备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第十三章-§13-2-参数方程

第十三章

系列4选讲§13.2

参数方程考试要求1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.参数方程和普通方程的互化(1)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程.(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程.消去参数2.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线___________________________圆__________椭圆________________________x2＋y2＝r2双曲线抛物线y2＝2px(p>0)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)×√√×1.参数方程

(t为参数)的图象是A.离散的点 B.抛物线C.圆

D.直线√可得3x＋y＋1＝0，所以该参数方程的图象为直线.√得y＝xtanα，设k＝tanα，得直线l的方程为y＝kx，由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1，则圆心到直线y＝kx的距离为探究核心题型第二部分例1

已知曲线C1，C2的参数方程为

(t为参数).(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；题型一参数方程与普通方程的互化(2)若点P是曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最小值.所以点P到C2的距离的最小值为2－1＝1.所以点P到C2的距离的最小值为1.消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数.思维升华跟踪训练1

(2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

(t为参数)，曲线C2的参数方程为

(s为参数).(1)写出C1的普通方程；所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0).(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标.曲线C3的极坐标方程可化为2ρcosθ－ρsinθ＝0，所以C3的直角坐标方程为y＝2x.题型二参数方程的应用例2

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(λ为参数).(1)求曲线C的普通方程；(1)解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决.(2)对于形如

(t为参数)的方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.思维升华跟踪训练2

(2023·榆林模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为C：

(t为参数)，以直角坐标的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；极坐标方程和参数方程的综合应用例3

(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为

＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；题型三直线l的极坐标方程为(2)若l与C有公共点，求m的取值范围.曲线C的参数方程为得曲线C的普通方程为联立直线l与曲线C的方程，消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2).方法一若直线l与曲线C有公共点，则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，方法二所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，所以当－2≤y≤2时，解决参数方程和极坐标的综合问题的方法涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.思维升华跟踪训练3

在平面直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程是

(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C1的极坐标方程是ρcosθ－3＝0，点P是曲线C2上的动点.(1)求点P到曲线C1的距离的最大值；由曲线C2的参数方程，得其普通方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝1，表示以(－2，－1)为圆心，以1为半径的圆.由曲线C1的极坐标方程，得其直角坐标方程为x＝3.则圆心C2到直线x＝3的距离d＝2＋3＝5，所以点P到曲线C1的距离的最大值dmax＝1＋d＝6.课时精练第三部分(1)判断直线l和圆C的位置关系，并说明理由；1234512345∴直线l和圆C相离.1234512345123452.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，圆C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出圆C的一个参数方程；12345(2)过点F(4,1)作圆C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.1234512345当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线的距离为2>r，不符合题意，舍去；当直线斜率存在时，设切线为y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，12345这两条切线的极坐标方程为3.(2020·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.(1)求|AB|；1234512345令x＝0，则t2＋t－2＝0，解得t＝－2或t＝1(舍去)，则y＝2＋6＋4＝12，即A(0,12).令y＝0，则t2－3t＋2＝0，解得t＝2或t＝1(舍去)，则x＝2－2－4＝－4，即B(－4,0).(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.12345则直线AB的方程为y＝3(x＋4)，即3x－y＋12＝0.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，直线AB的极坐标方程为3ρcosθ－ρsinθ＋12＝0.1234512345即ρ－ρsinθ＝2，即x2＋y2＝(y＋2)2(y≥－2)，整理得x2＝4y＋4.所以曲线C2的直角坐标方程为x2＝4y＋4.12345(2)设曲线C1，C2的交点为A，B，求|AB|的值.5.(2022·萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P为曲线C1：

(α为参数)上的动点，将P点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得到Q点，记Q点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C