中考数学二轮培优训练专题22 中点四边形（原卷版）

专题22中点四边形中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。中点四边形的性质：已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则①四边形EFGH是平行四边形②CEFGH=AC+BD③sEFGH=12s证明：模型证明过程∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD，EH=12∵FG是△BCD的中位线∴FG∥BD，FG=12∴EH∥FGEH=FG∴四边形EFGH是平行四边形∵EF是△ABC的中位线∴EF∥AC，EF=12∵GH是△ACD的中位线∴GH∥AC，GH=12∴EF∥GHEF=GH∴四边形EFGH是平行四边形结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。模型证明过程∵EH是△ABD的中位线∴EH=12∵FG是△BCD的中位线∴FG=12∴EH=FG=12B同理EF=GH=12∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC证明：CEFGH=AC+BD过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点Ms▱PHEQ=PQ•MN=12AN•12BD=12•(12AN•BD同理s▱PGFQ=12S△∴sEFGH=12s证明：sEFGH=12s结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。已知条件模型证明过程特例点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O，则四边形EFGH是矩形。根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形∵AC⊥DB∠DOC=90°∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90

°∴四边形EFGH是矩形。点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O，则四边形EFGH是菱形。∵EF是∆ABC的中位线∴EF=1∵HG是∆ADC的中位线∴HG=1∴EF=HG=12AC∵AC=DB∴EF=HG=EH=FG∴四边形EFGH是菱形点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，AC=DB垂足为点O，则四边形EFGH是正方形。已知四边形EFGH是菱形（参考上述证明过程）∵AC⊥DB∴EF⊥EH∴四边形EFGH是正方形结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形。结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形。结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形。速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正。【培优过关练】1．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）顺次连接菱形中点得到的四边形具备，而平行四边形不具备的性质是（

）A．对角线相互平分 B．对角线相等C．两组对角分别相等 D．两组对边分别平行2．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是的中点，添加下列条件，可以判定四边形为菱形的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，和均为等腰三角形，，，．若点、、、分别为边、、、的中点，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（

）A． B． C． D．5．（2017春·山东淄博·九年级校考期中）若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（

）A．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形 D．矩形6．（2022秋·九年级课时练习）顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（

）．A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形7．（2022秋·九年级课时练习）如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形B．当M，N，P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为正方形C．当M，N、P，Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为菱形D．当M，N、P、Q是各边中点，且时，四边形MNPQ为矩形8．（2022秋·九年级课时练习）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若，则四边形EFGH为矩形；②若，则四边形EFGH为菱形；③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（

）A．四边形是矩形B．四边形的内角和小于四边形的内角和C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和D．四边形的面积等于四边形面积的10．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（

）A．3 B．6 C．9 D．1211．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线、交于点，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（2022·福建·九年级专题练习）如图，四边形ABCD的对角线，E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，若在四边形ABCD内任取一点，则这一点落在图中阴影部分的概率为_____________．13．（2022·广东佛山·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD且BC＞AB，BD＝8．给出以下判断：①AC垂直平分BD；②四边形ABCD的面积S＝AC•BD；③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；④将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，四边形ABCD的内切圆半径为．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）14．（2022秋·河南平顶山·九年级统考期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是_____．15．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，且EG、FH交于点O．若AC=4，则EG2+FH2=______．16．（2022秋·九年级课时练习）已知如图，矩形ABCD的周长为18，其中E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y，则y与x之间的函数关系式为________．17．（2021秋·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，在四边形中，，，且顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…如此进行下去，得到四边形，下列结论正确的有__________．①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是．18．（2022秋·九年级课时练习）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？19．（2022秋·九年级课时练习）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是．（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．20．（2021春·广西桂林·八年级统考期末）如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．21．（2021春·河北石家庄·八年级统考期中）四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．22．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）23．（2019·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等