∴CD＝0.4－x.∴AD＝BD＝eq\r(AE2＋DE2)＝eq\r(0.32＋x2)＝eq\r(0.09＋x2).∴动力线总长l＝AD＋BD＋CD＝2eq\r(0.09＋x2)＋0.4－x.令l′＝2·eq\f(2x,2\r(0.09＋x2))－1＝eq\f(2x－\r(0.09＋x2),\r(0.09＋x2))＝0，即2x－eq\r(0.09＋x2)＝0.解得x＝eq\f(\r(3),10).(∵x＞0)当x＜eq\f(\r(3),10)时，l′＜0；当x＞eq\f(\r(3),10)时，l′＞0.∴l在x＝eq\f(\r(3),10)时有最小值．6．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为______．答案eq\f(2\r(3),3)R解析作轴截面如右图，设圆柱高为2h，则底面半径为eq\r(R2－h2).圆柱体体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0.∴h＝eq\f(\r(3),3)R，即当2h＝eq\f(2\r(3),3)R时，圆柱体的体积最大．三、解答题7．当圆柱形金属罐的表面积为定值S时，应怎样制作，才能使其容积最大？解析设圆柱的高为h，底面半径为R，则S＝2πRh＋2πR2，∴h＝eq\f(S－2πR2,2πR).①∴V＝πR2h＝eq\f(1,2)R(S－2πR2)＝eq\f(1,2)RS－πR3.∴V′(R)＝eq\f(1,2)S－3πR2.令V′(R)＝0，得S＝6πR2，代入①式中h＝eq\f(6πR2－2πR2,2πR)＝2R.∴h＝2R时，圆柱的容积最大．8．某单位用2160万元购得一块空地，方案在该地块上建筑一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，那么每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq\f(购地总费用,建筑总面积))解析设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N*)，f′(x)＝48－eq\f(10800,x2).令f′(x)＝0，得x＝15.当x>15时，f′(x)>0；当10<x<15时，f′(x)<0.因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000(元)．答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．9．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解析(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为eq\f(s,v)，全程运输成本为y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝s(eq\f(a,v)＋bv)，∴所求函数及其定义域为y＝s(eq\f(a,v)＋bv)，v∈(0，c]．(2)由题意s、a、b、v均为正数．由y′＝s(b－eq\f(a,v2))＝0，得v＝eq\r(\f(a,b)).但v∈(0，c]．①若eq\r(\f(a,b))≤c，则当v＝eq\r(\f(a,b))时，全程运输成本y最小；②若eq\r(\f(a,b))>c，则v∈(0，c]，此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．所以当v＝c时，y最小．综上可知，为使全程运输成本y最小．当eq\r(\f(a,b))≤c时，行驶速度v＝eq\r(\f(a,b))；当eq\r(\f(a,b))>c时，行驶速度v＝c.10．(2010·湖北卷)为了在夏季降温存冬季供暖时削减能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解析设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建筑费用为C1(x)＝6x.最终得隔热层建筑费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即