【优化方案】2021届高中数学人教版高考复习知能演练轻松闯关-第七章第1课时

[基础达标]1．(2022·高考湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不行能是()解析：选C．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不行能是C．2.(2022·广东深圳市调研考试)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()解析：选B．依题意，侧视图中棱的方向是从左上角到右下角．3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边AB平行于y轴，BC、AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2eq\r(2)cm2，则原平面图形的面积为()A．4cm2 B．4eq\r(2)cm2C．8cm2 D．8eq\r(2)cm2解析：选C．依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面图形的面积为8cm2.4．(2022·浙江省名校联考)一个简洁几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不行能为()A．正方形 B．圆C．等腰三角形 D．直角梯形解析：选D．当几何体是一个长方体，其中一个侧面为正方形时，A可能；当几何体是横放的一个圆柱时，B可能；当几何体是横放的三棱柱时，C可能．于是只有D不行能．5．以下四个命题：①正棱锥的全部侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面确定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为()A．4 B．3C．2 D．1解析：选B．由正棱锥的定义可知全部侧棱相等，故①正确；由于直棱柱的底面不愿定是正多边形，故侧面矩形不愿定全等，因此②不正确；由圆柱母线的定义可知③正确；结合圆锥轴截面的作法可知④正确．综上，正确的命题有3个．6．如图所示的Rt△ABC围着它的斜边AB旋转一周得到的图形是________．解析：过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB，垂足为D，所以Rt△ABC围着它的斜边AB旋转一周后应得到是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体．答案：两个圆锥的组合体7．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为__________(只填写序号)．解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，连续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不行能得④.答案：①②③8．长和宽分别相等的两个矩形如图所示．给定下列四个命题：①存在三棱柱，其正视图、侧视图如图；②存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样；③存在圆柱，其正视图、侧视图如图；④若矩形的长与宽分别是2和1，则该几何体的最大体积为4.其中真命题的序号是________(写出全部真命题的序号)．解析：①正确，将三棱柱正放时(三角形面为底面)能满足要求；②不正确，俯视图应当是正方形不是矩形；③正确，将圆柱正放(圆面为底面)满足要求；④正确，当该几何体是长方体时体积最大，最大体积为4.答案：①③④9．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．解：由底面积之比为1∶16，设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r、4r.依据相像三角形的性质得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)，解得l＝9.所以，圆台的母线长为9cm.10.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)cm.由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．[力气提升]1.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形解析：选C．将直观图还原得▱OABC，则O′D′＝eq\r(2)O′C′＝2eq\r(2)(cm)，OD＝2O′D′＝4eq\r(2)(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝eq\r(CD2＋OD2)＝eq\r(22＋（4\r(2)）2)＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原图形为菱形．2.(2022·江西九校联考)如图，三棱锥V­ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为eq\f(2,3)，则其侧视图的面积为()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),6)解析：选B．由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为eq\f(1,2)×2a×h＝ah＝eq\f(2,3).又三棱锥的侧视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝eq\r(3)a，所以侧视图的面积为eq\f(1,2)OB·OV＝eq\f(1,2)×eq\r(3)a×h＝eq\f(\r(3),2)ah＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3).3．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四周体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四周体是每个面都是等边三角形的四周体，如正方体ABCD­A1B1C1D1中的四周体A­CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△VAB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必需是相邻的两个侧面．答案：①4．(2022·河北石家庄市质量检测)如图是两个全等的正三角形，给定下列三个命题：①存在四棱锥，其正视图、侧视图如图；②存在三棱锥，其正视图、侧视图如图；③存在圆锥，其正视图、侧视图如图．其中真命题的个数是________．解析：对于①，存在斜高与底边长相等的正四棱锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．对于②，存在如图所示的三棱锥S­ABC，底面为等腰三角形，其底边AB的中点为D，BC的中点为E，侧面SAB上的斜高为SD，且CB＝AB＝SD＝SE，顶点S在底面上的射影为AC的中点，则此三棱锥的正视图与侧视图是全等的正三角形．对于③，存在底面直径与母线长相等的圆锥，其正视图与侧视图是全等的正三角形．答案：35．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为eq\r(3)，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，求正视图的周长．解：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F分别是AD、BC的中点，连接AO，易得AO＝eq\r(2)，而PA＝eq\r(3)，于是解得PO＝1，所以PE＝eq\r(2)，故其正视图的周长为2＋2eq\r(2).6．(选做题)已知正三棱锥V­ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：