【同步辅导】2021高中数学北师大版必修四导学案：《二倍角的正弦、余弦和正切》

第5课时二倍角的正弦、余弦和正切1.能够依据和角的正弦公式、余弦公式、正切公式导出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.2.能够依据倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的内在联系.3.能够使用倍角公式进行简洁的三角恒等变换.2002年8月,在北京召开了国际数学家大会,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,你能求出sin2θ-cos2θ的值吗问题1:二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=(α为任意角);

(2)cos2α=cos2α-=-1=1-(α为任意角);

(3)tan2α=(α≠+kπ,且α≠π4+,k∈Z)问题2:半角的正弦、余弦、正切公式sinα2=;cosα2=tanα2===问题3:如何依据倍角公式导出半角公式?单角和倍角是相对的,α是α2的倍角,在问题1中假如使用这个关系,则得到cos2α2=1+cosα2,sin2α2=1-cosα2,把这个式子开方得cosα2=±1+cosα2,sinα2=±1-cosα2,再依据同角三角函数关系可得tanα2=±1问题4:二倍角公式与和(差)角公式有什么内在联系?1.sinπ12cosπ12的值为(A.14 B.34 C.122.1+cos2等于().A.-2cos1 B.2cos1 C.cos1-sin1 D.sin1-cos13.tan22.5°4.请回答《创设情境》中的问题.直接利用二倍角、半角等公式进行化简或求值将下列三角函数式进行化简或求值:(1)8sinπ48cosπ48cosπ24(2)11-tan(3)(sin5π12+cos5π12)(sin5二倍角或半角公式在三角函数中的综合运用已知sinα+cosα=355,α∈(0,π4),sin(β-π4)=35,β∈((1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.已知角的某种三角函数值求值或角已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为tanα,tanβ,且α,β∈(-π2,π2),则tanα+将下列三角函数式进行化简或求值:(1)2co(2)(1+sinθ+cosθ)(sin已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间[π8,3π4已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β1.已知sin2α=23,则cos2(α+π4)=(A.16 B.13 C.122.若△ABC的内角A满足sin2A=23,则sinA+cosA的值为()A.153 B.-153 C.533.化简cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-32cos2θ=4.函数f(x)=12cos2x+sinx,求f(x)在区间[-π4,π4(2022年·四川卷)已知函数f(x)=cos2x2-sinx2cosx2(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=3210,求sin2α考题变式(我来改编):

答案第5课时二倍角的正弦、余弦和正切学问体系梳理问题1:(1)2sinαcosα(2)sin2α2cos2α2sin2α(3)2tanα1-ta问题2:±1-cosα2±1+cosα2问题4:sin(α+β)cos(α+β)sin(α-β)cos(α-β)tan2αtan(α+β)tan(α-β)基础学习沟通1.Asinπ12cosπ12=12(2sinπ12cosπ12)=12sin(2×π12)2.B∵0<1<π2,∴cos1>0,∴1+cos2=1+(2cos23.12原式=12(2tan22.5°1-tan222.5°)=14.解:在Rt△BCG中,设|CG|=x,由于△BCG≌△ABF,所以|BF|=x.由题意知,|BC|=1,|GF|=15而|CG|2+|BG|2=|BC|2,∴x2+(15+x)2=1∴x=35,∴sinθ=x=3∴sin2θ-cos2θ=2sin2θ-1=2×(35)2-1=-7重点难点探究探究一:【解析】(1)原式=4sinπ24cosπ24cosπ12=2sinπ12cosπ12=sin(2)原式=2tanα1-tan(3)原式=sin25π12-cos25π12=-cos【小结】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换,要擅长抓住已知条件与目标之间的结构联系,找到解题的突破口与方向.由二倍角或半角公式可直接求值,留意公式的正确使用.探究二:【解析】(1)由题意得(sinα+cosα)2=95,即1+sin2α=95,∴sin2α=又2α∈(0,π2),∴cos2α=1-sin22α=35,∴(2)∵β∈(π4,π2),β-π4∈(0,π4),sin(β-π∴cos(β-π4)=4∴sin2(β-π4)=2sin(β-π4)cos(β-π4)又sin2(β-π4)=-cos2β,∴cos2β=-24又2β∈(π2,π),∴sin2β=7∵cos2α=1+cos2α2=45,α∈(0∴cosα=255,sinα=∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=255×(-2425)-55×【小结】在运用二倍角或半角公式进行化简或求值时,要留意角的范围,以免消灭多解、漏解.探究三:【解析】由韦达定理得,tanα+tanβ=-4a,tanα·tanβ=3a+1,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-又∵tan(α+β)=2tanα+β整理,得2tan2α+β2+3tanα+β又α,β∈(-π2,π2),∴α+β∈(-π,∴α+β2∈(-π∴tanα+β2=-2或tanα[问题]tanα+β2=[结论]tanα+β2≠12,∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+∴tanα<0,tanβ<0,又由α,β∈(-π2,π2),得α,β∈(-π2,0),α+β∈(-π,0),则α+β2∈(于是,正确解答如下:由韦达定理得,a>1,tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+1>0,∴tanα<0,tanβ<0.又∵α,β∈(-π2,π2),得α,β∈(-π2∴α+β∈(-π,0),α+β2∈(-π2又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1整理,得2tan2α+β2+3tanα+β解得tanα+β2=-2或tanα+β2【答案】-2【小结】一些不能直接求值的三角函数,可通过变形或整体代换,再利用二倍角或半角公式等进行变形、简化,达到求值的目的.思维拓展应用应用一:(1)原式=1=cos22x4cos((2)由于0<θ<π,所以0<θ2<π所以原式=(=2cosθ2应用二:(1)∵f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4∴函数f(x)的最小正周期为2π2=(2)∵f(x)=2sin(2x-π4)在区间[π8,3π8]上为增函数,在区间[3π8,3π4]上为减函数,又f(π8)=0,f(3π8)=2,f(3π4)=2∴函数f(x)在区间[π8,3π4]上的最大值为2,最小值为应用三:由于tan2(α-β)=2tan(α-所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=tan2(α-又tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-由于α∈(0,π),所以0<α<π4,又π2<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-基础智能检测1.Acos2(α+π4)=1+cos(2α+π22.A∵sin2A=2sinAcosA=23,0<A<π,∴sinA>0,cosA>0,∴sinA+cosA=(sinA+cosA)23.1cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-32cos2θ=1+cos2(θ+15°)2+1+cos2(θ-15°)2-32cos2θ=1+12[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-32cos2θ=1+12[cos2θcos30°-sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°4.解:f(x)=12cos2x+sinx=12(1-2sin2x)+=-sin2x+sinx+12=-(sinx-12)2+令t=sinx,则由-π4≤x≤π4得,-22≤t≤22,依据二次函数y=-(t-12)2+34的性质得当t=-22全新视角拓展(1)