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第九章微分方程第九章微分方程第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程第三节高阶微分方程第四节微分方程在经济学中的应用第一节微分方程的基本概念一.微分方程的定义1.微分方程含有自变量、知函数的导数或微分的方程,称为微分方程.2.阶未知函数最高阶导数(或微分)的阶数.未知函数以及未方程函数方程微分方程常微分方程偏微分方程求部分一阶、二阶常微分方程的通解.本章中心任务第二节一阶微分方程一.可分离变量方程一般形式:分离变量两边积分解例1求方程的通解.解分离变量两边积分方程通解为注本题中相关问题.(为任意常数).例2求方程满足初始条件的特解.解分离变量两边积分即得通解将代入得故特解为例3求方程的通解.解分离变量两边积分方程通解一般形式二.齐次方程一般形式:代入令则即解得从而解例4求方程的通解.解一般形式令则代入即分离变量两边积分原方程通解为例5求的特解.解一般形式令则代入即分离变量两边积分原方程通解为满足特解补充:例求方程的通解.解令则代入即解得从而注补充:例求方程的通解.解令则代入即解得从而三.可化为齐次方程的方程代入设的交点为令则解出此一阶齐次方程再将代入.解三.可化为齐次方程的方程代入上式得设无交点,则原方程可化为令则解出此一阶方程再将代入.解例6求解解方程组的解为令则代入原方程得即即令则代入上式得即亦积分得即故从而通解特解例7解方程解令则代入解得从而四.一阶线性齐次微分方程一般形式:分离变量两边积分整理得解补充微分方程求方程的特解(08年考研真题4分)解特解五.一阶线性非齐次微分方程一般形式:讨论:设有解代入上式得常数变易法例8求方程的通解.解补充微分方程的通解是(08年考研真题4分)解例9求方程的通解.解六.伯努利方程令则再将代入即可.解例10求方程的通解.解令则故一.可分离变量方程二.齐次方程三.可化为齐次方程的方程四.一阶线

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